(Luận văn thạc sĩ) bài toán hit đối với đại số đa thức tại một số bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TÚ OANH h BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC TẠI MỘT SỐ BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TÚ OANH BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC TẠI MỘT SỐ BẬC h Chuyên ngành : Đại số Lí thuyết số Mã số 46 01 04 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM i Mục lục h ii Bảng số kí hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử Pk : Đại số đa thức k biến x1 , x2 , , xk trường F2 A : Đại số Steenrod mod Nk : Tập hợp tất số nguyên dương không vượt k Nk : Tập hợp tất cặp (i; I), với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk , i < i1 < i2 < < ir k, r < k XI : Đơn thức x1 xˆi1 xˆir xk = Q xi , với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk i∈Nk \I : Đơn thức x1 x2 xk Pk X{i} : Đơn thức x1 xˆi xk Pk với i k X : Đơn thức x1 x2 xk−1 Pk−1 αi (n) : Hệ số thứ i > khai triển nhị phân số nguyên dương n α(n) µ(n) : Số hệ số khai triển nhị phân n r P : Số nguyên r nhỏ n = (2di − 1) với di > ω(k,b) : Véctơ trọng có dạng ω(k,b) = ((k − 1)(b) ) ω ¯ (k,b) : Véctơ trọng có dạng ω¯ (k,b) = ((k − 1)(b−1) , k − 3, 1) ω ˜ (k,b) : Véctơ trọng có dạng ω˜ (k,b) = ((k − 1)(b−1) , k − 5, 2) h X∅ i=1 MỞ ĐẦU Bài tốn hit tốn tìm tập sinh cực tiểu đại số Pk = F2 [x1 , x2 , , xk ] = H ∗ ((RP ∞ )k ; F2 ) xét môđun (trái) đại số Steenrod A Ở đây, Pk đại số đa thức k biến x1 , x2 , , xk trường F2 có hai phần tử, biến có bậc Bài tốn tìm tập sinh cực tiểu đại số đa thức Pk xét môđun đại số Steenrod tốn mang tính thời sự, quan tâm nghiên h cứu nhiều tác giả nước quốc tế Bài toán toán trọng tâm Tơ pơ - Đại số có nhiều ứng dụng toán kinh điển lý thuyết đồng luân Cụ thể là, toán ứng dụng việc nghiên cứu biểu diễn modular nhóm tuyến tính hướng nghiên cứu có tính thời cao Bài tốn hit Frank Peterson đặt vào năm 1987 xác định tường minh k = 1, [?] Trường hợp k = xác định hoàn toàn luận án Masaki Kameko [?] trường Đại học John Hopkins vào năm 1990 Trường hợp k = toán xác định tường minh Sum [?, ?] Trong trường hợp tổng quát, toán nghiên cứu nhiều tác giả nước Hiện toán hit toán mở với k ≥ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại kết báo Sum [?] toán hit dạng bậc tổng quát (k − 1)(2d − 1) với d số nguyên dương tùy ý trình bày lại số kết liên quan đến dạng bậc với k ≥ Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương với nội dung sau Chương Nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số trường, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số Steenrod, đơn thức chấp nhận số kết liên quan đến tốn hit Chương Trình bày tóm tắt sở chấp nhận đại số Pk xét môđun đại số Steenrod hệ phần tử sinh dạng bậc (k − 1)(2d − 1) Chương Trình bày tính tốn hệ sinh cực tiểu dạng bậc đại số đa thức biến h Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số trường, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số Steenrod, đơn thức chấp nhận số kết liên quan đến toán hit Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu Kameko [?], 1.1 h Sum [?, ?], Phúc [?] Đại số trường Định nghĩa 1.1.1 Xét tập hợp X khác rỗng với ba phép tốn sau : Phép cộng + : X × X −→ X (x, y) 7−→ x + y, Phép nhân : X × X −→ X (x, y) 7−→ xy, Phép nhân với vô hướng : K × X −→ X (α, x) 7−→ αx, X gọi đại số trường K thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) X với phép toán cộng phép toán nhân lập thành vành (ii) X với phép toán cộng phép nhân vô hướng lập thành không gian véctơ K (iii) Cấu trúc vành không gian véctơ ràng buộc với điều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy), với α ∈ K, x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X đại số K, tập A ⊂ X 1) Tập A X gọi đại số A vừa vành vừa không gian véctơ X 2) Giao tất đại số X chứa A gọi đại số sinh h A đại số nhỏ X chứa A Định nghĩa 1.1.3 Cho tập B ⊂ X B gọi iđêan đại số X vừa iđêan vành X vừa không gian véctơ không gian véctơ X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X đại số K, B iđêan X Khi đó, X/B với phép toán sau tập hợp lớp ghép B X : (i) (x + B) + (y + B) = (x + y) + B, (ii) (x + B).(y + B) = (xy) + B, (iii) α(x + B) = (αx) + B, với α ∈ K, x, y ∈ X gọi đại số thương X B Định nghĩa 1.1.5 Số chiều đại số X trường K, kí hiệu dimK X số chiều K-khơng gian véctơ X Định nghĩa 1.1.6 Giả sử X Y đại số K Ánh xạ ϕ : X −→ Y gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu vành vừa đồng cấu K-không gian véctơ Đồng cấu ϕ gọi đơn cấu ϕ đơn ánh Đồng cấu ϕ gọi toàn cấu ϕ toàn ánh Đồng cấu ϕ gọi đẳng cấu ϕ song ánh Định nghĩa 1.1.7 Cho tập E ⊂ X Đại số X gọi tự X sinh tập E tập tất đơn thức {x1 , x2 , , xn | xi ∈ E, i = 1, 2, , n, n ≥ 0} độc lập tuyến tính X Ta nói X đại số khơng kết hợp X trang bị ba phép toán thỏa mãn điều kiện nói Định nghĩa ?? loại trừ điều kiện tính chất kết hợp phép nhân h 1.2 Đại số Steenrod Trong phần chúng tơi trình bày sơ lược cấu trúc đại số Steenrod mod Ký hiệu Ae đại số kết hợp, tự trường F2 gồm hai phần tử sinh i f bậc i, với i số nguyên không âm Gọi B iđêan tập hợp ký hiệu Sq e sinh tập tất phần tử có dạng A a b f − f Sq Sq [a/2]  X b − − j  a+b−j j f f j=0 a − 2j Sq Sq , < a < 2b, Sq − 1,
hệ số nhị thức tính theo mod quy ước nk = e gọi đại số Steenrod mod Ký hiệu Sq i n < k Đại số thương A = A/B i f Khi đại số A có quan hệ lớp A có đại diện Sq n k
a b Sq Sq = [a/2]  X b − − j j=0 a − 2j Sq a+b−j Sq j , < a < 2b, Sq = 1, gọi quan hệ Adem đại số Steenrod A Các ký hiệu Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i 1.3 Cấu trúc môđun đại số Steenrod Trong phần này, chúng tơi trình bày cấu trúc mơđun đại số đa thức Pk đại số Steenrod mod Ký hiệu Pk = F2 [x1 , x2 , , xk ] đại số đa thức k biến x1 , x2 , , xk trường F2 có hai phần tử, biến có bậc Đại số xét mơđun đại số Steenrod mod 2, A Tác động A lên Pk xác định công thức tường minh Sq i (xj ) =    x   j x2 j    0 i = 0, i = 1, i > 1, h công thức Cartan n Sq (f g) = n X Sq i (f )Sq n−i (g) i=0 với f, g ∈ Pk Định nghĩa 1.3.8 Một đa thức f ∈ Pk gọi hit f biểu diễn P i dạng tổng hữu hạn f = Sq (fi ), fi ∈ Pk , i ∈ N Nghĩa i>0 f∈ A+ P k với A+ iđêan A sinh toán tử Steenrod bậc dương