Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN -   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: "Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Vinh, tháng 4/2023 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG PT HERMANN GMEINER -   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: "Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Đơn vị: Trường PT Hermann Gmeiner Vinh, tháng 4/2023 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I Đặt vấn đề PHẦN II Nội dung nghiên cứu .4 I Cơ sở khoa học đề tài I.1 Cơ sở lý luận đề tài I.2 Cơ sở thực tiễn đề tài .6 II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm III Các sáng kiến giải pháp để giải vấn đề III.1 Ứng dụng hình nón, khối nón vào giải toán thực tế III.2 Ứng dụng hình trụ, khối trụ vào giải toán thực tế 13 III.3 Ứng dụng hình cầu, khối cầu vào giải toán thực tế .17 III.4 Ứng dụng tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế …………………………………………………………………………… 20 III.5 Ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu giải tốn thực tế liên quan giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 27 IV Kết thực nghiệm sư phạm .38 IV.4 Khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 40 PHẦN III Kết luận kiến nghị 46 Tài liệu tham khảo 48 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài: Tốn học có nguồn gốc từ thực tế chìa khóa hầu hết hoạt động người, có mặt khắp nơi Tốn học kết trừu tượng hóa vật tượng thực tế phương diện khác có vai trị quan trọng việc thực mục tiêu chung giáo dục phổ thơng Mặc dù ngành khoa học có tính trừu tượng cao tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tế ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác nhau: công cụ để học tập môn học nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động sản xuất đời sống thực tế Bên cạnh thực trạng học tốn trường phổ thông, đa số em học lý thuyết làm tập mà thiếu thực hành liên hệ kiến thức với thực tế Học sinh học toán giới hạn trọng phạm vi bốn tường lớp học , không để ý đến tương quan toán học quen thuộc giới vật tượng xung quanh, ứng dụng kiến thức toán học thu nhận vào thực tế Với đổi mạnh mẽ Bộ Giáo dục Đào tạo cách dạy học trường phổ thơng, đặc biệt đưa tốn thực tế nói chung tốn thực tế khối nón, khối trụ, khối cầu nói riêng vào đề thi mơn tốn THPT Quốc Gia năm Để giúp em học sinh có cách nhìn mẻ tốn thể tích, diện tích khối nón, khối trụ, khối cầu ứng dụng tốn học vào thực tế, đặc biệt giúp em có tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia toán thực tế Việc tiếp cận dạng toán người dạy lẫn người học đa phần cịn chưa có tính hệ thống vấn đề khơng phải q q trình làm học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng, đặc biệt mức độ vận dụng, vận dụng cao Xuất phát từ vấn đề đó, việc hệ thống hóa dạng tốn ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu việc giải số toán liên quan đến thực tế cách chi tiết, đồng thời cập nhật số xu hướng dạng toán đề thi Bộ kỳ thi THPT quốc gia kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh giúp người dạy, người học tiếp cận dạng toán cách tự nhiên có hệ thống Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải tốn thực tế." II Mục đính nghiên cứu: Với quan điểm từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh toán gốc, toán để qua em làm tốn khó phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện cho em lực ứng biến đối mặt với tình Phát triển lực tư tốn học cho học sinh thơng qua việc sử dụng nhiều hướng giải toán “ Ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế ” Đề tài giúp học sinh nhận thấy mối quan hệ chặt chẽ thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu tốn thực tế liên quan Thơng qua số tốn thường gặp, đồng thời có nhìn tổng thề có tính hệ thống lớp tốn dạng Từ học sinh định hướng lực tư tiếp cận tốt toán dạng kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh tới III Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12, học sinh dự thi vào trường Đại học Cao đẳng - Kiến thức thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu lớp 12 trung học phổ thông Phạm vị nghiên cứu : - Hình học lớp 12 phổ thơng trung học - Sách giáo khoa tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, đề thi thử trường , Sở Giáo dục đề thi vào trường Đại học Cao đẳng năm trước Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề khối nón, khối trụ, khối cầu thuộc mơn Tốn trường Trung học Phổ thông IV Phương pháp nghiên cứu: • Trong trình nghiên cứu, đề tài sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm • Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan tự đốc rút khái niệm tính chất • Thống kê số liệu để phân loại toán ứng dụng thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế rút hệ thống sơ đồ tư giải tập khó • Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy học trường sở để đưa thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu dễ nhớ • Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có rút kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận • Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải cho toán V Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: • Về mặt lý luận Đề tài hệ thống kiến thức tảng theo dạng tốn ứng dụng kiến thức khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế liên quan Hình thành cách tư giải tốn dựa suy luận từ thể tích, diện tích khối trịn xoay • Về mặt thực tiễn Giải tình thực tiễn liên quan tới khối nón, khối trụ, khối cầu Xây dựng hệ thống tập nhằm phát triển lực rèn luyện kỹ cho học sinh Giúp em học sinh nhìn nhân rõ ứng dụng toán học vào thực tế đời sống Đặc biệt, đề tài khai thác, phát triển toán ứng dụng, đưa hướng dự đoán đề thi THPT Quốc gia, đề thi HSG cấp Tỉnh tới PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Cơ sở khoa học đề tài I.1 Cơ sở lý luận I.1.1 Mặt nón Hình Hình 1/ Mặt nón trịn xoay Trong mặt phẳng P , cho đường thẳng d , góc với 00  cắt  900 Khi quay mp P xung quanh trục đổi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh chúng tạo thành với góc khơng thay (hình 1) - Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón - Đường thẳng gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc gọi góc đỉnh 2/ Hình nón trịn xoay Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) - Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón - Hình trịn tâm , bán kính r = IM đáy hình nón - Khối nón trịn xoay, gọi tắt khối nón, phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón A 3/ Cơng thức tính diện tích hình nón, thể tích khối nón - Diện tích xung quanh hình nón S xq = rl - Diện tích tồn phần hình nón Stp = S xq + Sđáy - Thể tích khối nón V = Bh = r 2h O B I.1.2 Mặt trụ 1/ Mặt trụ tròn xoay ∆ Trong mp P cho hai đường thẳng l song song nhau, r A cách khoảng Khi quay mp P quanh trục cố D định đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ - Đường thẳng gọi trụC - Đường thẳng l gọi đường sinh - Khoảng cách gọi bán kính mặt trụ 2/ Hình trụ trịn xoay B r C Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ - Đường thẳng AB gọi trụC - Đoạn thẳng CD gọi đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h gọi chiều cao hình trụ - Hình trịn tâm , bán kính r = AD hình trịn tâm B , bán kính r = BC gọi đáy hình trụ - Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ 3/ Cơng thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ - Diện tích xung quanh hình trụ S xq = rl O A - Diện tích tồn phần hình trụ Stp = Sxq + 2Sđáy - Thể tích khối trụ V = Bh = r 2h I.1.3 Mặt cầu O 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng gọi mặt cầu tâm O , bán kính , kí hiệu là: S O ; R Khi S O; R = M | OM = R 2/ Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu - Diện tích khối cầu S = r2 B - Thể tích khối cầu V = r 3 O - Thể tích chỏm cầu V = h  R −  h   OO I.2 Cơ sở thực tiễn Dưới lãnh đạo Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tơi ln trăn trở tìm tịi, đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trường khơng trọng truyền thụ tri thức mà cịn phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai Trong kì thi THPT QG, tốn ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế khai thác nhiều, mức độ Đối với câu hỏi mức độ nhận biết thông hiểu dạng câu hỏi thường tương tự sách giáo khoa nhiều sách tham khảo Tuy nhiên năm gần đây, mức độ vận dụng vận dụng cao nhiều toán thực tế liên quan khối nón, khối trụ, khối cầu khai thác dạng tương đối lạ so với SGK Trong q trình dạy học ơn tập cho học sinh, thấy đa số em chưa định hình cách giải cịn nhiều lúng túng việc xử lí triệt để tốn dạng Chính vậy, tơi tập trung nghiên cứu tài liệu toán liên quan đến ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế, đồng thời cố gắng xếp, phân chia dạng cách có hệ thống để khắc phục khó khăn đề cập II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong hình học khơng gian, tốn ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu công cụ mạnh để giải nhiều tốn thực tế, mơn học có nhiều vấn đề khó đại đa số học sinh, đặc biệt học sinh trung bình yếu Khi giải tốn ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải toán thực tế, tiến hành theo bước không tâm lý học sinh thường nản bỏ qua Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài hai lớp trực tiếp áp dụng năm học 2022-2023 kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 12A1 45 18 12A3 47 16 2022-2023 Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức sách giáo khoa Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn luyện kỹ giải toán, nâng cao lực, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh khơng học tốt phần mà cịn làm tảng cho phần kiến thức khác 10 III Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề III.1 Ứng dụng hình nón, khối nón vào giải toán thực tế Để giải toán cần hiểu rõ nắm vững kiến thức diện tích, thể tích hình nón, khối nón Vận dụng linh hoạt vào thực tiễn Qua ví dụ thực tiễn em khắc sâu kiến thức giải toán trắc nghiệm vận dụng vào kỳ thi THPTQG tới Bài tập 1: Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 A 0, 501 B 0, 302 C 0, 216 D 0,188 Giải: Chọn D Ta gọi phễu khối nón N có bán kính chiều cao l h = 15 thể tích V Thể tích lượng nước đổ vào phễu thể tích V1 khối nón N1 có bán kính r1 chiều cao h1 Áp dụng định lý talet ta có: h1 r1 = = h r r h 1 r h= V Suy V1 = r12 h1 =   =   81 27 Khi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên lượng nước phễu giữ nguyên Phần khơng chứa nước phễu khối nón N với bán kính r2 , chiều cao h2 thể tích = 26 V 27 r2 h2 r h 26 r2 r h 27 r Áp dụng định lý talet ta có: Nên suy ra: V2 26 V 27 r2 h2 11 h2 h 26 27 h2 h 26 27 h2 = 26 Vậy chiều cao mực nước phễu sau úp ngược là: Phân tích: Đối với hai khối đồng dạng khơng gian, ta ln có tỉ số thể tích lập phương tỉ số đồng dạng Tương tự, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng, tỉ số đồng dạng tỉ số hai độ dài tương ứng hai khối cho Bài tập 2: Một cốc thủy tinh hình nón có chiều cao 25cm , người ta đổ vào cốc thủy tinh lượng nước, cho chiều cao lượng nước cốc chiều cao cốc thủy tinh, sau người ta bịt kín miệng cốc, lật úp cốc xuống (như hình vẽ) chiều cao nước lúc bao nhiêu? A B C D Giải: Chọn D Gọi thể tích cốc hình nón, thể tích nước thể tích phần khơng chứa nước Ta có: Mặt khác: 1 Vnc = hnc Rnc = h 3 Khi ta lật úp cốc nước chứa nước Ta đặt: 27 98 3   R  = V V = V 125   125 chiều cao phần không chứa nước phần SK KM h  R = = = = k  h = k h, R = k R SO OA h R 12 98 98 1 98 V  = h R2  V = k h .(k R)  h .R = h R k  k = 125 125 3 3 98 98 h  hnc = h − h = 5 − 98 cm Ta có h = k h = 5 Bài tập 3: Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần Tính độ dài đoạn MN A 27 C 9 −1 m −1 m B 9 −1 m D 3 −1 m Giải: Chọn C Ta gọi phễu khối nón N có bán nón có đường sinh SA , SM , SN V1 = 2V2 Theo đề ta có   V = 3V V  SA  2V  SM  Lại có =   =  SM = 13122   V  SM  3V2  27  3 V  SN  V  SN  Tương tự: =    =    SN = 6561 V  SA  3V2  27  Vậy Bài tập 4: Hình vẽ mơ tả núi có dạng hình nón Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh núi vị trí A dừng vị trí B Biết người ta chọn xây dựng đường ngắn vòng quanh núi từ A đến B , đoạn đường đầu phần lên dốc từ A đoạn sau xuống dốc đến B Tính quãng đường xuống dốc từ A đến B cho biết AB = 15 m , OA = 90 m , bán kính đường trịn đáy nón R = 30 m 13 A 400 m 91 C 600 m B m 91 D 15 91 m Giải: Chọn D Trải phẳng: Cắt mặt nón theo đường sinh qua điểm A , trải phẳng hình vẽ Gọi C đỉnh dốc, người ta chọn xây dựng đường ngắn vòng quanh núi từ A đến B nên B , C , A thẳng hàng Ta có OA = 90 , OB = 75 , BA = 15 , bán kính đường trịn đáy hình nón R = 30 Chu vi đường tròn chân núi l = R = 30 = 60 Đường trịn tâm O , bán kính OA = 90 có chiều dài cung AA 60 Góc đỉnh đường trịn tâm O , trải phẳng Có AOB = 60 = (cơng thúc tính chiều dài cung l = R ) 90 AOB có OB = 75 , OA = 90 , AOB =  AB = OA2 + OB − 2OA.OB.cos AOB = 20475  AB = 15 91 Điểm C  AB , C đỉnh cao dốc OC ngắn  OC ⊥ AB Đoạn xuống dốc CB Ta có OC = OA2 − CA2 = OB2 − BC  CA2 − CB2 = OA2 − OB2 = 2475 14 CA + CB = 15 91  600  CA + CB CA − CB = 2475   165 91  CB = 91 CA − CB = 91  Bài tập 5: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R = chu vi hình quạt P = + 10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính A V1 ? V2 V1 21 = V2 B V1 21 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Giải: Chọn B Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung tròn l = Theo cách thứ nhất: chu vi đường trịn đáy phễu Tức r =8 r = Khi h = R − r = 52 − 42 =  V1 = 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu  chu vi đường tròn đáy  = r  r = V1 42 21 = Khi h = R − r = − = 21  V2 = 21.2 Khi = V2 21 3 2 2 15 III.2 Ứng dụng hình trụ, khối trụ vào giải toán thực tế Để giải toán cần hiểu rõ nắm vững kiến thức diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ Vận dụng linh hoạt vào thực tiễn Qua ví dụ thực tiễn em khắc sâu kiến thức giải toán trắc nghiệm vận dụng vào kỳ thi THPTQG tới Bài tập 1: Từ tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây) : • Cách : Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng • Cách : Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 V2 V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Giải: Chọn C Ban đầu bán kính đáy R , sau cắt gị ta khối trụ có bán kính đáy R Đường cao khối trụ khơng thay đổi 2 V R R 2h Ta có: V1 = Sd h = R h;V2 = 2(Sd1.h) =   h = Khi đó: = V 2   16