(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp giải bài toán cực trị hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH HOA THÍNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH HOA THÍNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN h CỰC TRỊ HÌNH HỌC Chun ngành : Phương pháp tốn sơ cấp Mã số 8460113 : Người hướng dẫn : TS Trần Ngọc Nguyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, ngày 20 tháng năm 2021 Tác giả Huỳnh Hoa Thính h Lời cảm ơn Lời xin gởi đến TS Trần Ngọc Nguyên lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tất thầy khoa Tốn Thống kê trường Đại Học Quy Nhơn, giảng viên Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội, Trường ĐHKHTN-ĐHQG TPHCM, Trường ĐH Sài Gịn, Viện Tốn học, Trường CĐSP Gia Lai nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học Xin cảm ơn vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Đào tạo sau đại học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học h Tơi xin cảm ơn gia đình tơi, đồng nghiệp bạn học viên Cao học khóa 22 hỗ trợ, động viên tơi suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Bình Định, ngày 20 tháng năm 2021 Tác giả Huỳnh Hoa Thính Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị Một số bất đẳng thức thông dụng 1.2 Một số kiến thức hình học thường dùng 1.2.1 Công thức Heron 1.2.2 Định lý cosin 1.2.3 Hệ thức Leibniz 1.2.4 Bất đẳng thức tam giác 1.2.5 Cơng thức tính khoảng cách hai điểm không gian 1.3 h 1.1 Các định lý cực trị hàm số Các phương pháp tìm cực trị hình học 2.1 Sử dụng phép biến đổi hình học 2.2 Sử dụng bất đẳng thức đại số 2.3 Sử dụng kiến thức giải tích 23 29 Một số tốn cực trị hình học chọn lọc 38 3.1 Bài toán đẳng chu 38 3.2 Các toán tam giác, tứ giác, đường tròn 3.3 Một số toán tổ hợp 3.4 Một số toán khác 60 47 57 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 h Một số kí hiệu SM Diện tích hình M VABCD Thể tích tứ diện ABCD ∆ABC ∼ ∆A′ B ′ C ′ Tam giác ABC đồng dạng tam giác A′ B ′ C ′ f ′ (x) Đạo hàm hàm số f (x) h Mở đầu Các vấn đề cực đại cực tiểu phát sinh cách tự nhiên không khoa học - kỹ thuật ứng dụng chúng mà sống hàng ngày Rất nhiều số có chất hình học như: tìm đường ngắn hai đối tượng thoả mãn số điều kiện hình có chu vi, diện tích thể tích tối thiểu dạng tốn thường gặp Khơng có đáng ngạc nhiên, người giải vấn đề thời gian h lâu Một số người số họ, coi tiếng Heron (thế kỷ thứ CN), Descartes (1596-1650), Jacob Steiner (1796-1863), I.F.Fagnano (1682-1766), Hermann Schwarz (1843-1921), v.v Trong chương trình tốn Trung học nói chung, dạng tốn dành cho học sinh giỏi nói riêng, tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, đặc biệt tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn liên quan đến hình học tốn thú vị tương đối khó, địi hỏi người giải tốn khơng có hệ thống kiến thức mà cịn có kỹ giải tốn mức độ định Các toán giá trị nhỏ nhất, lớn hình học, cịn gọi tốn cực trị hình học, thường tốn đơi khơng cho sẵn điều phải chứng minh mà địi hỏi người làm tốn phải tự tìm lấy kết Nhằm hướng đến việc trình bày cách hệ thống phương pháp hay dùng để giải tốn cực trị hình học, hướng dẫn TS Trần Ngọc Nguyên, chọn đề tài luận văn: "Một số phương pháp giải tốn cực trị hình học" để nghiên cứu vài phương pháp điển hình dùng để tìm lời giải tốn cực trị hình học Bên cạnh đó, đề tài giới thiệu số dạng toán cực trị thường gặp với lời giải chi tiết số toán tương tự dành cho bạn đọc Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức cần thiết thường dùng giải tốn cực trị hình học như: số bất đẳng thức thông dụng, công thức Heron diện tích tam giác, định lý cực trị hàm số Chương 2: Các phương pháp tìm cực trị hình học Nội dung trọng tâm chương trình bày số phương pháp khác để giải tốn cực trị hình học Một phương pháp là: sử dụng phép biến đổi hình học h phép đối xứng, phép quay, phép vị tự Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số Phương pháp cuối giới thiệu sử dụng kiến thức giải tích Chương 3: Một số tốn cực trị hình học chọn lọc Ở đây, thảo luận số toán đẳng chu, toán thú vị Malfatti, số toán tổ hợp số tốn khác Ngồi việc cố gắng trình bày cách toàn diện giải pháp kỹ thuật, cố gắng giới thiệu nhiều tốn với cấp độ khó khác Do hạn chế mặt thời gian, lực thân nên giải pháp trình bày luận văn phần nhỏ, minh hoạ cho tốn cực trị hình học Rất mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến Thầy, Cơ để luận văn hồn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bị cho chương sau luận văn Cụ thể, nhắc lại số bất đẳng thức thơng dụng, cơng thức Heron diện tích tam giác định lý cực 1.1 h trị hàm số Một số bất đẳng thức thông dụng Chúng liệt kê bên số bất đẳng thức đại số kinh điển thường sử dụng giải tốn cực trị hình học Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức trung bình cộng - Trung bình nhân (AM-GM)[1]) Giả sử x1 , x2 , · · · , xn số khơng âm Khi √ x1 + x + · · · + xn ≥ n x1 x · · · xn n (1.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai [13])