(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp thiết lập các bài toán về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG XUÂN HIẾU h MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG XUÂN HIẾU h MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Đặng Xuân Hiếu h LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khố Cao học Tôi chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người ln ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn h Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Đặng Xuân Hiếu Mục lục Mở đầu 1 Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học 1.1 Phương pháp chéo hố ma trận Đại số tuyến tính 1.2 Phương pháp áp dụng tính chất nghiệm phương trình 18 1.2.1 Phương trình bậc hai Đại số 18 1.2.2 Phương trình nghiệm nguyên Số học 20 h Phương pháp áp dụng số kết Giải tích 2.1 27 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân 27 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 27 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 30 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 36 2.1.4 Phương trình sai phân phi tuyến 43 2.2 Phương pháp sử dụng tính chất hàm phân tuyến tính 53 2.3 Phương pháp sử dụng tính chất hàm sinh 55 Phương pháp áp dụng số kết Lượng giác 63 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 Mở đầu Lý chọn đề tài Dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Dãy số đối tượng để nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc Giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chương trình Tốn phổ thơng, đặc biệt mơn học Giải tích, dãy số chiếm vị trí quan trọng Nó có mặt nhiều dạng tốn khó kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia, tuyển sinh vào Cao đẳng - Đại học, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, khu vực Olympic Toán quốc tế h Các tốn ước lượng tính giá trị tổng, tích tốn cực trị xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối liên hệ đến đặc trưng dãy tương ứng Đối với giáo viên học sinh giỏi phổ thơng, đối diện tốn khó dãy số, sau tìm lời giải nó, cách tự nhiên thường đặt câu hỏi: Những tốn đến từ đâu? Bằng cách nào, người ta thiết lập nó? Cơ sở lý thuyết liên quan “ẩn” sau đề tốn phương pháp giải nó? Ta tự vài tốn tương tự hay không? Những câu hỏi ấy, thực không dễ trả lời Tuy nhiên, góc độ đó, phần giáo viên vận dụng số kiến thức Toán học cao cấp học chương trình Đại học Cao đẳng để tự thiết lập nên số dạng toán dãy số, phục vụ cho công việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Và thế, song song với việc thiết lập, ta có cách giải tốn Điều tài liệu hành đề cập Và thế, nhu cầu việc thiết lập số tốn dãy số đặt Đó mục tiêu luận văn Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến số phương pháp thiết lập tốn dãy số Đó khơng phương pháp áp dụng số kết Giải tích, mà cịn việc áp dụng số kết Đại số, Số học Lượng giác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dãy số phương pháp thiết lập toán dãy số Phạm vi nghiên cứu số kiến thức toán cao cấp, áp dụng để thiết lập toán phổ thông dãy số Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tổng hợp số nội dung từ tài liệu hình thành luận văn, hướng dẫn người hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Luận văn có ý nghĩa khoa học áp dụng kiến thức toán cao cấp để h thiết lập tốn dãy số phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngoài nội dung quy định cấu trúc luận văn Thạc sĩ, nội dung luân văn chia thành ba chương: Chương Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học Chương đề cập đến phương pháp chéo hóa ma trận Đại số tuyến tính phương pháp áp dụng tính chất nghiệm phương trình Đại số, phương trình nghiệm nguyên Số học Chương Phương pháp áp dụng số kết Giải tích Chương đề cập đến phương pháp sử dụng phương trình sai phân, sử dụng tính chất hàm phân tuyến tính hàm sinh Chương Phương pháp áp dụng số kết Lượng giác Chương đề cập đến số kết hình thành từ phương pháp Lượng giác Chương Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học 1.1 Phương pháp chéo hoá ma trận Đại số tuyến tính Nội dung mục tham khảo [6] Định nghĩa 1.1 Số λ ∈ K gọi giá trị riêng ma trận A vuông cấp n tồn vectơ ~x = (x1 , x2 , x3 , x4 , , xn )t ∈ K, x 6= 0, cho h (1.1) Ax = λx Khi vectơ x gọi vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng λ Nhận xét Từ (1.1), ta có (A − λE) x = 0, x 6= Định nghĩa 1.2 Cho A = (aij )m.n có m hàng, n cột, λ ∈ K i) Đa thức −3 − λ Giải phương trình đặc trưng PA (λ) = ⇔ (1 − λ) (2 − λ) (−3 − λ) + (1 − λ) = 11   λ1 = (nghiệm bội), ⇔ (1 − λ)2 (λ + 2) = ⇔  λ2 = −2 - Với λ1 = 1, ta tìm vectơ riêng tương ứng sau          x2  x1  0  x1    0                   (A − λ1 E)  = ⇔ = ⇔  x2  0 −1 x2   −x2 − x3  = 0          x3 −4 x3 4x2 − 4x3        x1 ∈ R (chọn x1 = 1), x2 = 0,        x2  = 0, ⇔ ⇔ x2 = 0, x2 − x3 = 0, ⇔       x − x =      x =  4x − 4x = 3 Vậy vectơ riêng (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 0) - Với λ2 = 1, tương tự (x01 , x02 , x03 ) = (1, 0, 0) - Với λ3 = −2, giả sử ta vectơ riêng (x001 ,  x002 , x003 )  h 00  1 x1    00  sau P =  0 x  2   0 x003 00 x1 x002 = Vậy ma trận A khơng thể chéo hố