Nghiên cứu phương pháp lập luận mờ trên đồ thị nhận thức sử dụng đại số gia tử Nghiên cứu phương pháp lập luận mờ trên đồ thị nhận thức sử dụng đại số gia tử Nghiên cứu phương pháp lập luận mờ trên đồ thị nhận thức sử dụng đại số gia tử
Tập mờ và thông tin không chắc chắn
Khái niệm tập hợp mờ
Trong các biểu thức sau đây, các phép toán lấy tổng P
Phép lấy tích phân R và phép cộng + chỉ là các biểu diễn hình thức mà không có nghĩa theo quy ước thông thường, nhưng chúng rất tiện dụng trong việc định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ Định nghĩa 1.1: Cho một tập vũ trụ U, tập mờ A được xác định bởi đẳng thức.
A e(u) u :u∈U, à A e (u)∈[0, 1]} (1.2) được gọi là một tập hợp mờ trên tập U.
Biến lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở, và tập U còn được gọi là tập tham chiếu hay miền cơ sở Hàm A e : U → [0, 1] được gọi là hàm thuộc (membership function), trong đó giá trị A e (u) tại u được gọi là độ thuộc của phần tử u thuộc về tập hợp mờ A Hàm thuộc A e cũng có thể được ký hiệu là A(u) nếu biến cơ sở e không biểu thị hiển, hoặc A(u) nếu biến u xuất hiện hiển Tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U).
Có nhiều phương pháp để biểu diễn hình thức của một tập mờ Đối với tập U, cho dù là hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục, tập mờ Ae có thể được diễn đạt thông qua các biểu thức hình thức khác nhau.
• Trong trường hợp tập U hữu hạn, U={u i : 1≤i≤n}, ta có thể viết:
X i=1 à A e (u i ) u i Trong trường hợp này tập mờ Aeđược gọi là tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set)
• Trong trường hợp Ulà tập vô hạn đếm được U={u i :i= 1, 2, }, ta có thể viết:
• Trong trường hợp U là tập vô hạn liên tụcU= [a, b], ta có thể viết:
Ví dụ 1.1 Xét tập U gồm 5 người là x 1 , x 2 , , x 5 tương ứng có tuổi là
10,15,50,55,70 và Ae là tập các người Trẻ Khi đó ta có thể xây dựng hàm thuộc như sau:à Trẻ (10) = 0.95,à Trẻ (15) = 0.75,à Trẻ (50) = 0.35,à Trẻ (55) = 0.30, à Trẻ (70) = 0.05và tập mờ Aelà:
Tập mờ rời rạc trên miền phi số được ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong việc xử lý miền giá trị ngôn ngữ Việc sử dụng tập mờ giúp cải thiện khả năng diễn đạt và phân tích thông tin không rõ ràng, từ đó nâng cao chất lượng dữ liệu ngôn ngữ.
Biến ngôn ngữ NHIỆT ĐỘ được xác định trên miền 3 giá trị U = {Thấp, Trung-bình, Cao} Tập mờ rời rạc Te trên miền U có thể được biểu thị bằng phương trình (1.4).
Cao Chẳng hạn Trời-mát có thể biểu thị bằng tập mờ như sau:
Vớ dụ sau xem xột hàm à(.) theo từng đoạn trờn miền U= [0, 100]
Ký hiệu tập mờ Ae là tập con của U bởi A⊂U, và tậpe U = {u 1 , u 2 , u n } bởi
U=u 1 + u 2 + .+u n hay U=Pn i=1u i với quy ước phép + như đã nói ở trên Sau đây là các ví dụ minh họa cách biểu diễn tập mờ.
Ví dụ 1.4 Tập con mờ A là rời rạc.
• Xét tập U là tập các số nguyên dương từ 1 đến 10, U= 1 + 2 + + 10. – Tập mờ Một-vài ⊂Ue có thể khai báo:
7 + 0.5 8 – Và tập con mờ Không-nhỏ-và-không-lớn có thể viết:
Không-nhỏ-và-không-lớn = 0.2
• Với tập U là tập các số nguyên dương từ 1 đến ∞, U= 1 + 2 +
– Tập con mờ Số-nhỏ có thể biểu diễn:
Ví dụ 1.5 Trường hợp tập con mờ A là liên tục xét tập vũ trụ U = [0, 100], với u=TUỔI, tập mờ Già⊂Ue có thể biểu diễn như sau:
Với uP, giỏ trị hàm thành viờn à
Quan hệ giữa các tập con mờ: Hai tập mờ Ae⊂Ue và Be⊂Ue có quan hệ:
Biểu diễn tập mờ theo lát cắt[: Phép toán logic hoặc, ký hiệu là∨ (hoặc +) của hàm thành viên là phép toán lấy Max. à j (u i ) u i + à k (u i ) u i = (à j ∨à k ) u i (1.8)
Biểu diễn tập mờ qua tập rõ có thể thực hiện thông qua các lát cắt Nếu A là một tập con mờ của tập vũ trụ U, thì các lát cắt của A sẽ tạo thành một tập rõ, giúp xác định rõ ràng các thành phần trong tập mờ đó.
A [ A [ bao gồm tất cả các phần tử của U mà giá trị hàm thành viên trong A lớn hơn hay bằng [.
Khi đó, một tập mờ A có thể phân tích thành các lát cắt A =R1
Ví dụ 1.7 Xét tập vũ trụ U = 1 + 2 + + 10, các tập con mờ A = 0.1 2 + 0.3 1 + 0.5 7 +
6 + 1 9 có thể phân tích thành:
Tập mờ, giống như tập hợp rõ, có các phép toán cơ bản, bao gồm các phép toán logic ∨ (hoặc) và ∧ (và), trong đó phép toán ∨ trả về kết quả lớn nhất (Max) và phép toán ∧ trả về kết quả nhỏ nhất (Min).
1 Phộp lấy phần bự của tập mờ A cho kết quả là tập mờ ơA: ơA Z
2 Hợp của hai tập mờ A và B cho kết quả là tập mờ, ký hiệu là A + B:
3 Giao của hai tập mờ A và B cho kết quả là tập mờ, ký hiệu là A ∩ B:
4 Tích của hai tập mờ A và B, ký hiệu là AB
Ví dụ 1.8 Với tập vũ trụ U = 1 + 2 + + 10, các tập con A ⊂e U và B ⊂e U, với:
Vấn đề tính toán trên từ đã được L A Zadeh xây dựng và phát triển như trong
Logic mờ, theo L A Zadeh, cho phép tính toán trên các từ, mở ra cơ hội phát triển các mô hình toán học phục vụ cho xử lý ngôn ngữ tự nhiên Hệ thống CWW cung cấp khả năng tính toán với thông tin được diễn đạt bằng ngôn ngữ tự nhiên, là nền tảng cho nhiều ứng dụng như cỗ máy tìm kiếm và hệ thống hỏi đáp tự động Các ứng dụng này bao gồm trích xuất thông tin và máy dịch, góp phần nâng cao hiệu quả trong việc xử lý dữ liệu ngôn ngữ.
Ví dụ 1.9 Các mức của tính toán trên từ của các mệnh đề dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên:
1 Mức 0 CW: Tính toán với số:
Tandy is 3 years older than Dana Kết luận Tandy is (25+3) years old
Giả thiết Dana is young
Tandy is a few years older than Dana Kết luận Tandy is (young + few) years old
Giả thiết Most Swedes are tall
Most tall Swedes are blond Kết luận Most Swedes are blond
CWW có ba mức độ so sánh: mức 0 chỉ so sánh số, mức 1 so sánh từ, và mức 2 không chỉ so sánh từ mà còn bao gồm thêm l từ CWW được áp dụng trong các bài toán mà giá trị số không thể tính được, các bài toán có miền giá trị thay đổi, hoặc những bài toán mang tính tổng kết và rút trích ngôn ngữ Độ phức tạp của bài toán CWW được chia thành hai cấp độ: CWW1 (cấp độ I, cơ bản) và CWW2 (cấp độ II, nâng cao).
CWW1 tập trung vào việc tính toán các từ, cụm danh từ và mệnh đề đơn giản, trong khi CWW2 xử lý các mệnh đề phức tạp Theo nghiên cứu, logic mờ áp dụng cho các từ cho thấy rằng việc tính toán trên từ là các phép toán mờ Biến ngôn ngữ, được coi là công cụ tính toán cho bài toán CWW1, bao gồm các luật if-then Theo L A Zadeh, biến ngôn ngữ là một bộ bốn, đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán và lập luận cho bài toán CWW.
Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến các khái niệm quan trọng liên quan đến biến X, với T(X) là ngôn ngữ sinh ra từ X và U là miền giá trị của X G đại diện cho tập luật sinh, trong khi tập mờ M thể hiện ngữ nghĩa của X Gia tử, ký hiệu h (hedge), là toán tử một ngôi giúp sinh ra một tập giá trị ngôn ngữ phong phú hơn từ tập ban đầu.
Ví dụ 1.10 Xét biến ngôn ngữ AGE, X = AGE, biến cơ sở u có miền xác định
U = [0,100] Khi đó, các giá trị ngôn ngữ tương ứng với biến AGE là:
The concept of age encompasses a spectrum that ranges from very young to extremely old, including various classifications such as young, not young, and middle-aged This continuum highlights the diverse stages of life, illustrating the complexity of age categorization, which includes terms like not very young, not very old, and not middle-aged Understanding age in this multifaceted way allows for a more nuanced appreciation of the human experience across different life stages.
Các giá trị ngôn ngữyoungvàoldlà các giá trị nguyên thủy.h∈ {very, extremely} là các gia tử.
Kiến thức cơ sở về đại số gia tử
Giả sử chúng ta có một tập hợp giá trị ngôn ngữ cho biến nhiệt độ (T EM P ERAT U RE) bao gồm các từ như: X = dom(T EM P ERAT U RE) {Rất rất thấp, Thấp hơn rất nhiều, Rất thấp, Khá rất thấp, Ít rất thấp.
V ery M ore low, M ore M ore low, M ore low, Rather M ore low, Little M ore low, low, , M edium, V ery Little high, M ore Little high, , high, V ery high,
V ery V ery high } Với thứ tự là: V ery V ery low < M ore V ery low < V ery low Ptrue > Ltrue Các giá trị này được sinh ra từ biến ngôn ngữ truth Xét các mệnh đề p = "Lucie is young is Vtrue" và q = "Lucie is smart is Ptrue", ta có thể diễn dịch các mệnh đề này trong cấu trúc L.
• truth(p) = Vtrue∈L,truth là hàm một biến, phép toán một ngôi.
• p∧q= Vtrue∧Ptrue =Ptrue∈L ∧ là hàm hai biến, phép toán hai ngôi.
• p∨q= Vtrue∨Ptrue = Vtrue∈H ∨là hàm hai biến, phép toán hai ngôi.
Một cách để đơn giản hóa biểu diễn của cấu trúc là sử dụng kiểu của cấu trúc.
Vớ dụ 1.15 Bộ h[0, 1], ∨, ∧, ơi là cấu trỳc trờn từ vựng ρ = hf 2 , f 1 i, cú kiểu h2, 2, 1i
Cấu trúc dàn mở rộng trên miền trị ngôn ngữ
Dàn là cấu trúc đại số cơ bản cho logic, với cấu trúc h2, 2, 2, 2, 0, 0i trên h[0, 1], ∧, ∨, ⊗, →, 0, 1i, là nền tảng cho logic BL (logic cơ bản) [43] trên đoạn [0, 1] Cấu trúc dàn và logic trong [43] đại diện cho các lập luận mờ trên đoạn này.
Trong bài viết, tác giả đã trình bày một cấu trúc dàn với kiểu h2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0i để thực hiện các tính toán trên từ vựng hf 2 Các ký hiệu như hAX, ∧, ∨, ⊗, ⊕, ơ, →, 0, 1i được sử dụng cho các phép toán liên quan đến từ Ngoài ra, một kiểu quan trọng khác cho suy diễn trên từ cũng được áp dụng, đó là kiểu h2, 2, 2, 2, 0, 0i.
Các cấu trúc dàn trên bao gồm các phép toán hai ngôi như ∧ và ∨, cùng với các phép toán một ngôi như ơ Ngoài ra, các phép toán không ngôi được biểu diễn bằng các hằng số.
Để thực hiện các phép toán trên vector và ma trận trong đồ thị, cần có các phép toán đa hạng trên dàn mở rộng Luận án nghiên cứu một cấu trúc từ vựng hf a i , f 2 , ci với kiểu cấu trúc ha i , a i , 2, 2, 2, 0, 0i, trong đó a i là số nguyên dương và c là hằng số, làm cơ sở cho các lập luận tiếp theo Định nghĩa 1.12 giới thiệu một cấu trúc đại số L của bộ từ vựng hf a i , f 2 , ci trên miền trị ngôn ngữ L.
, _, ∧, ∨, →, ⊥, >i (1.21) được gọi là dàn mở rộng ELL ( edtended linguistic lattice) Trong đó, L là ngôn ngữ của ĐSGT và ý nghĩa của các ký hiệu như sau:
Ký hiệu Phép toán Ý nghĩa
L: Tập các giá trị ngôn ngữ
Lì ã ã ã ìL→L Phộp toỏn lấyMin _: a i lần z }| {
Lì ã ã ã ìL→L Phộp toỏn lấyMax
>:>=sup{L} Phần tử lớn nhất trên L
⊥:⊥=inf{L} Phần tử bé nhất trênL
Các hằng số >=sup{L}= 1 và ⊥=inf{L}= 0.
Các phép toán trên dàn ELL
Theo Định nghĩa 1.12, dàn L sử dụng các phép toán logic ∧ và ∨ để thực hiện việc lấy Min và Max của hai toán hạng Các phép toán V và W cũng tương tự, thực hiện việc lấy Min và Max của a i toán hạng.
Ví dụ 1.16 Xét một ĐSGT về tốc độ (SPEED) chuyển động:
HA= (SP EED,{V,L,M},{high, low},≤) Trong đó:
SP EED Tên biến ngôn ngữ
M Gia tử có phần tử sinh dương cao hơn phần tử sinh âm, với thứ tự LV cho phần tử sinh âm thấp Điều này dẫn đến việc ngôn ngữ L của biến SP EED được xác định như sau.
L={0, ,Lhigh, high,Mhigh,Vhigh,PMhigh,MPhigh,PVhigh,VPhigh,MVhigh, VMhigh,PMVhigh,VPMhigh,PVMhigh,VMPhigh,MVPhigh, ,1}
Khi đó, các phép toán trên dàn L cho miền trị ngôn ngữ Lsẽ là:
• Với phép toán ∧: Lhigh∧high=Lhigh ∈L
• Với phép toán ∨: Mhigh∨ Vhigh= Vhigh∈L
• Với phép toán →: 1→MVPhigh=MVPhigh
(.) được áp dụng nhiều trong các tính toán hình thức au- tomata và máy học trên tập mờ [79, 80].
Các tính chất của dàn ELL
Cặp toán tử (∧, →) có sự liên kết chặt chẽ trong nhiều ứng dụng của logic mờ và dàn thặng dư Trong cấu trúc dàn ELL, với `1, `2, `3 ∈ L, mối quan hệ giữa (∧, →) được định nghĩa rõ ràng.
Theo Phương trình (1.22), biểu thức logic L (Lukasiewicz) và G (G¨odel) trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ L là:
• Cặp toán tử ∧,→trên logic Lukasiewicz:
• Phép toán ∧ và → trên logic G¨odel
Dàn L trong Phương trình (1.21) có các tính chất sau đây [CT1, CT4]:
Tính chất 1.1 Các tính chất của dàn:
1 Dàn L bảo toàn thứ tự ≤ với các phép toán ∧, ∨, V và W
2 (L, ∧, 1) là nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1.
3 Với ` 1 , ` 2 , ` 3 ∈L, giữa hai phép toán ∧ và → có mối liên hệ:
4 Dàn L là dàn thặng dư.
Chứng minh Xét một ĐSGT HA = (X, G, C, H,≤) với H 6= ∅, G = {c + , c − }, C {0,W,1} Tập ngôn ngữ L={δc, c∈G, δ ∈H ∗ }, với H ∗ là xâu gia tử sinh ra từ H.
1 Dàn L bảo toàn thứ tự ≤với các phép toán ∧, ∨, V và W Gọi ∆, δ, ρ ∈ H ∗ là các xâu gia tử Xét hai trường hợp phần tử sinh dương c + và phần tử sinh âm c −
A Trường hợp phần tử sinh dương c +
Với phép toán logic∧: (ρ∧δ)c + ≤(ρ∧∆)c + (1.25) Với phép toán logic∨: (ρ∨δ)c + ≤(ρ∨∆)c + (1.26) Với phép toán logic ^
Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
(ρ∧δ)c + ≤(ρ∧∆)c + Theo giả thiết Min{ρ, δ}c + ≤ Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∧ ρc + ≤ρc + Dấu đẳng thức xảy ra ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
(ρ∧δ)c + ≤(ρ∧∆)c + Theo giả thiết Min{ρ, δ}c + ≤ Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∧ δc + ≤ρc + iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
(ρ∧δ)c + ≤(ρ∧∆)c + Theo giả thiết Min{ρ, δ}c + ≤ Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∧ δc + ≤∆c +
Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
(ρ∨δ)c + ≤(ρ∨∆)c + Theo giả thiết Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∨ δc + ≤∆c + ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
(ρ∨δ)c + ≤(ρ∨∆)c + Theo giả thiết Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∨ ρc + ≤∆c + iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
(ρ∨δ)c + ≤(ρ∨∆)c + Theo giả thiết Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép∨ ρc + ≤ρc + Đẳng thức xảy ra
{ρ,∆}c + Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
Min{ρ, δ}c + ≤Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép ^ ρc + ≤ρc + Dấu đẳng thức xảy ra ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
Min{ρ, δ}c + ≤Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép ^ δc + ≤ρc + iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
Min{ρ, δ}c + ≤Min{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép ^ δc + ≤∆c +
{ρ,∆}c + Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép _ δc + ≤∆c + ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép _ ρc + ≤∆c + iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
Max{ρ, δ}c + ≤Max{ρ,∆}c + Theo định nghĩa phép _ ρc + ≤ρc + Đẳng thức xảy ra
B Trường hợp phần tử sinh âm c −
Với phép toán logic∧: (ρ∧δ)c − ≥(ρ∧∆)c − (1.30) Với phép toán logic∨: (ρ∨δ)c − ≥(ρ∨∆)c − (1.31) Với phép toán logic ^
Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
(ρ∧δ)c − ≥(ρ∧∆)c − Theo giả thiết Min{ρ, δ}c − ≥ Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∧ ρc − ≥ρc − Dấu đẳng thức xảy ra ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
(ρ∧δ)c − ≥(ρ∧∆)c − Theo giả thiết Min{ρ, δ}c − ≥ Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∧ δc − ≥ρc − iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
(ρ∧δ)c − ≥(ρ∧∆)c − Theo giả thiết Min{ρ, δ}c − ≥ Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∧ δc − ≥∆c −
Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
(ρ∨δ)c − ≥(ρ∨∆)c − Theo giả thiết Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∨ δc − ≥∆c − ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
(ρ∨δ)c − ≥(ρ∨∆)c − Theo giả thiết Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∨ ρc − ≤∆c − iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
(ρ∨δ)c − ≥(ρ∨∆)c − Theo giả thiết Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép∨ ρc − ≥ρc − Đẳng thức xảy ra
{ρ,∆}c − Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
Min{ρ, δ}c − ≥Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép ^ ρc − ≥ρc − Dấu đẳng thức xảy ra ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
Min{ρ, δ}c − ≥Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép ^ δc − ≥ρc − iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
Min{ρ, δ}c − ≥Min{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép ^ δc − ≥∆c −
{ρ,∆}c − Xét ba trường hợp cho quan hệ giữa δ, ρ và ∆ i Trường hợp ρ≤δ≤∆
Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép _ δc − ≥∆c − ii Trường hợp δ≤ρ≤∆
Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép _ ρc − ≥∆c − iii Trường hợp δ≤∆≤ρ
Max{ρ, δ}c − ≥Max{ρ,∆}c − Theo định nghĩa phép _ ρc − ≥ρc − Đẳng thức xảy ra
2 (L, ∧, 1) là nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1.
= (` 1 ∧` 2 )∧` 3 Vậy(L, ∧, 1) Có tính kết hợp Mặt khác với ∀` ∈Lthì:
=` Vậy(L, ∧, 1) Có phần tử đơn vị là1.
3 Với ` 1 , ` 2 , ` 3 ∈ L, liên hệ giữa hai phép toán ∧ và → là : ` 1 ∧` 2 ≤ ` 3 ⇔ ` 1 ≤
`2 →`3 =def sup{`1 |`1∧`2 ≤`3} Theo Phương trình (1.22)
` 2 →` 3 ≥` 1 ⇔` 1 ∧` 2 ≤` 3 Theo định nghĩa phép toán sup
Chứng minh Vì dàn Lthỏa mãn ba Tính chất 1, 2 và 3 nên dànLlà dàn thặng dư ELL [45]
CẤU TRÚC ĐỒ THỊ NHẬN THỨC TRÊN MIỀN TRỊ NGÔN NGỮ 39 2.1 Đồ thị nhận thức và đồ thị nhận thức mờ
Đồ thị nhận thức mờ dựa trên ĐSGT
Cấu trúc tính toán dựa trên FCM trong [20, 21, 81, 85, 87] như trong Hình 2.7 có những ưu nhược điểm sau:
• Mô hình trực quan, hiện vẫn đang được nghiên cứu và phát triển
• Ứng dụng trong các lĩnh vực AI nói riêng và khoa hoc máy tính nói chung [20,21]
• Thiếu cấu trúc toán học cho việc biểu diễn và tính toán trên giá trị ngôn ngữ
• Tăng độ phức tạp do phải chuyển đổi qua lại giữa số và từ [CT3]
Các trạng thái rời rạc theo thời gian có thể hội tụ hoặc hỗn loạn Để khắc phục nhược điểm này, luận án đề xuất mô hình Đồ thị nhận thức mờ dựa trên ĐSGT và LCM (Linguistic cognitive map), nhằm tính toán trực tiếp trên từ và giảm độ phức tạp khi chuyển đổi giữa số và từ Sơ đồ khối của mô hình được trình bày trong Hình 2.8, minh họa các giai đoạn tính toán.
Hình 2.8: Sơ đồ khối cho mô hìnhLCM
• Giai đoạn 1: Dữ liệu vào được biểu diễn dưới dạng ngôn ngữ bằng cách sử dụng ĐSGT.
Trong giai đoạn có nhãn (E, C), các phép toán trên tập dữ liệu được thực hiện trực tiếp thông qua các phép toán trên ĐSGT, giúp khắc phục nhược điểm của việc chuyển đổi sang số.
Trạng thái của hệ thống biến đổi theo thời gian và hướng tới một vector cố định, điều này được xác định bởi hàm chuyển trạng thái dựa trên các phép toán của ĐSGT cùng với các phép toán định nghĩa trên dàn ELL.
2.2.2 Mô hình LCM từ kế thừa mô hình FCM
LCM kế thừa cấu trúc và hoạt động từ FCM, nhưng khác biệt ở tập dữ liệu đầu vào và các hàm chuyển trạng thái Trong khi FCM xử lý dữ liệu số hoặc dữ liệu không có cấu trúc, LCM sử dụng dữ liệu được xây dựng từ cấu trúc đại số là ĐSGT.
Luận án đề xuất hai cách tiếp cận để định nghĩa cấu trúc của LCM Cách tiếp cận thứ nhất dựa trên tính kế thừa từ FCM, trong khi cách thứ hai được xây dựng dựa trên lý thuyết mô hình.
(model theory) và cách thứ ba dựa trên mô hình FCM kiểu mới theo [22, 23]
Cả LCM và FCM đều là đồ thị có hướng với cấu trúc hình học tương đương, chỉ khác nhau ở cách biểu diễn dữ liệu trên các đỉnh và cạnh Theo định nghĩa trong [CT6] Định nghĩa 2.2, một đồ thị nhận thức mờ dựa trên biến ngôn ngữ LCM (linguistic cognitive map) được xác định là một bộ 4.
1 C={C 1 , C 2 , , C n } là tập N mệnh đề mờ tạo thành các nút của đồ thịLCM.
2 E : (C i , C j ) −→ e ij ∈ L là một hàm số kết hợp e ij với một cặp mệnh đề mờ (C i , C j ), với e ij là trọng số của cạnh có hướng từ C i đến C j
Ma trận kết nối là ma trận vuông cấp N ×N, E(N ×N)∈L N ×N , với:
3 Ánh xạ: C : C i −→ C i (t) là một hàm số kết hợp mỗi một mệnh đề mờ C i với một giá trị mờ trên miền trị ngôn ngữ của L,C i (t)∈L.
4 VớiC(0) = [C1(0), C2(0), , CN(0)]∈L N là giá trị khởi tạo cho cácmệnh đề mờ thì C(t) = [C 1 (t), C 2 (t), , C N (t)]∈L N là giá trị của các mệnh đề mờC i ở thời điểm t.
5 C j (t+ 1) ∈Llà giá trị của cácmệnh đề mờC j ở thời điểmt+ 1 là tổ hợp Max của các Minvà được tính truy hồi theo phương trình:
Trong đó phép toán W là phép lấy Maxcủa nhiều toán hạng và phép toán ∧ là phép toán hai ngôi, phép lấy Min.
Cấu trúc HA =< X = truth;c + = true;H = {L,M,V} > là một hệ thống ngữ nghĩa trên biến ngôn ngữ truth, với các gia tử được sắp xếp theo thứ tự L < M < V Trong đó, L đại diện cho gia tử "less", M cho "more", và V cho "very".
C={C1, C2, C3, C4} là tập 4 mệnh đề mờ và ma trận kết nối là ma trận vuông :
Ma trận M trong biểu thức 2.11 thể hiện mối quan hệ nhân - quả giữa C_i và C_j, với e_ij là chỉ số tương ứng Chẳng hạn, khi i = 1 và j = 2, mối quan hệ này có thể diễn đạt là: "nếu C_1 đúng thì C_2 đúng," hay được ký hiệu là P = "nếu C_1 đúng thì C_2 là M đúng." Kết quả của mệnh đề này là truth(P) = L đúng.
• Hình 2.9 là một đồ thị LCM đơn giản, chưa khởi tạo.
Giả sử vector khởi tạo là C(0) = {true, Mtrue, Ltrue, Vtrue}, tương ứng với các mệnh đề mờ {C1, C2, C3, C4} Đồ thị LCM khởi tạo được minh họa trong Hình 2.10 Để thể hiện sự kế thừa từ mô hình LCM sang mô hình FCM, cần sử dụng phép biến đổi miền từ tập {−1, 0, 1} sang tập {0, W, 1} thuộc HA.
Khi đó, đồ thị FCMtrong Hình 2.3 sẽ trở thành một đồ thị LCMvới các giá trị dữ liệu thuộc ngôn ngữ sinh ra từ ĐSGT như trong Hình 2.11.
Hình 2.9: Một đồ thị LCM đơn giản c 3 Ltrue
Hình 2.10: Đồ thị LCM khởi tạo với C(0) ={true,Mtrue,Ltrue,Vtrue}
Tập{−1, 0, 1} =⇒ Giá trị tương ứng trong HA
Bảng 2.2: Chuyển đổi giá trị từ tập {−1, 0, 1} sang tập {0, W,1} ∈HA
1 Hình 2.11: Đồ thị LCM kế thừa từ FCM
Với ma trận trọng số tương ứng sau khi áp dụng phép biến đổi miền và thay thế -1 bằng 0, thay 0 bằng phần tử W được kết quả như trong Hình 2.12
2.2.3 Tính chất của đồ thị LCM Để có thể mờ hóa khoảng đơn vịI= [0,1]trên miền trị ngôn ngữ của tậpL, chúng ta cần một số lượng lớn các gia tử Giả sử ~c= h n hn−1 h 1 c, tính chính xác trong biểu diễn khoảng đơn vị I phải tỷ lệ với chiều dài của ~, ký hiệu là length(~) Gọi
Khi xem xét giá trị kích thước |~| cho việc mờ hóa, câu hỏi quan trọng là mức độ nào là đủ tốt mà không làm tăng tính phức tạp do việc sử dụng quá nhiều gia tử Các tính chất sau đây sẽ giúp làm rõ vấn đề này.
Tính chất 2.1 Biểu diễn đoạn I bằng biến ngôn ngữ [CT6]
• Gọi dãy {I j} k j=1 là k phân hoạch của I, I là tập con của tập chỉ số, với ∀j, l ∈
Hình 2.12: Ma trận trọng số của đồ thị Hình 2.11
~c=h n h n−1 h 1 c (2.13) là biến ngôn ngữ, ~c∈L, W là phép lấy Max, H là một tập các gia tử h i , i∈I.
Chứng minh Gọi: {I 1,I 2, ,I k} làk phân hoạch của I
={(0,1 k],(1 k,2 k], ,(k−2 k ,k−1 k ],(k−1 k ,1)} Đặt ~kc=h n hn−1 h 1 c∈L là biểu diễn một điểm trong đoạn I k , ta có: fm(~kc) n
≤( _ h i ∈H fm(h i )) n ìà(c) C 4 − > C 5 và C 1 − > C 2 − > C 4 − > C 5 Giá trị ngôn ngữ của các đường đi được tính dựa trên phép toán Min, cụ thể:
• Ảnh hưởng nhân - quả của C1 lên C5 dọc theo đường đi C1− > C3− > C5 là
P 1 =Min{e 13 , e 35 } = Min{M uch, A lot}=M uch
• Ảnh hưởngnhân - quảcủaC 1 lênC 5 dọc theo đường điC 1 −> C 3 −> C 4 −> C 5 là P 2 =Min{e 13 , e 34 , e 45 } = Min{M uch, Some, Some}=Some
Ảnh hưởng nhân - quả của C1 lên C5 qua các đường đi C1 → C2 → C4 → C5 được xác định là P3 = Min{e12, e24, e45} = Min{Một ít, Rất nhiều, Một ít} = Một ít Từ đó, ảnh hưởng tổng hợp cuối cùng, T, từ C1 đến C5 được tính bằng giá trị Max từ các đường đi khác nhau.
T =Max{P 1 , P 2 , P 3 }=Max{M uch, Some, Some}=M uch
Ý nghĩa của mối quan hệ nhân - quả giữa C1 và C5 là rất lớn Lập luận trên đồ thị FCM cho dữ liệu ngôn ngữ thường chỉ mang tính chất cảm tính và thiếu cơ sở toán học cho các cấu trúc thứ tự cũng như các phép toán liên quan Tuy nhiên, vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng ĐSGT để biểu diễn và lập luận một cách chính xác hơn.
Ví dụ 3.6 Xét lại Ví dụ 3.5 trên miền ngôn ngữ của ĐSGT:
Sử dụng phương pháp biến đổi miền theo tài liệu [2, 3, 56], chúng ta chọn các giá trị ngôn ngữ từ các gia tử {V, M, L}, trong đó V đại diện cho "rất", M là "nhiều" và L là "ít" Phép chuyển đổi này được thể hiện qua Đồ thị LCM trong Hình 3.5 Lập luận theo nhánh sẽ bao gồm các yếu tố liên quan đến quá trình này.
Tập mờ Gia tử Ý nghĩa
Bảng 3.3 trình bày bảng chuyển đổi các tập mờ sang giá trị ngôn ngữ trên tập L, được tính toán dựa trên các giá trị ngôn ngữ thuộc tập L thông qua các phép toán Max và Min Phương pháp lập luận theo nhánh được áp dụng theo tài liệu [9, 19] Các phép toán Max và Min được xác định theo Định lý 1.1, trong khi giá trị ngôn ngữ được tính theo nhánh C1.
;L C5 được tính như Bảng 3.4 Từ Bảng 3.4, lập luận sau được rút ra: Ảnh hưởng nhân - quả của C 1 lên
Bảng 3.4: Các bước lập luận nhánh trên LCM
C 5 làM Được kết quả tương tự trong Ví dụ 3.5 nhưng ở đây các phép toán được thực hiện trên cấu trúc của ĐSGT.
Để giải quyết bài toán lập luận theo nhánh trong đồ thị LCM, luận án đề xuất một thuật toán tìm đường đi từ đỉnh nguồn đến đỉnh đích với độ phức tạp O(|V|), trong đó |V| là kích thước của tập đỉnh Thuật toán này sử dụng các kỹ thuật gán nhãn (label) cho các đỉnh của đồ thị kết hợp với các phép toán logic như AND (∧).
Hình 3.5 mô tả đồ thị LCM sử dụng các gia tử logic hoặc (∨) được định nghĩa trên ĐSGT Thuật toán sử dụng một hàng đợi để lưu trữ các phần tử đã được xét và làm điều kiện dừng khi đỉnh đích cuối cùng có mặt trong hàng đợi Q Cách thức hoạt động của thuật toán như sau:
• Khởi tạo giá trị lớn nhất trên tập L cho đỉnh nguồn s, các đỉnh khác khởi tạo giá trị nhỏ nhất của tập L, tậpQ lúc đầu là tập rỗng.
• Lặp lại việc gán nhãn trong khi đỉnh d chưa nằm trong tậpQ; Với u là đỉnh
1 u là đỉnh chưa ở trongQ mà có nhãn lớn nhất thì đưa u vàoQ
2 Lặp lại với mỗi đỉnh v chưa ở trong Q: Nếu L(u)∧ e(u, v) ≥ L(v) thì L(v)←L(u)∧e(u, v), với ← là phép gán.
• ←L(d): Giá trị đường đi từ nguồns đến đích d.
Với chú thích được đặt sau ký hiệuB, mã giả của thuật toán được trình bày như sau:
Ví dụ áp dụng thuật toán lập luận theo nhánh
Các bước làm việc của Thuật toán 1 được thể hiện trong Ví dụ 3.7
Ví dụ 3.7 Xét lại đồ thị Hình vẽ 3.5, áp dụng của Thuật toán 1 để tìm đường đi từ
C1 đến C5 Thuật toán xuất phát từ đỉnh đầu s = C1, đỉnh cuối d = C5 và cho kết quả từng bước như trong các Hình vẽ.
• Hình vẽ 3.6 Quá trình khởi tạo cho thuật toán.
Thuật toán 1 Thuật toán lập luận theo nhánh
LCM với các đỉnh là: s=C 1 , , C n =d và trọng số các cạnhe(v i , v j )∈L
L(d)∈L là độ dài đường đi từ s tới d
1: foreach C i ∈V do Khởi tạo nhãn cho các đỉnh
2: L(C i )←0 Nhãn của các đỉnh được gán bằng 0 (0 = Min{L})
4: L(s) = 1 Nhãn của các đỉnh nguồn được gán bằng 1 (1 = Max{L})
5: Q=∅ Ban đầu hàng đợi Q là rỗng
6: while d /∈Q do Trong khi đỉnh đích d chưa ở trong hàng đợiQ
7: u← Đỉnh thuộc V −Q với nhãn L(u) lớn nhất ulà đỉnh không thuộcQ mà có nhãn lớn nhất
8: Q =Q ∪ {u} Đưa vàoQ đỉnh có nhãn lớn nhất
11: L(v)←L(u)∧e(u, v) Cập nhật lại nhãn cho đỉnh v
15: return L(d) L(d) là độ dài dường đi từ s đến d
• Hình vẽ 3.7 và 3.8: Quá trình lặp lại việc dán nhãn
• Hình vẽ 3.9 Thuật toán kết thúc khi đỉnh d ở trong hàng đợiQ
Hình 3.6: Khởi tạo nhãns =C 1 = 1 các đỉnh khác có nhãn là 0, tập Q rỗng
Hình 3.7: Đưa C 1 = 1 vàoQ,Q ={C 1 }, cập nhật lại nhãn cho C 2 và C 3
Hình 3.8: Đưa C 3 =MvàoQ,Q ={C 1 , C 3 }, cập nhật lại nhãn cho C 4 và C 5
Hình 3.9: Đưa C 5 =MvàoQ,Q ={C 1 , C 3 , C 5 }, kết thúc thuật toán
Tính chất 3.1 Gọi |V| là kích thước của tập đỉnh các mệnh đề mờ, độ phức tạp của Thuật toán 1 là O(|V|) 2
Chứng minh Độ phức tạp của Thuật toán 1 phụ thuộc vào số phép toán gán←trong các lệnh lặp như sau:
Dòng Số phép toán gán tối đa
Dòng 1 đến dòng 3 P|V | i=11 = |V| Dòng 6 đến dòng 14 P|V | i=1
P|V | i=11 = (|V|) 2 Tổng số phép gán của các vòng lặp trong thuật toán là (|V|) 2 + (|V|) vì vậy, độ phức tạp của thuật toán là O(|V|) 2
Phương pháp lập luận theo nhánh áp dụng được cho hai đỉnh bất kỳ của đồ thị
LCM, khẳng định này được thể hiện qua Tính chất 3.2.
Tính chất 3.2 Mỗi đường đi Ci
;L Cj giữa hai đỉnh bất kỳCi vàCj trên đồ thị LCM là một phép lập luận.
Chứng minh Ta cần chứng minh với∀{C i , C j } ∈V ta luôn rút ra được: " ifC i then
1 Nếu hai đỉnhCi vàCj là liền kề ta luôn có”if Ci then Cj is wij”điều này được suy ra từ định nghĩa 2.2 về LCM.
2 Nếu hai đỉnh Ci và Cj là không liền kề Không làm mất tính tổng quát, giả sử có đường đi đơn C i =v 0 −> v 1 −> −> v n =C j (C i trùng với điểm đầu v 0 ,
C j trùng với điểm cuối v n của đường đi v 0 −> v 1 −> −> v n ).
Gọi w ij , trọng số cạnh (v i , v j ) hay "if v i then v j is w ij ".
Gọi mệnh đề mờ P(n) = "ifv 0 thenv n is w 0n " Ta chứng minh bằng quy nạp. (a) Vớin= 1, ta có:P(1) = "ifv 0 thenv 1 is w 01 ".P(1)đúng theo định nghĩa.
(b) Giả sử P(k) đúng hay P(k) = "if v 0 then v k is w 0k " Vì giữa hai đỉnh v k vàv k+1 thỏa mãn "if v k thenv k+1 isw k,k+1 " Áp dụng quy tắc suy diễn mờ fuzzy syllogism [4]
2 if v k then v k+1 is w k,k+1 n Q.E.D if v0 then vk+1 isw0,k+1
Trong đów 0,k+1 =w 0,k ◦w k,k+1 là giá trị chân lý ngôn ngữ, ◦ là phép toán trên HA.
3.2.3 Lập luận động theo biến đổi trạng thái
Giới thiệu lập luận động trên LCM
LCM là một hệ thống tích hợp giữa logic mờ và mạng nơ ron, tương tự như FCM Lập luận trong LCM sử dụng phương pháp học có giám sát dựa trên các hàm chuyển trạng thái T-norm và S-norm, như đã được giới thiệu trong các tài liệu [7, 75, 76] Trạng thái cân bằng của hệ thống sau quá trình biến đổi được gọi là điểm cố định, và nếu trạng thái cân bằng là vector trạng thái duy nhất, thì vector này được xác định là điểm cố định theo Định nghĩa 3.1 [76].
Vấn đề lao động trẻ em (child labour) liên quan chặt chẽ đến các mối quan hệ gia đình và xã hội, được thể hiện qua một mô hình FCM, như minh họa trong Hình 3.10 Đỉnh của mô hình này là tập mệnh đề mờ, phản ánh sự phức tạp của vấn đề.
C={C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 } được mô tả trong Bảng 3.5
Các đỉnh Mệnh đề Ý nghĩa
C 1 Child labour Lao động trẻ em
C 2 Good Teacher Giáo viên tốt
C 3 School Drop out Bỏ học
C 5 Public encouraging child labour Khuyến khích lao động trẻ em trong khu vực công
C 6 Broken Family Gia đình đổ vỡ
Bảng 3.5: Cácmệnh đề mờ của mô hình lao động trẻ em trong [75]
+often +very much - often + often
Hình 3.10: Đồ thị child bour
Bảng 3.6: Ma trận biến ngôn ngữ
Với giá trị khởi đầu là vector X0 = (+often, 0, 0, 0, 0, 0), bằng phép lặp liên tiếp theo Phương trình [75]
=(+of ten,0,0,+of ten,+of ten,0)
X(2) =(+of ten,0,0,+of ten,+of ten,0)∨
(+of ten,0,0,+of ten,+of ten,0)∧
=(+of ten,0,+of ten,+of ten,+of ten,0)
Giá trị cuối cùng của phép lặp là X_f inal = X3 = X2 = (+of ten, 0, +of ten, +of ten, +of ten, 0) không thay đổi Hệ thống hội tụ về một giá trị vector cố định, cụ thể là X_f inal = (+of ten, 0, +of ten).
+often, +often, 0) X f inal gọi là điểm cố định (fixed point) hay mẫu ( hidden pat- tern) [9, 12].
Sơ đồ chuyển trạng thái của LCM
Tiểu kết Chương 3
Chương 3 nghiên cứu các thuật toán lập luận trên đồ thị LCM bao gồm lập luận theo nhánh và lập luận theo trạng thái Lập luận theo nhánh dựa trên kỹ thuật dán nhãn để tìm tổ hợp giá trị lớn nhất từ các đường đi đơn riêng lẻ Thuật toán lập luận theo trạng thái dựa trên phương trình của đồ thị LCM Độ phức tạp tính toán trong các thuật toán lập luận được chứng minh chặt chẽ về mặt toán học Thuật toán lập luận động theo trạng thái luôn luôn tiến về một vector cô định, bất động, khi thỏa mãn các Tính chất 3.4 và 3.5.
Luận án đã phát triển một cấu trúc dàn trên miền trị ngôn ngữ được gọi là dàn mở rộng ELL Các phép toán nhiều toán hạng trên dàn {∧,∨,W
V} là nền tảng cho các phép toán trên vector và ma trận, đóng vai trò quan trọng trong mô hình hóa đồ thị nhận thức được trình bày trong Chương 2 Các phép toán này là cơ sở cho các lập luận trên đồ thị nhận thức trong Chương 3 Luận án này giới thiệu các kết quả mới liên quan đến những khía cạnh trên.
1 Phát triển một dàn mở rộng trên miền trị ngôn ngữ Tập ngôn ngữ L là miền xác định cho các đỉnh của đồ thị nhận thứcLCMtrong Chương 2 Các phép toán được định nghĩa trên dàn {∧,∨,W
,V } là phép toán trên vector và ma trận, nó là cơ sở cho các phương pháp lập luận trong Chương 3.
2 Đề xuất hai phương pháp hình thức hóa đồ thị nhận thức LCM:
• Phương pháp kế thừa theo lý thuyết đồ thị từ các đồ thị nhận thức CM và đồ thị nhận thức mờ FCM
• Mô hình hóa đồ thị nhận thức LCM theo logic hình thức của lý thuyết mô hình (model theory)
3 Phát triển hai thuật toán lập luận trên đồ thị nhận thức LCM
• Thuật toán lập luận theo nhánh: Thuật toán này giúp tìm sự phụ thuộc nhân - quả giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thị
• Thuật toán lập luận theo trạng thái: Thuật toán này nhằm tìm ra điểm cố định, bất động, nó là một vector trong không gian trạng thái
• Khảo sát độ phức tạp tính toán và tính hội tụ trong các thuật toán.
HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được nhiều kết quả đáng kể và có thể tiếp tục hoàn thiện, phát triển ứng dụng trong lý thuyết đồ thị nhận thức mờ và cơ sở dữ liệu đồ thị Một số hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm việc mở rộng ứng dụng của lý thuyết này trong các lĩnh vực khác nhau.
1 Nghiên cứu cách biểu diễn tri thức và lập luận cho đồ thị nhận thức khi mỗi đỉnh là một tập mờ.
2 Nghiên cứu cấu trúc dàn trực giao trên miền trị ngôn ngữ và áp dụng trong logic lượng tử mờ.
3 Nghiên cứu cách áp dụng các thuật toán lập luận theo nhánh và lập luận theo trạng thái trong các suy diễn trên đồ thị.
4 Nghiên cứu cách biểu diễn và lập luận trên đồ thị nhận thức mờ LCM sử dụng lý thuyết mô hình và logic cấp hai.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
Nguyễn Văn Hán và Nguyễn Công Hào (2019) đã trình bày nghiên cứu về suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử trong bài viết đăng trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Trường Đại học Khoa học – Đại học Huế, Tập 14(1), trang 25-34 Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực lý thuyết mờ và đại số gia tử, mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng trong khoa học và công nghệ.
[CT2] Nguyen Cong Hao, Nguyen Van Han, Phan Cong Vinh (2019), Towards
Rewriting Fuzzy Graphs Based on Hedge Algebra, Hue University Journal of Science: Techniques and Technology, 128(2B)
[CT3] Nguyen Van Han,Nguyen Cong Hao (2021), “An Algorithm For Reasoning
With Words: Based On Linguistic Fuzzy Cognitive Map,” Concurrency and Computation Practice and Experience (ISI, Q 3 ) 10.1002/cpe.6415
[CT4] Nguyen Van Han, Phan Cong Vinh (2020), “Reasoning with Words: A Hedge
Algebra Linguistic Cognitive Map Approach,” Concurrency and Computation Practice and Experience (ISI, Q 3 ) doi: 10.1002/cpe.5711
[CT5] Nguyen Van Han, Phan Cong Vinh (2021), “Toward Modeling Fuzzy Dy- namic System Based on Linguistic Values,” Mobile Networks and Applications 26(3) (ISI, Q2) doi: 10.1007/s11036-021-01765-x
Nguyen Van Han and Phan Cong Vinh (2018) presented a study titled "Modeling with Words Based on Hedge Algebra" at the 7th EAI International Conference on Context-Aware Systems and Applications and the 4th EAI International Conference on Nature of Computation and Communication, IC-CASA and ICTCC 2018, published in LNICST, volume 7.
[CT7] Nguyen Van Han, Nguyen Cong Hao, Phan Cong Vinh (2019)„ “Toward
Aggregating fuzzy graphs: A model theory approach,” Context-Aware Systems and Applications, and Nature of Computation and Communication ICCASA
2019, ICTCC 2019 Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences,Social Informatics and Telecommunications Engineering, vol 298, pp 215-222.Springer doi: 10.1007/978-3-030-34365-1_17, (Scopus, Q 4 )