BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN HUÝNH VIT TRUNG MËT SÈ VN V TNH CHNH QUY THEO HìẻNG CếA NH X A TR h LUN VN THC S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN HUÝNH VIT TRUNG LUN VN THC S TON HÅC h MËT SÈ VN V TNH CHNH QUY THEO HìẻNG CếA NH X A TR Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 08.46.01.02 Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN HÚU TRÅN i Möc löc MÐ U 1 Kián thực chuân b 1.1 nh xÔ a tr 1.2 T½nh ch½nh quy metric 1.3 Nguyản lỵ bián phƠn Ekeland 1.4 Dữợi vi phƠn, nõn phĂp tuyán, Ôo hm theo hữợng, ối Ôo hm h T½nh ch½nh quy metric Holder theo hữợng 2.1 CĂc khĂi niằm 2.2 CĂc c trững cừa tẵnh chẵnh quy H older theo hữợng 2.2.1 c trững qua ở dốc mÔnh cho tẵnh chẵnh quy metric H older theo hữợng 2.2.2 Tẵnh chẵnh quy metric theo hữợng trản cĂc nhiạu 21 2.2.3 T½nh ờn nh cừa chẵnh quy metric H older theo hữợng dữợi cĂc iÃu kiằn tiáp tuyán - ối Ôo hm 26 Ùng döng cõa t½nh ch½nh quy metric Holder 35 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 MÐ U Trong suèt ba thêp k cuối cừa thá k XX, chẵnh quy metric ¢ ph¡t triºn v trð th nh mët c¡c khĂi niằm trung tƠm cừa GiÊi tẵch bián phƠn hiằn Ôi Thuêt ngỳ "chẵnh quy metric" ữủc t bi Borwein, nguỗn gốc khĂi niằm ny bưt nguỗn tứ khĂi niằm cờ in õ l nguyản lỵ Ănh xÔ m v nõ ữủc tờng quĂt cho Ănh xÔ phi tuyán ữủc biát nhữ l nh lỵ Lyusternik - Graves Lỵ thuyát chẵnh quy metric ữủc dũng cho viằc nghiản cựu dĂng iằu nghiằm cừa mởt phữỡng trẳnh phi tuyán trản mët dú li»u nhi¹u, ho°c têng qu¡t hìn l d¡ng iằu cho têp hủp nghiằm cừa cĂc phữỡng h trẳnh tờng quĂt liản kát vợi mởt Ănh xÔ a tr Kát quÊ l, chẵnh quy metric õng mởt vai trỏ quan trång nhi·u nh¡nh cõa to¡n håc nh÷ tèi ữu, cĂc kát luên khÊ vi, lỵ thuyát iÃu khin, c¡c ph÷ìng ph¡p sè v nhi·u b i to¡n Gi£i tẵch Hiằn nay, khĂi niằm chẵnh quy metric ang ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu chuyản gia lắnh vỹc NhiÃu bián th cừa tẵnh chĐt ny cụng ữủc khÊo sĂt, nghiản cựu dữợi nhiÃu mửc ẵch khĂc Mởt hữợng nghiản cựu lắnh vỹc ny l nghiản cựu cĂc phiản bÊn hữợng cĐp cao cừa tẵnh chĐt ny, v ữủc gồi l tẵnh chẵnh quy metric cĐp cao theo hữợng v cụng cho thĐy nhiÃu ựng dửng Tối ữu v GiÊi tẵch bián phƠn Vẳ vêy viằc nghiản cựu tẵnh chẵnh quy metric cĐp cao theo hữợng l mởt vĐn à thới sỹ Trong khuổn khờ cừa mởt luên vôn thÔc s chuyản ngnh ToĂn GiÊi tẵch, mửc ẵch cừa chúng tổi luên vôn ny l trẳnh by phiản bÊn tẵnh chẵnh quy metric H older theo hữợng tẳm hiu cĂc c trững cừa tẵnh chẵnh quy metric theo hữợng qua mởt số cổng trẳnh gƯn Ơy và lắnh vỹc ny Luên vôn s³ h» thèng hâa v chi ti¸t hâa nhúng chùng minh cho nhỳng kát quÊ quan trồng và tẵnh chẵnh quy metric theo hữợng v nhỳng ựng dửng cừa tẵnh chẵnh quy viằc giÊi cĂc Bi toĂn Tối ữu Luên vôn ữủc viát dỹa trản cĂc ti liằu tham khÊo chẵnh l [3] v [4] CĐu trúc luên vôn gỗm ba chữỡng Chữỡng Kián thực chuân bà Chóng tỉi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m º cõng cố kián thực v cĂc khĂi niằm cỡ s liản quan án tẵnh chẵnh quy metric Chữỡng Tẵnh chẵnh quy metric Holder theo hữợng Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny l gỗm hai phƯn chẵnh: (a) Trẳnh by khĂi niằm và tẵnh chẵnh quy metric H older theo hữợng v mởt số vẵ dử (b) Trẳnh by cĂc c trững cừa tẵnh chẵnh quy metric H older theo hữợng Chữỡng ng dửng cừa tẵnh chẵnh quy metric Holder theo hữợng Chúng tổi trẳnh by ựng dửng cừa tẵnh chẵnh quy metric Holder theo hữợng Tối ữu bơng viằc ữa phữỡng phĂp giÊi quyát cĂc bi toĂn Tối ữu Mc dũ rĐt cố gưng hÔn chá và thới gian v trẳnh ở nản luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt RĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ chƠn thnh h cừa quỵ thƯy cổ giĂo v bÔn b luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Quy Nhỡn, ngy thĂng nôm 2019 Hồc viản Huýnh Viằt Trung Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by cĂc kián thực và Ănh xÔ a tr, kh¡i ni»m v· t½nh ch½nh quy (xem Ioffe [3]) v c¡c ki¸n thùc dịng º bê trđ cho c¡c °c trững cừa tẵnh chẵnh quy metric (xem Huynh Van Ngai, Nguyen Huu Tron, Michel Thera [4]) nh xÔ a tr h 1.1 Cho X v Y l hai khæng gian metric vợi metric ữủc kẵ hiằu bi d(., ); cĂc hẳnh (x, r) cƯu m v hẳnh cƯu õng vợi tƠm x v bĂn kẵnh r > lƯn lữủt l B(x, r) v B Cho têp hủp C X , phƯn cừa C ữủc kẵ hiằu l int C Mởt Ănh xÔ a tr l mởt Ănh xÔ F : X Y quy tưc vợi mội x X , mởt têp (cõ th bơng réng) F (x) ⊂ Y Ta dịng k½ hi»u gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y F (x)} cho ỗ th cừa hm F Vợi mội Ănh xÔ F : X Y , ta nh nghắa Ănh xÔ ngữủc cừa F bơng F : Y X ữủc nh nghắa bi F −1 (y) := {x ∈ X : y ∈ F (y)}, y ∈ Y v thäa m¢n (x, y) ∈ gph F ⇐⇒ (y, x) ∈ gph F −1 Ta dũng kẵ hiằu d(x, C) nh nghắa khoÊng cĂch tứ im x án mởt têp C; khoÊng cĂch ny ữủc nh nghắa bi cổng thực d(x, C) = inf d(x, z) zC v quy ữợc d(x, S) = + náu S l têp rộng nh nghắa 1.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} l mët h m nhªn gi¡ trà thüc mð rëng (i) Mi·n hỳu hiằu cừa hm f ữủc nh nghắa bi dom f = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} Hm f ữủc gồi l chẵnh thữớng náu miÃn hỳu hi»u cõa f khæng réng i.e dom f 6= ∅ (ii) Cho f : Rn → R∪{+∞} l h m ch½nh thữớng, f ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi (lsc) tÔi x0 náu vợi mồi < f (x0 ) thẳ tỗn tÔi r > cho mồi x ∈ B(x0 , r), λ < f (x) f ÷đc gồi l nỷa liản tửc trản (usc) tÔi x0 náu f l lsc (iii) f ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi v ch f liản tửc dữợi tÔi mồi im thuởc dom f v f l nỷa li¶n tưc tr¶n v ch¿ f li¶n tưc trản tÔi mồi im thuởc dom f h 1.2 Tẵnh chẵnh quy metric Cho Ănh xÔ a tr F : X ⇒ Y v mët c°p (x, y) ∈ gph F nh nghắa 1.2 (CĂc tẵnh chĐt tẵnh chẵnh quy a phữỡng) Ta nõi rơng F l ã Phừ hoc m t lằ tuyán tẵnh tÔi mởt im gƯn ( x, y) náu tỗn tÔi r > 0, ε > cho B(y, rt) ∩ B(¯ y , ε) ⊂ F (B(x, t)), ∀(x, y) ∈ gph F, d(x, x) < , t ã Chẵnh quy metric gƯn ( x, y) gph F náu tỗn tÔi K > 0, > cho d(x, F −1 (y)) ≤ Kd(y, F (x)), n¸u d(x, x ¯) < ε, d(y, y¯) < ε ành ngh¾a 1.3 (Tẵnh chẵnh quy metric ỗ th) F ữủc gồi l chẵnh quy metric ỗ th (hoc gƯn) ( x, y) gph F náu tỗn tÔi cĂc số K > 0, ε > cho b§t ¯ng thùc −1 d(x, F (y)) ≤ Kd (x, y), gph F óng, vỵi d(x, x ¯) < ε, d(y, y¯) < ε M»nh · 1.4 (T½nh ch½nh quy metric v chẵnh quy ỗ th) Cho F : X ⇒ Y, v (¯x, y¯) ∈ gph F Khi â F l ch½nh quy metric v ch¿ F l chẵnh quy ỗ th 1.3 Nguyản lỵ bián phƠn Ekeland Nguyản lỵ bián phƠn Ivar I Ekeland à xuĐt vo nôm 1974 l mởt cổng cử mÔnh GiÊi tẵch phi tuyán, GiÊi tẵch khổng trỡn, GiÊi tẵch a tr, GiÊi tẵch bián phƠn v cĂc hữợng khĂc ToĂn hồc nh lẵ 1.5 (Nguyản lỵ bián phƠn Ekeland) Cho (X,d) l khổng gian metric Ưy õ v h m f : X → R ∪ {∞} l nỷa liản tửc dữợi, b chn dữợi GiÊ sỷ ε > v xε ∈ X thäa m¢n: f (xε ) < inf f + ε X Khi â, vợi > bĐt kẳ thẳ tỗn tÔi x ∈ X cho h (i) d(¯ x, xε ) ≤ λ, ε (ii) f (¯ x) + d(¯ x, xε ) ≤ f (xε ), λ ε (iii) f (x) + d(¯ x, x) > f (¯ x), ∀x X \ { x} 1.4 Dữợi vi phƠn, nõn phĂp tuyán, Ôo hm theo hữợng, ối Ôo hm Trữợc hát, ta nhưc lÔi rơng X l ối ngău tổpổ cừa khổng gian nh chuân X GiĂ tr cừa phiám hm x X tÔi x X ữủc kẵ hiằu bi hx , xi CĂc k½ hi»u ω, ω ∗ dịng ∗ º ch¿ tỉpỉ v tổpổ yáu cừa cp ối ngău (X, X ) ành ngh¾a 1.6 Cho X l khỉng gian Banach, f : X → R ∪ {+∞} l h m nhªn giĂ tr thữc m rởng Dữợi vi phƠn Frchet cừa f tÔi x dom f ữủc nh nghắa f (x) − f (¯ x) − hx∗ , x − x¯i ∗ ∗ ∂f (¯ x) = x ∈ X : lim inf ≥0 x→¯ x, x6=x ¯ kx − x¯k º thuªn lđi, chóng ta s thay thuêt ngỳ dữợi vi phƠn chẵnh quy bơng dữợi vi phƠn Frchet v mội phƯn tỷ cừa dữợi vi phƠn Frchet ữủc gồi l mởt phƯn tỷ cừa dữợi gradient (chẵnh quy) Frchet Náu x l mët iºm cho f (¯ x) = ∞, â ta °t ∂f (¯ x) = ∅ Ta cán cõ th chựng minh ữủc rơng mởt phƯn tỷ x l mởt dữợi vi phƠn Frchet cừa f tÔi x ¯ n¸u ◦(kx − x¯k) = x→¯ x kx − x ¯k f (x) ≥ f (¯ x) + hx∗ , x − x¯i + ◦(kx − x¯k) lim ành l½ 1.7 (Quy tc têng mí) Cho X l khæng gian Asplund v ϕ1 , ϕ2 : X → R∪{∞} cho x1 li¶n tưc Lipschitz quanh x¯ ∈ dom ϕ1 ∩dom ϕ2 v ϕ2 nûa li¶n tưc dữợi quanh x Khi dõ, vợi mồi > ta câ b + ϕ2 )(¯ b (x1 ) + ∂ϕ b (x2 )| xi ∈ x¯ + γ B ¯ (x, r), ∂(ϕ x) ⊂ ∩{∂ϕ ¯ (x, r) |ϕi (xi ) − ϕi (¯ x)| ≤ γ, i = 1, 2} + γ B h Vợi C X l têp khổng rộng, õng, kẵ hiằu hm ch liản kát vợi C l C ữủc nh nghắa bi cổng thực: náu x ∈ C, δC (x) = ∞ ngo i Nõn phĂp tuyán Frchet cho C tÔi x ữủc kẵ hiằu bi N (C, x), l têp lỗi v âng X ∗ ÷đc x¡c ành bði ∂δC Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, mët vector x∗ ∈ X ∗ l mởt vecto phĂp tuyán Frchet cừa C tÔi x ¯ n¸u hx∗ , x − x¯i ≤ ◦(kx − x¯k), ∀x ∈ C, â ◦(kx − x¯k) = x→¯ x kx − x ¯k lim ành ngh¾a 1.8 ( Ôo hm theo hữợng Hadamard) Mởt Ănh xÔ g : X → Y giúa c¡c khỉng gian ành chu©n ữủc gồi l khÊ vi Hadamard tÔi x theo hữợng u náu giợi hÔn sau tỗn tÔi g( x + tw) − g(¯ x) = Dg(¯ x)(u) w→u, t↓0 t lim Hin nhiản, náu g l Lipschitz gƯn x thẳ g l khÊ vi Hadamard tÔi x theo hữợng v Dg( x)(0) = nh nghắa 1.9 Cho F : X Y l Ănh xÔ a trà v (¯x, y¯) ∈ gph F Khi õ, ối Ôo hm Frchet tÔi ( x, y) cừa F l Ănh xÔ a tr D F ( x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ ÷đc x¡c ành bði D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (gph F, (¯ x, y¯))} h ϕ (ωn , yn ) → v Γϕγ (., yn ) (ωn ) ≤ k(ωn , yn ) − (¯ x, y)k n Vẳ vêy, mƠu thuăn vợi (2.9), nản ta câ i·u ph£i chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû tỗn tÔi cĂc số thỹc , > cho d x, F −1 (y) ≤ τ [d(y, F (x))]γ , vỵi måi (x, y) ∈ B((¯ x, y¯), δ) ∩ ((¯ x, y¯) + cone B((u, v), δ)) vỵi d(y, F (x)) ≤ δk(x, y) − (¯ x, y¯)k1/γ Theo Bê · 2.8, d x, F −1 (y) ≤ τ ϕγ (x, y), ∀(x, y) ∈ B((¯ x, y¯), δ) ∩ ((¯ x, y¯) + cone B((u, v), δ)) vỵi < ϕγ (x, y) k ≤ δ k(x, y) − (¯ x, y¯) 15 Cho (x, y) ∈ B((¯ x, y¯), δ) ∩ ((¯ x, y¯) + cone B((u, v), δ)) vỵi (x, y) 6= (¯ x, y¯) v < ϕγ (x, y) Khi õ, vợi mội > 0, tỗn tÔi mởt phƯn tỷ z F (y) cho k(x, y) − (¯ x, y¯)k kx − zk ≤ (τ + ε)ϕγ (x, y) = (τ + ε)[ϕγ (x, y) − ϕγ (z, y)] Vªy, γ Γϕ (., y) ≥ (τ + ε) Khi ε > tũy ỵ, ta ữủc (., y) (x) ≥ > 0, (x,y) −→ (¯ x,¯ y ),ϕ(x,y)>0 τ (u,v) γ ϕ (x, y) →0 kx − x¯k lim inf ta hon thnh chựng minh nh lỵ trản thoÊ c trững ở dốc a phữỡng sau cho tẵnh chẵnh quy metric theo hữợng bêc nh l½ 2.11 Cho X l khỉng gian Banach v khỉng gian ành chu©n Y Gi£ sû h F : X Y l Ănh xÔ a tr õng v iºm (¯ x, y¯) ∈ X × Y cho y¯ ∈ F (¯ x) Cho (u, v) ∈ X × Y v cè ành γ ∈ (0, 1] N¸u lim inf x,¯ y ),ϕ(x,y)>0 (x,y) −→ (¯ (u,v) γ ∇ϕ (., y)