Những câu chuyện lý thú về phương trình phần 1

iY Ễ N BÁ ĐÔ /^ỉtữnỹ cãu chuiịện Uị thú vế t W e ci)NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ NGUYỄN BÁ ĐÔ NH0NG CÂU CHUYỆN LÝ THÚ VÊ PHUDNG TRlNH ị -% Ị T { ■vAi í t i l !ỉAí ụ - - - ‘ I l i l X G a M n y C L ịỊ U NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ HÀ NƠI - 2012 Cùng tác giả NGUYỄN BÁ ĐÔ Những câu chuyện lý thú xác suất Những câu chuyện lý thú phương trình Những câu chuyện lý thú logic Những câu chuyện lý thú giói hạn Những câu chuyện lý thú hàm số Những câu chuyện lý thú hình học Một số vấn đề to"an học chưa giải LỜI NÓI ĐẨU Cuốn sách nàv kè \hũ7tg càu chuyện lý thú vế phương trình Tuy \-ậy chúns tỏi khơns có ý đinh %'à cũna khơna thê’ mỏ tả cách hoàn chỉnh, liền mạch từna N'ah đề ỊAưcms trình E)ó nhiệm yụ sách aiáo khoa Trong trình từ dạy đến học, từ bọc đến hiểu, từ hiểu áp dụng, từ áp dụng đến sáng tạo đòi hỏi người phải lòi nàng động Sách giáo khoa chì cung cấp điều vếu muốn hiểu dầy đủ sâu sắc vấn đề đọc sách bổ khuvếL Và đáy sách bổ khuvết ^ề phương trình đến lìm cốt cần Sách phục \ụ học sinh, giáo \iên phổ thịng người vêu thích tốn Nguyễn Bá Đó KHÁM PHÁ Bỉ MẬT CỦA "VỤ ÁN CHIẾC VƯƠNG MIỆN" nơi có kinh tuvến o qua, có \TÌng tiếng nằm ba châu lục, Địa Trung Hải, phía Bắc Địa Trung Hải có bán đảo hình mũi giày, nước Italia Từ bán đảo nhìn Địa Trung Hải có hịn đảo lớn Địa Trung Hải, đảo Sicilia (Xixin) Thời cổ Đại, đảo quốc gia, thuộc Cộng hồ Italia Đảo Siciha có diện tích 25.708km^, có núi lửa tiếng Etna cao 3.263m Chứứi đảo quê hương tổ chức mafia Trên đảo có thành Syracuse (Xiraca) quê hương nhà toán học vĩ đại cùa thời đại chắn vĩ đại cùa thời cổ Đại, Archimedes (287 - 212 trước Công nguyên) Năm 241 trước Công nguyên, đội quân viễn chinh La Mã chiếm đóng tồn đảo Sicilia, sau bị đánh đuổi Đến năm 214 trước Công nguyên, tướng Marcellus La Mã lại đưa quán chiếm đóng đảo Archimedes có nhiều sáng kiến giúp \Tia Hieron (Hêrổng) bảo vệ thành Svracuse, chống lại quân địch Óng dựa vào nghiên cứu %'ề địn bẩy để hướng dẫn chế tạo máy phóng đá khổng lồ phóng lảng đá lớn điều chỉnh để đá lăng xa - gần, Archimedes móc cực lớn rứiờ hệ thống rịng rọc kép nsoạm chặt nâng tàu thuyền cùa địch lên cao đập xuống nước cho vỡ tan, dùng gương quay lề để hứng ánh nắng Mặt Trời tập trung hướng địch phía xa làm tàu thuyền chúng bốc cháy Với vũ khí lợi hại nàv quân địch khiếp sợ chúng trông thấy sợi dây thừng hay đoạn gỗ trẽn tường tưcmg Archimedes quay máy phía mình, la hét thất va bỏ chạy Khi quân La Mã hoàn hồn chúng hiểu rằng, đâv trừng phạt Trời - Đất, mà trí tuệ nhà khoa hệ)c Tướng Marcellus kinh hoàng lên: "Chúng ta đánh với nhà toán học!" , Nhà \’ăn Pluytac thời Hy Lạp cổ đại \iết: "Khi quân La Mã bắt đầu tiến công từ đất liền trẽn biển, nhiều người Svracuse cho khó chống lại đội quân hùng mạnh Archimedes liền cho mở máy móc vũ khí ơng sáng tạo Thế tảng đá lớn bay với tốc độ nhanh phi thường, phát liếng động khủng khiếp, tới tấp giáng xuống đầu đội quân đưcmg Cùng lúc có xa nặng uốn cong giống hình sừng khổng lồ phóng từ pháo đài liên tiếp rơi xuòng tàu địch Tướng La Mã phải lệnh rút lui Nhưng bọn xàm lược khơng khỏi tai hoạ Khi đoàn tàu địch chạy gần đến (cách khoảng mũi tên bav) ỏng già Archimedes lệnh mang đến tâm gưcmg sáu mặt, cách tâin gương khoảng, ông đặt tám gương khác nhỏ quay bàn lề \'à điều chiiứi tám gương hứng tia sáng Mặt Trời Các tia sáng từ gương chiếu gãy nên đám cháy khủng khiếp trẽn tàu Ekĩàn tàu biến thành đám ưo tàn " " Marcellus V vào %ii khí nhiều tối tân lại cậv thơng nũnh, mưu lược, bất lực trước chơng đỡ Archimedes %ữ khí đặc biệt ơng " Với %ữ khí đặc biệt thành S>Tacuse cố thủ đưqx: hai năm cuối cùng, đến mùa thu năm 212 trước Công nguyên, bị nội phản, quàn La Mã bất ngờ chiếm thành ưong -Archimedes mài mê suv nghĩ sơ đồ vẽ cát Khi bóng tên lứih La Mã ngả ưên hình vẽ -Archimedes, ơng liền kêu lèn: "Khơng đụng đến hình ưịn tơi!" Ngav tức mũi kiếm xuvên qua ơng già tội nghiệp Ơng ngã xuống canh sơ đồ tuổi 75 -Archứnèdes có khả tập trung tư tưởng cao Người đời kể chuvện rằng, phải suv nghĩ vãn đề ơng chẳng cịn để V đến xung quanh Càu chuyện điển hìiứi thường nhắc đến càu chuvện "Vụ án \ương miện" Truvền thuvết kể rằng, vua Hieron cho thợ kim hoàn làm vương miện vàng ròng (vàng nguvên chất) trông đẹp tuyệt vời nhà vua vừa ý Nhưng số cận thần nhà vua, đích thân sờ vương miện có cảm giác kỳ lạ khơng phải làm vàng rịng Như người biết, dựa vào cảm giác bàn tay phân biệt nhơm sắt, thể tích sắt nặng nhơm nhiều Bảng 1-1 cho tỷ trọng số chất thường gặp Bảng 1-1 Chất Tỷ trọng (g/cm^) nhiệt độ bình thường Nước (H 2O) 1,00 Nước biển 1,03 Gỗ: -Tùng 0,6 - 0,8 - Mềm 0,22 - 0,26 Dầu hoả Xăng Thuỷ tinh 0,8 0,899 2,4 - 2,8 Thuỷ ngân (Hg) 13,6 Nhôm (Al) 2,7 Sắt (Fe) 7,8 10 Đồng (Cu) 8,9 11 Thiếc (Sn) 13,34 12 Bạc (Ag) 10,5 13 Vàng (Au) 19,3 EHnostratus (khoảng năm 350 ouớc Cons ngun) nhà hình học Pbép cầu phương xấp x ỉ dễ dàns siải tốn này, ữoQg có cách Jesuit Kochanski người Ba Lan đưa năm 1685, de Golder đưa nảm 1849, N.Cusa - W.Soell Pbép dựng hình Euclide tiệm cận dùng để giải tốn nàv P S.de Laplace Có thê bạn hỏi: £>ã khơng dùng thước thẳng \’à compa, \'ịy lúc đầu lại Ị^ải hạn chê dùng dụng cụ Eưclide? Câu hỏi hay Thực tế trcxig hìiứi học hạn chẽ chì dùng thước thẳng \*a compa, NÌ đày hai dụng cụ rát đem giản Đến nav người ta nhẫh mạiứi hạn chế này, NÌ người ta nghĩ rằng: dụng cụ hìrứi người ta buộc piiải suv nghĩ nhiều Nhờ rèn luyện tư logic N-à óc tường tượng thêm Ị^ong Ịrfiú E)ó mục tiêu chủ yếu học hình học N*hà tốn học Pierrc-Simon de Laplace (23/3/1749 - 5/3/1827) người Pháp nói: "Hìiứi học hệt nỏ (cung) mạiứi" Câu nói clúnh xác tốt đỗì với NÌệc bồi dưõng tư duv trí tuệ lồi người 114 18 Bí ẨN CỦA SỔ ẢO Lịch sử cho ihấv ữình tiếp nhận số rãì làu dài N'a ã a n khổỎ châu Âu khái niệm số âm chi xuái từ cuối k\ xn giải thích xác nhà tốn học Leonardo Fibonacci (L- de Pie L- Pisano) (1180 -1240) nsười Itaha Nhưns đến k>' XMn nhiều nhà toán học châu Ẳu \‘ẫn cho sõ âm "hoana đườna" "vơ nshĩa" Họ nói: "0" khơn ọ có thực ^'ậy số âm cịn bé cà ”0" có ý 21? Chà lẽ lại cịn có nhữns thứ cịn bé cá khịns có? nghĩa Sự xt sỏ \ t>' có làu từ trước kv V trước Còng nguvẽn Người ta phát thấv rằng, cạnh huvền tam giác \"ng cân với canh góc \TJ0ng hai đoạn thẳng vô ước Suv nghĩ nàv đơn giản Người ta áp dụng phương p>háp phản chứng, tức trước hẽi giả thiết v2 có thê biểu thị Hình IS-I p (p q khơng có bời phân số tối giản — q ước số chung khác 1) sau suv luận màu thuẫn Q trình chứng minh sau (hình lS-1); Cho N — p p , = —( — phân sô tỏi gian) q q (18-1) 115 tứclàp = V2q (18-2) = 2q^ (18-3) Rõ ràng, p phải số chẵn, khơng (18-3) khơng xảy Bây ta cho p = 2p', p' số nguyên (18-4) Thay (18-4) vào (18-3) ta được: (2p’)" = 2q', (18-5) 2p'^ = q^ (18-6) Từ (18-6) thấy q phải số chẩn, không hai vế khơng Như p q có ước số chung Do q phân số tối giản, mâu thuẫn với (18-1) Tại lại mâu thuẫn? Chúưt yỊĨ viết dạng phân số giả thiết (18-1) không Chứng minh làm cho nhiều người hoảng sợ, điều mà họ đưa trước mâu thuẫn với kết luận này, cự tuyệt với chân lý thừa nhận sai lầm Nhưng dù chân lý thắng Trong người ta cịn ngờ vực với "số âm" lại xuất số đầy bí ẩn bước vào lĩnh vực toán học Năm 1484 nhà toán học Nicolas Choquet (1445 - 1500) người Pháp, sách viết nghiệm cùa phương trình -t- x^ = 3x là: 116 (18-7) ỏ xuất bậc cùa số âm Điều đốĩ với học sinh tnmg học ngày vin khu vực đáng sợ Năm 1545, nhà toán học G.(Zardano bàn việc liệu chia 10 thành hai số mà tích chúng 40 ồng cho rằng, vấn để nàv không giải số thục, viết đáp số 5+ V-15 vằ - V-15 Ông chúng minh (5 + yTÃS ) + (5 - y P Ã Ỉ) = + = 10; (5 + ) X (5 - yPÃ5 ) = 5- - { y P Ĩ S Ý = (25 - (-15) = 40 Hai biểu thức nàv làm cho người ta nghi ngờ tất nhiên G.Cardano nghi ngờ tính hợp lý cách tứih ơng người dũng sĩ xông pha vào lĩnh vực toán học Sau G.Cardano, ngày nhiều người bước vào lĩnh vạrc "số ảo" Hàng kv’ sau vào năm 1637, "Hình học" R.Etescartes, ơng đặt tên số ảo cho bậc hai số âm Khoảng 140 nãm nữa, nhà toán học châu Âu bắt đầu dìmg i (từ chữ ữnaginarv' túc hư ảo) để biểu thị Vm Nãm 1801 C.F.Gauss dùng ký hiệu i \’ằ dùng lẫn với sô thực ưong a + pi (a p số thực, p phần ảo) gọi số phức Từ sau i sô phức trở thành phổ biến giới Lúc đầu số ảo thường gây cho người ta cảm giác thần bí iTcn trục sơ khơng thể tìm \ ị trí Các nhà tốn học nước \nh với sức tường iưcmg dồi tìm cách giải thích tuyệt vời Giả thiết: cỏ người nợ 10 mẫu đất tức 117 có -10 mẫu, mà -10 mẫu hình vng mơi cạnh khơng phải >/-10 = >/ĨÕ i hay sao? Dũng cảm vén bí ẩn số ảo nhà lượng giác học Wessel (1745 - 1818) người Na Uy n g tìm phương pháp biểu thị hình học số phức Theo cách giải thích ơng, số phức A = + 3i thể điểm A hình 18-2, toạ độ trục thực Ox, toạ độ trục ảo Oy Một số thực a nằm trục hoành Ox quay ngược chiều kim đồng hồ gập trục tung Oy Trong hình học tương ứng vói điểm chạy ngược chiều kim đồng hồ 90° Nếu quay tiếp chuyển số âm - a trục hoành Điều thể biểu thức ( a i ) i = a (i)^ = a (-1) = - a (18-8Ì Điều điú vị thừa số i tương đương với điểm di chuyển ngược chiều kim đồng hồ 90° Quy luật cho số phức (4 + i ) i = 4i + 3i^ = -3 + 4i Đây số phức B thể hình 18-2 (18-9) Do A (4 + 3i) B (-3 + 4i) đối xứng nên góc AOB = 90° Sau câu chuyện mà bạn đọc xong thấy, số phức có chỗ đứng hình học có tác dụng 118 Ngày xưa có niên Ị*át đống di sản ông bà, cha mẹ để lại có tám da dê dùng làm giấy NÌết có rõ nơi cất giấu báu x^ật với nội dung sau: "Dùng thuyền đến xĩ tuyến Bắc , kũih tuyến Tây gặp đảo hoang Hiía bắc đảo có thảm cỏ lớn Trên thảm cỏ có cao su X'à thơng, ngồi cịn giá treo cổ Đó giá trưóc đáy dùng để trừng trị lứiững kẻ phản loạn (hình 18-3) Từ giá treo cổ đến cao su bao lứiièu bước chân lứiớ lấy Từ cầy cao su xniơng góc phía trái chừng bước Đáiứi dấu điểm Trờ lại giá treo cổ để phía thịng X'à phải lứiớ lấy bước chân Đến thơng lại xiiịng góc phía phải chừns bước chân Lại đáiứi dấu điểm nàv Sau đào bới điểm hai điểm đánh dấu Đó chúủi nơi có kho báu" 1y Người niên vô phấn khời, tâm mạo hiểm chuyến xem Aiứi ta thuê thuyền, lòng tràn đầy hy vọng, hướng tới đảo hoang Đến đảo, tìm 119 thấy thơng cao su khơng tìm giá treo cổ Qua bao ngày dầm mưa dãi nắng, giá treo cổ bị chôn vùi cát mục nát hết Anh ta giận đào bới điên cuồng, khơng tìm thấy cả, đành trở tay khơng Đây câu chuyện đáng tiếc Vì người tharửt niên hiểu biết chút tốn học, đặc biệt số ảo tìm kho báu Bây giúp anh bạn trẻ đó, dù cơng việc muộn! Ta coi đảo hoang mặt phẳng phức Lấy đường thẳng nối thông (N) cao su (M) làm trục thực Ox, điểm chmh hai o Đường vng góc với trục thực Ox trục ảo Oy Nửa khoảng cách hai đơn vỊ độ dài, M N nằm điểm +1 -1 Giả sử vị trí giá treo cổ (G) chưa biết Ta có: G = a + pi (18-10) Gốc thông (N) điểm -1, gốc cao su (M) điểm -1-1 nên phương vị tương đối là: G + vàG - Ta toa độ số phức điểm Zj là: z, = (G - 1) (-i) + ì = - G i + i + ỉ , điểm Zj là: Zj = (G-t-1) i-I-(-1) = Gi-t-i - Kho báu (K) nằm hai điểm mốc Zj Zj, số phức biểu diễn K là: K = —(Z| -I-Z 2) = —[(-G i-i-i-t- l ) - i - ( G i - t - i —l)] = i 120 Điều cho thấy, dù giá treo cổ (G) nằm đâu kho báu (K) \’ần nằm W tn số phúc i trục ảo Oy Nếu bạn đọc khơng tin, lấy giấy bút thay dổi nhũng vị trí G xem có kết nào? Câu chuvện tìm kho báu đảo hoang đến kết thúc Dù tìiủi tièt cáu chuyện đuợc hư cấu, rứiưng tạo nên số phức rõ ràng giúp người có thê tìm hết kho báu nàv đến kho báu khác toán học nnh \'ực khoa học khác 121 19 ĐIỂM BẤT ĐỘNG THẦN KỲ Nếu có người bảo bạn rằng, lúc Trái Đất tìm điểm mà khơng có gió, bạn cảm thấy ngạc nhiên Vậy mà điều lại hoàn toàn thật Như ta biết, bão khối khơng khí vừa quay tròn vừa di chuyển với vận tốc lớn, đưòfng kúứi đến lOOOkm Mắt bão (tâm bão, đài phong) trung tâm bão, có áp suất khơng khí thấp, cịn xung quanh mắt bão khơng khí tầng thấp vừa xoáy nhanh vừa đổ trung tâm, tạo nên lực ly tâm cực lớn, khiến không khí bên ngồi khó lọt vào mắt bão Do xung quanh mắt bão hình thành ống xây mây mà bên dường khơng khí khơng quay Hơn nữa, khơng lọt vào mắt bão nên khơng khí bên ngồi mang nhiều nước phải bốc lên, tạo thành khối mây xám xịt ào tn mưa Trong đó, mắt bão lại xuất dịng khí xuống nên nơi "Trời quang mây tạnh", chí vào buổi tối cịn trơng thấy trăng Nếu bão đại dương mắt bão sóng biển lại dội Thơng thường mắt bão có đường kính khoảng 40km, có đến 60km Sau mắt bão dời chỗ, mưa to gió lớn ập tới Trong phạm vi bão, dù đứng vị trí nào, cần quay lưng hướng gió mắt bão nằm góc 45" - 90" phía bên trái trước mặt Chúng ta thường nghe thông báo bão: sức gió vùng tâm bão (mắt bão) lên đến cấp 12, tức giây gió qua 33m, bốn lần tốc độ tàu hoả bình thường 122 Sau đày báo cáo đáng tin cậy nhà khí tượng người Mỹ sử dụng máy bay trinh sát đến khảo sát mắt bão 9Ằi PHONỂr " Khơng lâu, nhìn huỳnh quang ưên rada máy bay thấy khơng có gió, máy bay vội vàng tranh thủ bay Hình 19-1 qua mắt bão (hình 19-1) Bỗng nhiên tơi thấy bầu trời ưong xanh, xung quanh tranh tuyệt đẹp Giữa mắt bão cảiứi ưong vắt, xung quanh tường mây bao bọc, có chỗ tường mây cao dựng đứng sừng sũng, nơi khác tường giống khán đài sân vận động bao bọc xung quanh khoảng 10-12km, tựa thêu dệt ttên bầu ười xanh " Như nơi gió bão gào thẻt tồn điểm bất động gió Hiện tượng có điểm bất động ưong thiên nhiên bắt gặp đâu Trong "Bí mật khoa học" Trường đại học Tokyo (Nhật Bản) xuất có nêu việc thú vị: "Thầy giáo dẫn đoàn học sinh tham quan chùa Thầy giáo nhìn vào ưong chng xem cấu tạo Một học sinh tinh nghịch muốn hù doạ thầy, liền cầm dùi gõ vào chuông Chẳng dè, không doạ thầy nữ sinh đứng bên cạnh, ngược lại, cậu ta bị tiếng chuông kêu to làm ù tai, làm cậu phải ngồi thụp xuống" Tại có tượng lạ vậy? 123 Giáo sư Điền Trung Phú vẽ hình 19-2 giải thích thêm: "Điều việc đổ đầy nước vào bát, sau lấy đũa gõ vào thành bát nước Quan sát thấy sóng nước từ bên ngồi chuyển động vào lịng bát Lúc phần sóng bát chúng tác động vào nhau, điểm A, B, c, D, E thực tế điểm bất động sóng Ngược lại chỗ đứng người gõ điểm F, tình cờ lại nơi có chấn động lớn Cho nên âm gây nên tượng ù tai" Bạn thực trò chơi thú vị sau: Lấy hai ảnh khơng người (hìiứi 19-3), ném ảnh nhỏ lên tám ảnh lớn, sau bạn tuyên bố với người: hai ảnh định có điểm chung Khán giả bạn nửa tin nửa ngờ Nhưng bạn nói rõ cách tìm điểm chung người hết nghi ngờ 124 Coi ưũn ảnh lớn A' B' c D' tâin ảnh nhỏ ABCD (hình 19-4) Kéo dài AB gặp A'B' p Vẽ hai dường tròn qua A, p, A' B, p, B', cắt o Điểm o nằm ảnh nhỏ tất nhiên phải nằm ảnh lớn E>ó chúứi tâm phép biến đổi đồng dạng điểm bất động cần tìm C' B' Chúng ta biết: ỐÃB= Ố Ã ^ ' suy OAB= OB'A ' Hìnìx 19-4 AOAB ~ AOA'B' Hãy xem điểm bất động có kỳ lạ mà buộc người ta phải tìm kiếm! Việc nghiên cứu hệ thống điểm bất động đầu kỷ XX Năm 1912 nhà toán học Luitzoi Eghertus Jan &ouwer (27/2/1881 - 2/12/1966) người Hà Lan chứng minh: Mọi ánh xạ liên tục từ vật thể cầu ưong khơng gian n chiều vào có điểm bất động Đó định lý điểm bất động tiếng L.E.J Brouwer 125 Đối với phần lớn học sinh trung học số thuật ngữ tốn học định lý L.E.J.Brouwer không cần phải giải thích Ví dụ, "ánh xạ liên tục", nói đại khái hai điểm cách nhỏ, qua ánh xạ cự ly hai điểm ảnh nhỏ Cịn "khơng gian n chiều" khái niệm trừu tượng Nói cụ thể: đường thẳng khơng gian chiều, mật phẳng không gian chiều, không gian thông thường không gian chiều Một đoạn thẳng thể cầu chiều, mặt hình trịn phẳng thể cầu chiều, khối cầu bình thường thể cầu chiều Định lý L.E.J.Brouwer có tứứi thực tiễn thú vị Lấy lọ có đáy mảnh giấy vừa khít đáy lọ Mỗi điểm mảnh giấy tương ứng với điểm đáy lọ Bây lấy mảnh giấy ra, vò mảnh giấy thành cục vứt vào lọ Theo định lý L.E.J.Brouwer dù cục giấy vị nào, khơng cần biết cục giấy rơi vào chỗ đáy lọ, khẳng định mảnh giấy có điểm mà điểm chiếu xuống đáy lọ trùng với điểm tương ứng với đáy lọ trước đây, cho dù khơng điểm Sự thực giải thích sau: Giả sử hình chiếu cục giấy đáy lọ khu vực Qj Rõ ràng điểm cục giấy với điểm tương ứng Qj nằm khu vực Qj Giả sử hình chiếu phần cục giấy tương ứng với khu vực Q| khu vực Q đáy lọ Rõ ràng Q < Qj Tương tự điểm khác cục giấy với điểm tương ứng Q nằm Qj Hình chiếu phần tờ giấy khu vực Q3 đáy lọ, lần loạt khu vực 126 Q Cứ làm nhiều Q j , Q , Q Cái nhỏ kia, Q < tạo nên vòng tầng nhỏ tầng kia, cuối rút gọn lại thành điểm (hoặc khu vục bé lủiất) Vậv \ ị trí điểm (hoặc khu \TJC bé lứiất) cục giấy đinh \TÌa \'ào điểm tương ứng đáy lọ ĐỊiứi lý L.E J.Brouwer đời gây hứng thú nhà tốn học \'à có iưũều ứng dụng khác rủiau toán học, đặc biệt lý thuyết phuơng trình v i phân, tích phân, lý thuyết cực trị Trước có định lý L£.J.Brou\ver, năm 1799, rứià toán học C.F.Gauss chứng miiứi: Phương trìrứi đại sị bậc n: + a^iX""* + a^ .x”‘‘ + + ajX + a„ = có rứiất nghiệm phức Đâv địrứi lý đại sô học Ngày nav, sau nghiên cứu lý luận điểm bất động, coi nghiệm Ị^iương trìrứi f(x) = điểm bất động cùa hàm số: (Ị)(.x) = f(x) + X M JC Nghiệm phương trìrứi f(x) = khơng thể % ’ượt qua khu hình ưịn c ó bán kứứi đủ lớn mặt phẳng sô' phức, cịn hàm đó, rõ ràng hên tục Do đ ó , khu NTỊC hình ữịn dụng địrứi lý điểm bất động L.E.J.Brouwer có s ố (ị K x ) rứiất điểm bất động X nghĩa o thấv lác dụng to lớn đữứì lý chứng mirứi tồn nghiệm phương trình cách đơn giản 127 Nhưng lý thuyết điểm bất động nhà tốn học chưa thoả mãn lắm, cho biết tồn điểm bất động, chưa nói rõ điểm bất động đâu Vấn đề làm đau đầu nhà toán học nửa kỷ Mãi đến cuối năm 60 kỷ XX, vỄừi đề tiến triển Năm 1967, giáo sư Herbert Skafn người Mỹ có bước đột phá từ chỗ chưa biết, đến chỗ biết điểm bất động, ông đưa cách túứi dòng hữu hạn điểm tiệm cận đến điểm bất động đạt thành công mỹ mãn Điều thú vị là, thân H.Skafn người chuyên nghiên cứu kinh tế tốn học giúp nhiều cho ơng đồng nghiệp cơng tác Điều nói lên rằng, mơn khoa học nào, vận dụng tốn học tốt thực giúp cho ngành khoa học cất cánh Một nhà khoa học Nga nói câu tiếng: "Tốn học nữ hồng khoa học tự nhiên" thật không cường điệu 128