(Luận văn thạc sĩ) một số định lý xấp xỉ trong giải tích và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ MAI TRANG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ MAI TRANG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG h Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG Mục lục Kiến thức sở 1.1 Giới hạn liên tục hàm số 1.2 Tính khả vi hàm số Một số định lý xấp xỉ giải tích 2.1 2.3 2.4 Định lý xấp xỉ Weierstrass 12 2.1.1 Giới thiệu đa thức đại số 12 2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 14 h 2.2 12 Định lý xấp xỉ Taylor 18 2.2.1 Định lý giá trị trung bình 18 2.2.2 Đa thức Taylor 19 Định lý xấp xỉ Stone 26 2.3.1 Khái niệm ví dụ 26 2.3.2 Các hệ định lý Stone 31 Định lý xấp xỉ Newman 32 Ứng dụng giải tốn sơ cấp 35 3.1 Tính giới hạn hàm số 35 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Lý thuyết xấp xỉ chủ đề quan trọng nhận nhiều quan tâm giải tích tốn học tốn ứng dụng Ngay khái nhiệm giải tích khái niệm giới hạn (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số) xuất phát từ ý tưởng xấp xỉ Trong giải tích nhiều toán ứng dụng cho hàm số bất kỳ, người ta mong muốn xấp xỉ hàm số có tính chất "tốt hơn", chẳng hạn hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ, h Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống số định lý xấp xỉ quan trọng giải tích, bao gồm Định lý xấp xỉ Weierstrass, Định lý xấp xỉ Taylor, Định lý xấp xỉ Stone, Định lý xấp xỉ Newman, Luận văn đề cập đến số ứng dụng quan trọng định lý xấp xỉ giới thiệu số toán nâng cao phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Ngồi Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn cấu trúc thành ba chương Chương trình bày số kết sở giải tích cổ điển bao gồm giới hạn, liên tục khả vi hàm số Chương trình bày định lý xấp xỉ quan trọng giải tích Chương dành cho việc giới thiệu số ứng dụng định lý xấp xỉ Taylor tốn sơ cấp thơng qua nhiều ví dụ tập minh hoạ Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến xấp xỉ giải tích Luận văn hồn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tơi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Trương Thị Mai Trang h Chương Kiến thức sở Trong chương nhắc lại số kiến thức sở giải tích cổ điển, bao gồm giới hạn liên tục hàm số, tính khả vi hàm số Phép chứng minh chi tiết tham khảo [3] 1.1 Giới hạn liên tục hàm số h Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp E R Số x0 P R gọi điểm giới hạn hay điểm tụ tập E với ε-lân cận Vε px0 q tx P R : |x x0 | εu x0 thỏa mãn Ví dụ 1.2 ra, bs rVεpx0q X E sztx0u tx P E : |x x0| εu H Mọi x P ra, bs điểm giới hạn tập pa, bq, ra, bq, pa, bs, Số điểm giới hạn tập t1{n : n P Nu Nhận xét 1.3 Điểm giới hạn tập E thuộc khơng thuộc tập E Một điểm tập E điểm giới hạn khơng điểm giới hạn tập E Chẳng hạn, số P E1 p2, 3s điểm giới hạn E1 , P E2 p1, 2q Y t3u không điểm giới hạn E2 Điểm x P E gọi điểm cô lập E x không điểm giới hạn E Định nghĩa 1.4 Cho c điểm giới hạn D R, f : D Ñ R hàm số xác định D Số ` P R gọi giới hạn hàm số f x tiến đến c @ε ¡ 0, Dδ δpεq ¡ 0, @x P D, |x c| δ ùñ |f pxq `| ε Ký hiệu lim f pxq ` f pxq Ñ ` x Ñ c x Ñc Ta biết tồn hay không tồn lim f pxq phụ thuộc vào “dáng điệu” x Ñc f hai phía c Ta có tình đơn giản trường hợp giới hạn phía Ta hình dung giới hạn bên trái hàm số f số mà f pxq dần x tiến đến c từ phía bên trái; giới hạn bên phải hàm số f số mà f pxq dần x tiến đến c từ phía bên phải Giả sử D R, c P R điểm giới hạn D Ta ký hiệu DL tx P D : x cu; DR tx P D : x ¡ cu Chú ý DL , DR rỗng Định nghĩa 1.5 Cho f hàm số xác định DL bên trái f c H Số ` gọi giới hạn @ε ¡ 0, Dδ ¡ 0, @x P DL, c δ x c ñ |f pxq `| ε Ký hiệu lim f pxq `, x Ñc x lim f pxq `, Ñ c0 H Số ` gọi giới hạn bên phải f h Cho f hàm số xác định DR c f pcq ` @ε ¡ 0, Dδ ¡ 0, @x P DR , c x c Ký hiệu lim f pxq `, x Ví dụ 1.6 Đc x lim f pxq `, Đc đ |f pxq `| ε f pc q ` Dễ thấy lim signpxq 1 lim signpxq x δ Đ0 x Đ0 ? Ta có lim x Thật vậy, với ε ¡ tồn δ ε2 ¡ để với x ¡ xÑ ? ? ? mà x δ ε2 ta có | x 0| x δ ε Định lý 1.1 (Quan hệ giới hạn giới hạn phía) Giả sử f hàm số xác định D c điểm giới hạn DL DR Khi D xlim f pxq ` ðđ D lim f pxq ` Đc xĐ c Ví dụ 1.7 Cho hàm số g pxq $ &x2 %? x D xlim f pxq ` Ñc x 0, x ¡ Vì lim g pxq lim g pxq nên tồn lim g pxq x Ñ0 x Ñ0 x Ñ0 Cho hàm số k pxq $ &1 %x nu x Ô 0, nu x Ă Vì lim k pxq lim k pxq nên không tồn lim k pxq x Ñ0 x Ñ0 x Định nghĩa 1.8 Cho f hàm số xác định D Ñ0 R Ta nói P D @ε ¡ 0, Dδ δpεq ¡ 0, @x P D, |x x0| δ ùñ |f pxq f px0q| ε f liên tục x0 f liên tục pa, bq D f liên tục x P pa, bq Nhận xét 1.9 Trong định nghĩa giới hạn hàm số lim f pxq, ta khơng địi hỏi x Đ x0 f xác định x0 , f xác định x0 giá trị f px0 q không ảnh hưởng đến giới hạn mà bị chi phối giá trị f điểm gần với x0 Tuy nhiên, trường hợp hàm số liên tục, giá trị f điểm gần với x0 yêu cầu f xác định x0 giá trị f px0 q có ý nghĩa định P D điểm giới hạn f liên tục x0 lim f pxq f px0 q xÑ x h Nếu x0 Như nói f khơng liên tục x0 có nghĩa x0 điểm giới hạn D (vì điểm lập D hàm f ln ln liên tục) Khi không tồn lim f pxq, giới hạn tồn khơng f px0 q Nói cách khác x Ñ x0 Dε ¡ 0, @δ ¡ 0, Dxδ P D : |xδ x0| δ ñ |f pxδ q f px0q| ¥ ε Định nghĩa 1.10 Cho f hàm số xác định ra, bs R Ta nói f liên tục trái b lim f pxq f pbq; xÑ b f liên tục phải a lim f pxq f paq; x Ña f liên tục ra, bs f liên tục pa, bq, liên tục phải a liên tục trái b Hàm số liên tục đoạn ra, bs có nhiều tính chất đặc biệt mà nói chung hàm số không liên tục liên tục khoảng pa, bq khơng có Ở phần ta trình bày số tính chất quan trọng Định lý 1.2 (Weierstrass - Tính bị chặn) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f bị chặn ra, bs Tức là, DA, B P R : A Ô f pxq Ô B, @x P ra, bs Định lý 1.3 (Weierstrass - Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ ra, bs Tức là, Dx1, x2 P ra, bs : f px1q Ô f pxq Ô f px2q, @x P ra, bs Định lý 1.4 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs f paq.f pbq Khi tồn c P pa, bq để f pcq Định lý 1.5 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f nhận giá trị trung gian f paq f pbq Tức là, @C P mintf paq, f pbqu, maxtf paq, f pbqu , Dc P ra, bs : f pcq C h Hệ 1.6 Giả sử f liên tục ra, bs m, M giá trị nhỏ giá trị lớn f ra, bs Khi f nhận giá trị trung gian m M Tức là, @C P rm, M s, Dc P ra, bs : f pcq C 1.2 Tính khả vi hàm số Định nghĩa 1.11 Cho hàm số y f pxq xác định pa, bq Cho x0 gia ∆x đủ nhỏ cho x x0 ∆x P pa, bq Nếu tồn giới hạn lim ∆x Ñ0 f px0 ∆xq f px0 q ∆x P pa, bq số f pxq f px0 q xlim Ñx x x0 ta nói f có đạo hàm x0 Giới hạn gọi đạo hàm f x0 ký hiệu f px0 q Chú ý giới hạn phụ thuộc vào x0 nên f có đạo hàm x P D pa, bq ta có hàm số f xác định D gọi đạo hàm hàm f D Ví dụ 1.12 Xét hàm số f pxq x2 Với x0 f p xq f p x0 q lim xÑ x0 x x0 Vậy f có đạo hàm x0 x2 x20 xlim Ñ x0 x x P R ta có xlim px Đx P R f 1px0q 2x0 x0 q 2x0 Xét hàm số f pxq sin x Với x0 lim x Đ x0 P R ta có f pxq f px0 q sin x sin x0 lim x Ñ x x x0 x x0 px x0q sin x x0 cos 2 xlim Ñx x x0 lim cos px x0q cos x 0 x Vậy f có đạo hàm x0 Đ x0 P R f 1px0q cos x0 Vì đạo hàm định nghĩa thơng qua khái niệm giới hạn, cách tự nhiên ta có khái niệm đạo hàm phía Định nghĩa 1.13 Hàm số f xác định pa, bq gọi có đạo hàm phải x0 P pa, bq tồn giới hạn phải lim ∆x Ñ0 f p x0 ∆xq f px0 q ∆x lim x Ñ x0 f pxq f px0 q x x0 Ta gọi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 ký hiệu f px0 q hay f px0 q h Định nghĩa tương tự cho khái niệm đạo hàm trái hàm f x0 ký hiệu f1 px0 q hay f px0 q Ví dụ 1.14 Xét hàm số f pxq |x| Ta có lim x Đ0 f pxq f p0q x lim Ñ0 x nên f p0q f1 p0q 1 x 1 xlim Ñ0 x f pxq f p0q x x xlim 1 Ñ0 x $ &x sin x 0, Xét hàm số f pxq %0 x x Ta có x sin f pxq f p0q x sin x x x Rõ ràng không tồn lim sinp1{xq lim sinp1{xq nên f khơng có đạo x Ñ0 hàm phải đạo hàm trái x x Ñ0