(Luận văn thạc sĩ) bài toán hàm ẩn và một số dạng tích phân liên quan trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG h TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG h TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Hàm ẩn Đạo hàm hàm số ẩn Cơ sở lý thuyết đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị 1.3.1 Các kiến thức đồng biến nghịch biến hàm số 1.3.2 Các kiến thức cực trị hàm số 1.3.3 Các kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ h lớn nhất, giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số 1.3.4 hàm số 10 Sự tương giao đồ thị hàm số 11 Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn 2.1 12 Khảo sát tính đơn điệu hàm ẩn thơng qua số điều kiện biết 12 i 2.1.1 Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm y = f (x) với hàm u(x) biết 12 2.1.2 Xác định khoảng đơn điệu hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị y = f (x), với hàm u(x) biết 2.1.3 15 Sáng tác số toán hàm ẩn liên quan tính đơn điệu hàm số 18 2.2 Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 21 2.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) biết đồ thị bảng biến thiên hàm f (x), với u(x) hàm h biết 21 2.2.2 Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 24 2.2.3 2.3 Sáng tác số toán cực trị hàm ẩn 26 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 30 ii 2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên y = f (x) y = f (x) miền D, với u(x) biết 30 2.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) + v(x) khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 32 2.3.3 Sáng tác số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn 34 2.4 Khảo sát tương giao đồ thị hàm ẩn 39 2.4.1 Dạng toán cho biết đồ thị bảng biến thiên h hàm số y = f (x), xét tốn liên quan đến phương trình f (u(x)) = a, với u(x) hàm biết 39 2.4.2 Dạng toán tương giao biện luận nghiệm phương trình f (u(x)) = g(m) cho biết đồ thị bảng biến thiên f (x) với u(x) hàm biết 2.4.3 41 Biết đồ thị bảng biến thiên y = f (x), xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m),với hàm u(x) biết 44 iii 2.4.4 Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có dạng f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với hàm u(x) biết 49 2.4.5 Dạng toán liên quan đến đồ thị bảng biến thiên hàm y = f (x) Xét toán liên quan đến phương trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) biết 56 2.4.6 Sáng tác toán tương giao hàm ẩn 60 Tích phân hàm ẩn 69 Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 69 3.2 Tích phân hàm ẩn phương pháp phần 76 3.3 Một số toán tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: h 3.1 f (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) 83 3.4 Sáng tác tốn tích phân hàm ẩn 85 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 iv MỞ ĐẦU Theo xu đổi giáo dục, trình dạy học để đạt kết cao đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh, để đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô giáo luôn học hỏi cập nhật sáng tạo phương pháp cách giải cho học sinh dễ tiếp cận để học sinh thích nghi với thay đổi kì thi thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Không giúp học sinh h vượt qua nỗi lo âu, sợ hãi phải luyện tập câu mức độ vận dụng cao giải tập đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Qua kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018, 2019 gần năm 2020 kiến thức toán THPT xây dựng phát triển theo nhiều hướng Đây thách thức lớn hội để giáo viên phải luôn học hỏi nâng cao kỹ giảng dạy thân Trong mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thường xuyên trọng xoáy sâu “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàm ẩn” “Tích phân liên quan đến hàm ẩn” Các toán liên quan đến chuyên đề “Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương pháp để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn tích phân hàm ẩn cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh để tiếp cận giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí câu mức độ vận dụng cao đề thi TN THPT Quốc Gia cho năm tới Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I: Giới thiệu, nhắc lại số kiến thức chung hàm số sơ cấp chương trình phổ thơng Chương II: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn hàm ẩn liên quan đến tính chất đồ thị hàm số tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số Cụ thể chương phân mục tương ứng cho nội dung đặt Chương III: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn tích phân hàm ẩn Cụ thể chương phân mục đích tích phân biến đổi số tích phân phần Và cuối chương II III có mục sáng tác riêng dạng tốn thường gặp kì thi TN THPT Quốc Gia Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn h hướng dẫn TS Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Tốn Thống Kê Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Mai Thành Tấn – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn tồn thể q thầy Khoa Toán - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả luận văn CHÂU ĐÌNH TÍN h Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm ẩn Cho phương trình F (x, y) = (1.0.1) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R2 Nếu với giá trị x = x0 khoảng I đó, có hay nhiều giá trị y0 cho F (x0 , y0 ) = 0, ta nói phương trình (1.0.1) xác định hay h nhiều hàm số ẩn y theo x khoảng I Vậy hàm số f : I → R hàm số ẩn xác định (1.0.1) ∀x ∈ I, (x, f (x)) ∈ U F (x, f (x)) = Tương tự vậy, phương trình F (x, y, z) = (1.0.2) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp mở U ⊂ R3 , có thê xác định hay nhiều hàm số ẩn x biến số x, y Hệ hai phương trình   F (x, y, z, u, v) =  G(x, y, z, u, v) = F : U → R, G : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R5 , xác định hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v biến số x, y, z Ta có định lí sau tồn tại, tính liên tục tính khả vi hàm số ẩn