Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
251,73 KB
Nội dung
ET2060HệthốngLTITS.ĐặngQuangHiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Outline Phép chập Các tính chất của phép chập trong hệthốngLTI Biểu diễn hệthốngLTI Phép chập (1) Xét hệthốngLTI rời rạc x[n] T −→ y[n]; y[n] = T {x[n]} Biểu diễn đầu vào x[n] theo hàm xung đơn vị x[n] = ∞ k=−∞ x[k]δ[n − k] và áp dụng tính chất tuyến tính, ta có: y[n] = ∞ k=−∞ x[k]T {δ[n − k]} Phép chập (2) Với h[n] là đáp ứng của hệthống T khi đầu vào là hàm xung đơn vị, h[n ] = T {δ[n]} (h [n] gọi là đáp ứng xung của hệ thống) δ[n] h[n] T và áp dụng tính chất bất biến theo thời gian, ta có: y[n] = ∞ k=−∞ x[k]h[n − k] := x[n] ∗ h[n] Đầu ra y[n] được tính bằng phép chập (convolution) của đầu vào x[n] và đáp ứng xung h[n] của hệ thống. Các bước để tính phép chập Cách tính y(n 0 ) y[n 0 ] = ∞ k=−∞ x[k]h[n 0 − k] Thực hiện trên đồ thị! 1. Lấy đối xứng qua trục tung: h[k] → h[−k] 2. Dịch theo trục hoành: Dịch h[−k] đi n 0 để được dãy h[n 0 − k], trái / phải? 3. Nhân hai dãy: v n 0 [k] = x[k]h[n 0 − k] 4. Tính tổng: Cộng tất cả các phần tử (khác không) của dãy v n 0 [k] thì được y [n 0 ] Tính phép chập bằng đồ thị (1) 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k x[k] 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k h[k] 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k h[−k] 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k v 0 [k] y [0] = 0.75 + 1 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k h[−1 − k] 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k v −1 [k] y [−1] = 1 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k h[1 − k] 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 k v 1 [k] y [1] = 0.5 + 0.75 + 1 Tính phép chập bằng đồ thị (2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4 n x[n] 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4 n h[n] 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4 n y [n] Tính phép chập bằng đồ thị (3) Ví dụ: Hệthống đáp ứng x ung h[n ] = rect N [n] := u[n] − u[n − N], hãy tìm đầu ra y[n] khi có đầu vào như sau: x[n] = n+3 4 , −3 ≤ n ≤ 1 0, n còn lại Một số nhận xét: ◮ Nếu x[n] là dãy có chiều dài hữu hạn L: x[n] = 0, ∀n /∈ [N 1 , N 1 + L − 1], và h[n] là dãy có chiều dài hữu hạn M: h[n] = 0, ∀n /∈ [N 2 , N 2 + M − 1]. Hãy xác định chiều dài hữu hạn của y[n]? ◮ Nếu x[n] hoặc h[n] dịch đi một đoạn N mẫu thì y[n] thay đổi như thế nào? ◮ Khi h[n] = δ[n]? ◮ Tính trên Matlab? Phép chập cho tí n hiệu liên tục (1 ) Biểu diễn đầu vào theo hàm xung đơn vị x(t) = ∞ −∞ x(τ)δ(t − τ)dτ Gọi h(t) là đáp ứng xung của hệ thống, áp dụng tính chất tuyến tính + bất biến theo thời gian, ta có mối quan hệ: y(t) = ∞ −∞ x(τ)h(t − τ)dτ := x(t) ∗ h(t) Ví dụ: Cho mạch điện RC nối tiếp với RC = 1[s], hãy tính điện áp y(t) trên tụ khi điện áp giữa hai đầu mạch điện là xung vuông: x(t) = u(t) − u(t − 2) Gợi ý: Đáp ứng xung của hệthống là h(t) = e −t u(t) Phép chập cho tí n hiệu liên tục (2 ) 1 2 τ x(τ ) 1 τ h(τ ) 1 τ h(t 0 − τ ) 1 τ v t 0 (τ ) y (t 0 ) 1 2 t y (t) Outline Phép chập Các tính chất của phép chập trong hệthốngLTI Biểu diễn hệthốngLTI Tính chất giao hoán x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] Hệthống LTI: x[n] y [n] h[n] h[n] y[n] x[n] Tính chất kết hợp (x[n] ∗ h 1 [n]) ∗ h 2 [n] = x[n] ∗ (h 1 [n] ∗ h 2 [n]) Ghép nối tiếp các hệthống LTI: x[n] y [n] h 1 [n] h 2 [n] x[n] y [n] h 1 [n] ∗ h 2 [n] Tính chất phân phối x[n] ∗ (h 1 [n] + h 2 [n]) = (x[n] ∗ h 1 [n]) + (x[n] ∗ h 2 [n]) Ghép song song các hệthống LTI: + x[n] y [n] h 1 [n] h 2 [n] x[n] y [n] h 1 [n] + h 2 [n] HệthốngLTI không có nhớ y[n] = x[n] ∗ h[n] Áp dụng tính chất giao hoán, ta có: y[n] = h[n] ∗ x[n] = ∞ −∞ h[k]x[n − k] Hệthống không có nhớ: y[n] chỉ phụ thuộc vào x[n], do đó: h[k] = 0, ∀k = 0 tức là h[n] = Cδ[n], trong đó C là hằng số. Khi đó, ta có hệ thống: y[n] = x[n] ∗ Cδ[n] = Cx[n] Nghịch đảo một hệthốngLTI x[n] x[n] h[n] h 1 [n] Điều kiện: h[n] ∗ h 1 [n] = δ[n] Ví dụ: Xét nghịch đảo của các hệthốngLTI sau: (a) h[n] = δ[n − n 0 ] (b) h[n] = u[n] HệthốngLTI nhân quả Áp dụng tính chất giao hoán, ta có: y[n] = · · ·+h[−2]x[n+2]+h[−1]x[n+1]+h[0]x[n]+h[1]x[n−1]+· · · Do vậy, hệthống nhân quả khi và chỉ khi h[k] = 0, ∀k < 0 Tín hiệu nhân quả: x[n] = 0, ∀n < 0. HệthốngLTI ổn định Điều kiện cần và đủ: ∞ n=−∞ |h[n ]| < ∞ Chứng minh điều kiện đủ: dễ dàng Chứng minh điều kiện cần: a → b ≡ ¯ b → ¯a ◮ Chỉ ra nếu ∞ n=−∞ |h[n ]| = ∞ thì có ít nhất một trường hợp hệthống có đầu vào bị chặn mà đầu ra không bị chặn. ◮ Chọn đầu vào như sau: x[n] = h ∗ [−n] |h[−n]| h[n] = 0 0, h[n] = 0 ◮ Đầu ra tại n = 0? Ví dụ: Xét tính ổn định của hệthống h[n] = a n u[n]. Đáp ứng nhảy của hệthốngLTI Xét hệthốngLTI với đầu vào là hàm nhảy đơn vị, khi đó đầu ra được gọi là đáp ứng nhảy (step response) của hệthống s[n] = u[n] ∗ h[n] u[n] s[n] h[n] Áp dụng tính chất giao hoán, s[n] = h[n] ∗ u[n] = n k=−∞ h[k] Ngược lại, ta có: h[n] = s[n] − s[n − 1] Bài tập về nhà (1) 1. Viết lại các tính chất của hệthốngLTI cho trường hợp tín hiệu liên tục 2. Làm các bài tập chương 2 3. Viết chương trình Matlab myc onv để tính chập giữa hai tín hiệu rời rạc. So sánh tốc độ với hàm có sẵn conv bằng lệnh profil e 4. Dùng Matlab để vẽ đáp ứng nhảy s[n ] của hệthốngLTI nếu biết trước đáp ứng xung h[n]. 5. Viết chương trình Matlab để vẽ chập giữa hai tín hiệu liên tục. Có thể sử dụng hàm myconv đã viết không? So sánh kết quả trên cùng một đồ thị. [...]... tổng quát sao cho nghiệm y (t) = yh (t) + yp (t) thỏa mãn các điều kiện đầu d Ví dụ: Xét mạch điện RC: y (t) + RC dt y (t) = x(t) Tìm y (t) (t > 0) khi x(t) = cos(ω0 t)u(t) và y (0 ) = 2 [V], R = 1 [Ω], C = 1 [F] Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng N k=0 M ak y [n − k] = k=0 bk x[n − k] ◮ FIR Hệthống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn: N = 0 ◮ IIR Hệthống có đáp ứng xung có chiều dài vô... trong hệ thốngLTI Biểu diễn hệthốngLTI Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng N k=0 ◮ dk ak k y (t) = dt M k=0 dk bk k y (t) dt Tìm yh (t) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất N k=0 dk ak k y (t) = 0 =⇒ yh (t) = dt Phương trình đặc trưng: N k k=0 ak r N ci e ri t i =0 =0 ◮ Tìm nghiệm riêng yp (t) có dạng tương tự như x(t) ◮ Tìm các hệ số của nghiệm tổng quát sao cho nghiệm y (t) = yh (t)... Phương trình đặc trưng N ak r N−k = 0 k=0 Thực hiện hệ thống LTI: Các phần tử cơ bản x[n] a ax[n] x(t) x2 [n] a ax(t) x2 (t) x1 [n] + x1 [n] + x2 [n] x[n] D x[n − 1] x1 (t) + x1 (t) + x2 (t) x(t) D dx(t) dt Thực hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại I N y [n] = − k=1 b0 x[n] M ak y [n − k] + + r =0 br x[n − r ] y [n] + D D b1 + + −a1 D D −a2 b2 Thực hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại II x[n] b0 + + D + −a1 b1 D −a2... −0.4 −0.4 −0.5 0 1 2 Time [sec] −0.5 0 1 2 Time [sec] Ứng dụng: Radar (2 ) So sánh vị trí tại đó hàm tương quan chéo nhận giá trị lớn nhất và τ = 0.88 s (trong trường hợp SNR = 20 dB) Cross correlation 1 Cross−correlation True delay xcorr 0.5 0 −0.5 −3 −2 −1 0 delay [sec] 1 2 3 Bài tập về nhà (2 ) 1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng trên Matlab 2 Viết lại chương trình Matlab minh họa ứng... hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại II x[n] b0 + + D + −a1 b1 D −a2 b2 + y [n] Phép tương quan So sánh mức độ giống nhau giữa hai dãy (tín hiệu) Tương quan chéo: ∞ rxy [n] = m=−∞ x[m]y [m − n] Tự tương quan: ∞ rxx [n] = m=−∞ x[m]x[m − n] Cách tính tương quan? Matlab? Ứng dụng: Radar (1 ) Phát đi tín hiệu qua kênh truyền có nhiễu trắng và trễ một khoảng thời gian τ không biết trước Transmitted waveform Received . sao cho nghiệm y(t) = y h (t) + y p (t) thỏa mãn các điều kiện đầu. Ví dụ: Xét mạch điện RC: y (t) + R C d dt y(t) = x(t). Tìm y(t) (t > 0) khi x(t) = cos(ω 0 t)u(t) và y( 0) = 2 [V], R = 1. hiện hệ thống LTI: Các phần tử cơ bản x[n] a ax[n] x(t) a ax(t) x 1 [n] x 2 [n] x 1 [n] + x 2 [n]+ x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) + x 2 (t)+ x[n] x[n − 1] D x(t) dx(t) dt D Thực hiện hệ thống LTI: Sơ. 2) Gợi ý: Đáp ứng xung của hệ thống là h(t) = e −t u(t) Phép chập cho tí n hiệu liên tục (2 ) 1 2 τ x(τ ) 1 τ h(τ ) 1 τ h(t 0 − τ ) 1 τ v t 0 ( ) y (t 0 ) 1 2 t y (t) Outline Phép chập Các tính