Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ HÓA XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ, HÌNH DẠNG VẬT TÁN XẠ TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG THUẦN NHẤT Rd"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ HÓA XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ, HÌNH DẠNG VẬT TÁN XẠ TRONG MƠI TRƯỜNG KHÔNG THUẦN NHẤT Rd (d  2 3) THE FACTORIZATION METHOD THAT DETERMINES THE POSITION AND SHAPE OF THE SCATTERERS IN THE INHOMOGENEOUS SPACE Rd (d  2 3) PHẠM QUÝ MƯỜI Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Mục tiêu báo trình bày phương pháp nhân tử hóa xác định vị trí, hình dạng dị vật tán tán xạ môi trường không R (d  2 3) Từ áp d dụng phương pháp vào giải số số toán với liệu giả định ABSTRACT The aim of this paper is to present the factorization method to determine the position and shape of the scatterers in the inhomogeneous space R d (d  2 3) This method is used in the numerical implementation for some numerical examples with synthetic data Đặt vấn đề Trước hết phát biểu lại toán tán xạ môi trường không nhất: Cho môi trường không   R d tập mở, bị chặn cho phần bù tập liên thông Chúng ta giả sử số tán xạ môi trường n  C ( R d ) hàm giá trị phức với Re n  0 Im n  n   Cho k   tương ứng ˆ số sóng nghiệm phương trình Helmholtz Cho sóng tới u inc  eik  x , với ˆ  S d 1 cố định, tùy ý Bài toán tán xạ thuận xác định hàm u s  u s ( xˆ)  C ( R d ) cho u  u s  u inc thỏa mãn u  k nu  R d  (1) u thỏa mãn điều kiện Sommerfeld s u s  iku s  O(r  ( d 1)  ) r  x   (2) r Trong [1], người ta toán tán xạ tương đương với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger u ( x)  k  q( y)u ( y )( x y)dy  u inc ( x) x  (q  n  1) (3)  u  Lu  u inc với 55 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 Lu ( x)  k  q( y)u ( y)( x y)dy x  (4)  Sóng tán xạ u  dạng trường xa u toán tử trường xa F xác định s phương trình sau u s ( xˆ)  k  q( y)u ( y )( x y)dy x  R d  (5)  k u ( xˆˆ)  4 F ( xˆ )   q( y)u( yˆ)e  ikxˆ  y dy xˆ  S d 1 u ( xˆˆ) (ˆ)ds(ˆ) xˆ  S d 1  (6)  (7) S d 1 Bài toán tán xạ ngược toán xác định giá hàm q (tức  : vị trí hình dạng dị vật) từ liệu u ( xˆˆ) xˆˆ  S d 1  Phương pháp nhân tử hóa, mở rộng phương pháp MUSIC Kirsch trình bày [2, 3] Trong 2, chúng tơi trình bày lại phương pháp nhân tử hóa tốn tán xạ ngược môi trường không Trong 3, chúng tơi trình bày ví dụ giải số với liệu giả định không gian R  Phương pháp nhân tử hóa Trước hết, định nghĩa toán tử S  L2 ()  L2 ( S d 1 ) với toán tử liên hợp S   L2 ( S d 1 )  L2 () S ( xˆ )    ( y)eikxˆ  y dy xˆ  S d 1 (8)  S  ( y )    ( xˆ)e ikxˆ  y ds( xˆ ) y   (9) S d 1 Khi đó, tốn tử F  có kết sau Định lý Cho toán tử trường xa F  L2 ( S d 1 )  L2 ( S d 1 ) xác định (7) Khi F  STS  (10)  2 với S S tương ứng xác định (8) (9) T  L ()  L () xác định T  k q( I  L)1    L2 () Chứng minh Thế (5) vào (6) thay đổi thứ tự lấy tích phân ta nhận F ( xˆ )  k  q( y )e ikxˆ  y dy  u ( yˆ) (ˆ)ds(ˆ)  S d 1  u ( y )  k  q( y )u ( y )e ikxˆ  y dy  k S (qu )( xˆ )  Mặt khác, ta có u ( x)  Lu ( x)   u inc ( x ˆ) (ˆ)ds (ˆ)  S d 1 nghĩa u  ( I  L) 1 S  56  S d 1 ˆ eik  x (ˆ)ds (ˆ)  S  ( x) (11) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 F  k S (q( I  L)1 S  )  STS   Tiếp theo, đưa ratiêu chuẩn để kiểm tra điểm z  R d có thuộc  hay khơng Với z  R d ta định nghĩa hàm  z  L2 ( S d 1 ) sau  z ( xˆ )  e  ikxˆ  z  xˆ  S d 1  Định lý Với z  R d ta có z    z  R( S ) (12) Chứng minh Trước hết, ta giả sử z  Chọn hàm tùy ý v  C () vi v ( z ) v / n  ( z) / n trªn  Đặt   v  k 2v Khi đó, từ định lý biểu diễn Green, với x  ta có v( x)   ( x y)v( y)n( y)  v( y)( x y)n( y) ds( y)    {v( y )  k 2v( y )}( x y )dy    ( x y)( y z )n( y)  ( y z )( x y)n( y) ds( y)    ( y)( x y)dy   Tích phân khơng hàm  ( x )  ( z ) thỏa mãn điều kiện Sommerfeld Điều suy v( x)    ( y)( x y)dy x   Hơn nữa, cơng thức chứng tỏ v thác ttriển thành hàm v  C1 ( R d ) thỏa mãn điều kiện Sommerfeld trùng với  ( z )  Từ tính tốn Dirichlet ngồi suy v   ( z ) R d \  S    ( z )   z  Điều chứng tỏ  z  R( S ) Bây giờ, cho z  giả sử ngược lại, tồn   L2 () cho S   z    ( z ) S d 1  Khi   ( y)( x y)dy  ( x z) với x nằm phần {z}  Điều mâu thuẫn vế trái phương trình hàm thuộc C1 ( R d ) nghiệm phương trình Helmholtz, vế phải hàm có điểm kỳ dị z  Vậy định lý chứng minh Chúng ta thấy rằng, định lý cho phép xác định  thông qua miền giá trị R( S ) S Bước phải biểu diễn miền giá trị S qua toán tử trường xa F  Để làm điều đó, nhắc lại vài định nghĩa Cho X không gian Hilbert với tích vơ hướng  A  X  X tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, phần thực phần ảo toán tử A xác định tương ứng 1 Re A  ( A  A ) Im A  ( A  A ) 2i Khi đó, Re A Im A tốn tử tuyến tính tự liên hợp 57 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 (Re A)   Re A   (Im A)   Im A  Hơn nữa, định nghĩa toán tử tự liên hợp, không âm  Re A  thông qua biểu diễn phổ A Giả sử  Re A dE đặt  Re A       dE   Tương tự, A  X  X tốn tử tự liên hợp, khơng âm, người ta định nghĩa "căn bậc hai" A1 A 1 A     dE nÕu A     dE  Với ký hiệu định nghĩa trên, có định lý sau Định lý Cho X Y hai không gian Hilbert, F  Y  Y S  X  Y D  X  X tốn tử tuyến tính bị chặn cho F  SDS   (13) Giả thiết S toán tử compact với miền giá trị trù mật Y Tồn   C    1 cho toán tử Re( D) coercive, tức tồn c  cho Re[ D   ]  c  với   X Khi đó, tốn tử F  Re( F ) toán tử dương miền giá trị S F1 trùng Chứng minh Xem chứng minh [3], Định lý 4.1 Định lý Cho X Y hai không gian Hilbert, F  Y  Y S  X  Y D  X  X tốn tử tuyến tính bị chặn cho F  SDS   (14) Giả thiết S toán tử compact với miền giá trị trù mật Y Re D có dạng Re D  C  K  với K toán tử compact C C toán tử tự liên hợp coercive ~ Im D toán tử dương khơng gian đóng X  S  (Y ) , tức ~ Im D    với   X    0 Khi đó, tốn tử F  Re F   Im F toán tử dương miền giá trị S F1 trùng Chứng minh Xem chứng minh [3], Bổ đề 4.5 Chúng ta quay lại toán tán xạ ngược: xác định giá hàm q biết toán tử trường xa F ( xˆ ˆ) xˆ ˆ  S d 1  Ta có F  STS  với T  k q( I  L)1    L2 () S hàm sóng Herglotz Viết ( I  L) 1 dạng ( I  L)1  I  K với K  ( I  L)1  I  ( I  L) 1 L Khi nhân tử hóa F  STS  có dạng F  k S (q  qK )S   Ta thấy F có dạng Định lý với C  k (Re q) K  k (Re qK )  Để áp dụng bổ đề ta cần 58 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 C C toán tử tự liên hợp coercive Im D toán tử dương với D  k (q  qK )  k q( I  L) 1 S  ( L2 (S d 1 )) Dễ thấy, toán tử C tự liên hợp coercive tồn q0  cho Re q( x)q0 x  Để chứng minh Im D toán tử dương, ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề Cho q  C () cho tồn q0  với Re q( x)q0  Im q( x)0x  k không giá trị riêng Khi Im( Dv v)  0v  S  ( L2 (S d 1 )) v  0 D  k (q  qK )  k q( I  L)1 Chứng minh Cho v  S  ( L2 ( S d 1 )) Khi v trơn v  k v   Đặt   ( I  L)1 v u( x)  k  q( y) ( y)( x y)dy x  R d   có v    L    u  Vì ( Dv v)  k  qvdx  k  q   2 dx  k  qudx    Chúng ta nhận thấy u  k u  k q từ định lý Green ta có 2 ( Dv v)  k  q   2 dx   u (u  k 2u )dx    k  q   2 dx    k  u    u 2  dx   u    u ds n Vì u  C ( R ) nên d Im( Dv v)  k  (Im q )   2 dx  Im    x R u u ds n Tích phân cuối hội tụ ik  d 1  u  ds R   Vì S Im( Dv v)  k  (Im q)   2 dx  k  S d 1  Từ tính chất trù mật, ta có Im( Dv v)  k  (Im q)   2 dx  k   S d 1  u 2 ds0  u 2 dsv  S  ( L2 (S d 1 )) (15) tốn tử ( I  L) 1 bị chặn L2 ()   u bị chặn từ L2 () vào C ( S d 1 ) Đặc biệt ta có Im D tốn tử khơng âm Bây cho v  S  ( L2 (S d 1 )) cho Im( Dv v)  0 Khi u  0 Từ Bổ đề Rellich ta có u  R d \  Vì u  C1 ( R d ) nên   v  C1 () Từ định nghĩa hàm  ta có v  k 2v  vµ   k (1  q)  (  k 2 )  k q   theo nghĩa cổ điển, với v  S  ( L2 (S d 1 )) phương trình theo nghĩa suy rộng Điều suy từ tính chất trù mật Do đó, (v  ) nghiệm toán giá trị riêng Theo giả thiết bổ đề, k không giá trị riêng nên ta có v  0   Vậy bổ đề chứng minh Từ Định lý Bổ đề 1, ta có định lý sau Định lý Cho q  C () cho tồn q0  với Re q( x)  q0  Im q( x)  0 59 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 x  k không giá trị riêng Khi đó, với điểm z  R d ta có z   z  R( F1 ) (16)  z ( xˆ )  e  ikz  xˆ  xˆ  S d 1  F  Re F   Im F toán tử dương Từ phương trình (15), ta thấy Im D tốn tử coercive tồn q0  cho Im q( x)  q0 x  Do đó, trường hợp này, áp dụng Định lý với   i có định lý sau Định lý Cho q  C () cho tồn q0  với Im q( x)q0 x  Khi đó, với điểm z  R d ta có z   z  R( F1 ) (17)  z ( xˆ )  e  ikz  xˆ  xˆ  S d 1  F  Im F  Các ví dụ giải số Trong phần này, xét ví dụ áp dụng phương pháp nhân tử hóa vào tốn giả định cụ thể Các ví dụ minh họa thuộc vào toán tán xạ ngược R  Gọi {i Vi U i )  n  N } hệ kỳ dị F Từ Định lý Picard, ta có  z     z  R ( F1 )    ( z  U i ) 2 i   i 1 Chúng ta định nghĩa hàm W ( z)        i 1   (  U )  z i   i   1   z  R2  Khi đó, ta có z    W ( z )  0 Trong ví dụ giải số, xét giá q đường trịn tâm gốc tọa độ, bán kính r  q có giá trị đường trịn Để thỏa mãn giả thiết tính liên tục hàm q ta làm trơn hóa hàm q Tuy nhiên điều khơng cần thiết giải số Để giải toán thuận ta dùng phương pháp phương trình tích phân (xem [4]) với miền G  [2 2]  [2 2] Sau giải số tốn thuận tính dạng trường xa u ( xi  x j ) với xi  S d 1 i j  116 ứng với M  16 điểm chia đường trịn đơn vị số sóng cố định k  (về cơng thức tính gần dạng trường xa xem [4]) Từ liệu hữu hạn này, ta có F  [u ( xi  x j )] tính ma trận tương ứng với F  Im F F  Re F   Im F  Chúng ta giải số thu hệ kỳ dị {(i Vi U i )  i  1 M } ma trận F định nghĩa hàm  M     i 1  ikxM  z T WM ( z )    (  U )  z i   i    1  z  R2  ]  C M  Mặc dù tổng hữu hạn  z  [e  ikx1  z  e ikx2  z  e thấy với z   WM ( z ) có giá trị lớn nhiều so với giá trị ứng với z  Dưới ví dụ cụ thể Ví dụ thứ nhất: Chúng ta lấy q  08  05i đường tròn đơn vị Đồ thị đồng mức (contour plot) hàm WM ( z ) ứng với F  Im F F  Re F   Im F biểu diễn 60 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 Hình Trong đồ thị bên trái ứng với F  Im F đồ thị bên phải ứng với F  Re F   Im F Từ Hình ta thấy hai đồ thị cho ta hình ảnh miền  gần giống với hình dạng thực (đường trịn đơn vị) Điều phụ hợp với lý thuyết mà ta Vì trường hợp giả thiết Định lý Định lý thỏa mãn Hình Đồ thị đồng mức hàm WM(z) ứng với q=0.8 + 0.5i hình trịn đơn vị Ví dụ thứ hai: Chúng ta lấy q  08 đường tròn đơn vị Đồ thị đồng mức hàm WM ( z ) ứng với F  Im F F  Re F   Im F biểu diễn Hình Trong đồ thị bên trái ứng với F  Im F đồ thị bên phải ứng với F  Re F   Im F Từ Hình ta thấy đồ thị bên trái cho ta hình ảnh miền  gần trịn bán kính nhỏ nhiều so với hình ảnh miền  cho đồ thị bên phải Như phương pháp nhân tử hóa F  Re F   Im F khơi phục hình dạng  tốt phương pháp nhân tử hóa áp dụng cho F  Im F Điều lần phụ hợp với lý thuyết mà ta Vì trường hợp giả thiết Định lý thỏa mãn giả thiết Định lý khơng thỏa mãn Hình Đồ thị đồng mức hàm WM(z) ứng với q=0.8 hình trịn đơn vị 61 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 Hình Đồ thị đồng mức hàm WM(z) ứng với q= -0.8 hình trịn đơn vị Ví dụ thứ ba: Chúng ta lấy q  08 đường tròn đơn vị Hàm WM ( z ) ứng với F  Im F F  Re F   Im F tương ứng có đồ thị bên trái bên phải hình Ta thấy hai đồ thị biểu điễn hình dạng miền  sai lệch so với hình dạng thực nhiều Phương pháp nhân tử hóa áp dụng trường hợp cho ta kết không thật tốt Điều phù hợp với lý thuyết phát biểu Vì trường hợp này, giả thiết Định lý Định lý không thỏa mãn Kết luận Bài báo trình bày phương pháp nhân tử hóa để xác định vị trí, hình dạng dị vật tán xạ tốn tán xạ ngược Từ đó, áp dụng phương pháp vào giải số ví dụ cụ thể Đến nay, phương pháp nhân tử hóa số nhà toán học nghiên cứu vào việc giải tốn ngược phương trình đạo hàm riêng bước đầu thu số kết định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kirsch, A (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer - Verlag, New York [2] Kirsch, A (1999), Factorization of the far field operator for the inhomogeneous medium case and an application in inverse scattering theory, Inverse Problems 15: 413–429 [3] Kirsch, A (2002), The MUSIC algorithm and the factorization method in inverse scattering theory for inhomogeneous media, Inverse Problems 18: 1025 – 1040 [4] Vainikko, G (1997), Fast solvers of the Lippmann - Schwinger equation, Research Report A 387, Helsinki University of Technology 62