Tổng ôn đề lớp 9

CHẶNG 1: KHỞI ĐỘNG TẠO BƯỚC ĐỆM TỔNG HỢP KIẾN THỨC PHẦN 1: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa: A có nghĩa A 0 Các công thức biến đổi thức AB  A B A2  A ( A 0; B 0) A2 B  A B ( B 0) A  B B AB ( AB 0; B 0) A A  B B ( A 0; B  0) A B  A2 B ( A 0; B 0) A B  A2 B ( A  0; B 0) A A B  B B ( B  0) C C ( A B )  A  B2 A B ( A 0; A  B ) C C( A  B )  A  B2 A B  a 0  Hàm số y ax  b Tính chất: - Hàm số đồng biến R a  - Hàm số nghịch biến R a  Đồ thị: ( A 0; B 0; A  B ) b  B  ;0  A  0; b  Đồ thị đường thẳng qua điểm ;  a  y ax  a 0  Hàm số Tính chất: - Nếu a  hàm số nghịch biến x  đồng biến x  - Nếu a  hàm số đồng biến x  nghịch biến x  Đồ thị: O  0;0  Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ a  + Nếu đồ thị nằm phía trục hồnh a  + Nếu đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng:  d  y ax  b  d  Xét đường thẳng y ax  b  d   d  cắt  a a  d  //  d   a a b b  d   d   a a b b Vị trí tương đối đường thẳng đường cong  d  y ax  P  Xét đường thẳng y ax  b  d   P  cắt hai điểm  d  tiếp xúc với  P  điểm HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page  d   P  khơng có điểm chung Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a 0) Công thức nghiệm  b  4ac Nếu   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  b    b   x1  x2  2a 2a ; Nếu  0 : Phương trình có nghiệm kép : b x1  x2  2a Nếu   : Phương trình vơ nghiệm Công thức nghiệm thu gọn  b2  ac với b 2b Nếu   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  b  Δ  b  Δ x1  x2  a a ; Nếu  0 : Phương trình có nghiệm  b x1  x2  a kép: Nếu   : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng Hệ thức Viet: ax  bx  c 0  a 0  Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình bậc hai thì: b   S  x1  x2  a   P  x x  c  a Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u  v S ; u.v P ta giải phương trình: x  Sx  P 0 (Điều kiện S  P 0 ) ax  bx  c 0  a 0  + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Nếu a  b  c 0 phương trình có hai nghiệm: c x  x1 1 ; a Nếu a  b  c 0 phương trình có hai nghiệm: c x1  1; x2  a Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với tốn kết luận B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC A Bài toán: Rút gọn biểu thức Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: BÀI TỐN TÍNH TỐN Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức A  Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A A x Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức biết x a  Cách giải: A x - Rút gọn biểu thức - Thay x a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài toán: Chứng minh đẳng thức A B Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A B  A  B 0 Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A  A1  A2  B Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A  A1  A2  C B B1 B2  C  A B Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A B  A B  A B    * A B Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A  B :  Một số bất đẳng thức quan trọng: Bất đẳng thức Cosi: a1  a2  a3   an n  a1.a2 a3 an n (với a1.a2 a3 an 0 ) Dấu “=” xảy khi: a1 a2 a3  an Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1 ; a2 ; a3 ; ; an ; b1 ; b2 ; b3 ; ; bn  a1b1  a2b2  a3b3   anbn  (a12  a22  a32   an2 )(b12  b22  b32   bn2 ) a a1 a2 a3     n bn Dấu “=” xảy khi: b1 b2 b3  Một số phương pháp chứng minh: Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A   A B  Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A  A1  A2  B  M  B M 0 Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A  B  A  B  A  B    * (*) A  B Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page A  C C  B  A  B Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng * Để chứng minh A  B ta giả sử B  A dùng phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A  B Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax  bx  c 0  a 0  Bài tốn 1: Giải phương trình bậc hai  Các phương pháp giải: Phương pháp 1: Phân tích đưa phương trình tích Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x a  x  a Phương pháp 3: Dùng cơng thức nghiệm Ta có  b  4ac + Nếu   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  b    b   x2  2a 2a ; + Nếu  0 : Phương trình có nghiệm kép b x1  x2  2a + Nếu   : Phương trình vơ nghiệm Phương pháp 4: Dùng cơng thức nghiệm thu gọn Ta có  b  ac với b 2b + Nếu ' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  b  Δ  b  Δ x1  x2  a a ; x1  x1  x2   b a + Nếu ' = : Phương trình có nghiệm kép + Nếu ' < : Phương trình vơ nghiệm Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et ax  bx  c 0  a 0  Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình bậc hai thì: b   x1  x2  a   x x  c  a Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c 0 (trong a, b, c phụ thuộc tham số m )  Xét hệ số a : Có thể có khả a Trường hợp a 0 với vài giá trị m a 0  m m0 Giả sử ta có: (*) trở thành phương trình bậc ax  b 0 (**) c x m  m : (**) có nghiệm b + Nếu b 0 với + Nếu b 0 c 0 với m m0 : (**) vô định  (*) vô định HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page + Nếu b 0 c 0 với m m0 : (**) vô nghiệm  (*) vô nghiệm b Trường hợp a 0 : Tính   - Ghi biện luận tùy vào trường hợp: áp dụng công thức nghiệm công thức thu gọn Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 (trong a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Có hai khả để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có nghiệm: Hoặc a 0, b 0 Hoặc a 0,  0  0 Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện 2 Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt a 0 a 0  '   Điều kiện có hai nghiệm phân biệt     Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm  Điều kiện có nghiệm: a 0 a 0 a 0   '  b 0  0  0 Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép a 0 a 0   '     Điều kiện có nghiệm kép:  0 Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm a 0 a    '     Điều kiện có nghiệm:   Bài tốn 8: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 (trong a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm a 0 a 0 a 0   Δ 0  Điều kiện có nghiệm: b 0  0 Bài tốn 9: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu   Điều kiện có hai nghiệm dấu:  Δ 0  0   P  c  P  c    a a  Bài tốn 10: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm dương  Điều kiện có hai nghiệm dương: HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page   0  c  P   a  b  S  a    Δ 0  c P   a   S  b   a Bài toán 11: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm  Điều kiện có hai nghiệm âm:    0  Δ 0   c  c P   P  0  a a   b   S  b  S     a a  Bài tốn 12: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm trái dấu  Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P  a c trái dấu Bài tốn 13: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm x  x1  Cách giải: - Thay x  x1 vào phương trình (*) ta có: ax1  bx1  c 0  m - Thay giá trị m vào (*)  x1 , x2 P x2  x1 - Hoặc tính x2 S  x1 Bài tốn 14: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax  bx  c 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: a x1  x2  1  n x x2 c 2 b x1  x2 k 2 d x1  x2 h  Điều kiện chung:    0 (*) Theo định lí Viet ta có: b   x1  x2  a S (1)   x x  c  P (2) a  a Trường hợp: b   x1  x2  a  x1   x2   x , x Giải hệ 3 e x1  x2 t Thay x1 , x2 vào (2)  m Chọn giá trị m thoả mãn (*) 2 b Trường hợp: x1  x2 k  ( x1  x2 )  x1 x2 k HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page b c x1.x2 P  a a vào ta có: Thay S  P k  Tìm giá trị m thoả mãn (*) 1  n  x1  x2 nx1.x2   b nc x x2 c Trường hợp: x1  x2 S  Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mãn (*) 2 d Trường hợp: x1  x2 h  S  P  h 0 Giải bất phương trình S  P  h 0 chọn m thoả mãn (*) 3 e Trường hợp: x1  x2 t  S  3PS t Giải phương trình S  3PS t chọn m thoả mãn (*) Bài tốn 15: Tìm hai số u v biết tổng u  v S tích u.v P chúng Ta có: u v nghiệm phương trình: x  Sx  P 0 (*) (Điều kiện S  P 0 ) Giải phương trình (*) ta tìm hai số u v cần tìm Dạng 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ Bài tốn 1: Giải phương trình trùng phương ax  bx  c 0 Đặt t  x  t 0  ta có phương trình at  bt  c 0 Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x BẢNG TÓM TẮT at  bt  c 0 ax  bx  c 0 vô nghiệm vô nghiệm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dương nghiệm đối nghiệm nghiệm dương cặp nghiệm đối A( x  1 )  B( x  )  C 0 x x Bài toán 2: Giải phương trình x  t  x  tx  0 x Đặt 1 x  x2   x  t  2 x x x ) = Suy t = (  Thay vào phương trình ta có: At  Bt  C 0  At  Bt  C  A 0 x  t x Giải phương trình ẩn t sau vào giải tìm x 1 A( x  )  B( x  )  C 0 x x Bài tốn 3: Giải phương trình x  t  x  tx  0 x Đặt HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page 1   t  x    x   x x   x  t  x Thay vào phương trình ta có: A  t    Bt  C 0  At  Bt  C  A 0 x t x giải tìm x Giải phương trình ẩn t sau vào Bài tốn 4: Giải phương trình bậc cao Dùng phép biến đổi đưa phương trình bậc cao dạng: + Phương trình tích + Phương trình bậc hai Dạng 7: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ax  by c  Bài tốn: Giải hệ phương trình a ' x  b' y c' Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp + Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 8: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Bài tốn 1: Giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) (1) (2)  g ( x ) 0 f ( x)  g ( x )   (3)  f ( x)  g ( x)  Ta có Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm (1) Bài tốn 2: Giải phương trình dạng f ( x )  h( x)  g ( x )  Điều kiện có nghĩa phương trình  f ( x) 0  h( x) 0  g ( x ) 0  Với điều kiện thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x Dạng 9: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI f  x  g  x  Bài tốn: Giải phương trình dạng  g  x  0  2  f  x    g  x   f  x  g  x    Phương pháp 1: Phương pháp 2: f  x  0  f  x  g  x  Xét f  x     f  x  g  x  Xét f  x     f  x  g  x  Phương pháp 3: Với Dạng 10: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC y  f  x Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page - Biến đổi hàm số y  f  x cho: 2n y M   g  x   , n  Z  y M g  x  0 Do ymax M y  f  x - Biến đổi hàm số cho: 2k y m   h( x)  k  Z  y m h  x  0 Do ymin m Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức Dạng 11: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ  ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM  C  đồ thị hàm số y  f  x  điểm A  xA ; y A  Hỏi  C  có qua A Bài tốn: Cho khơng?  C  qua A  xA ; y A  toạ độ A nghiệm phương trình Đồ thị  C A   C   y A  f  xA  f  xA  Dó tính y  f  xA   C  qua A Nếu A y  f  xA   C  khơng qua A Nếu A SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ  C   L  theo thứ tự độ thị hàm số Bài toán : Cho y  f  x y g  x  Hãy khảo sát tương giao hai đồ thị:  C   L  nghiệm phương trình hồnh độ điểm chung: Toạ độ điểm chung f  x  g  x  (*)  C   L  khơng có điểm chung - Nếu (*) vơ nghiệm  C   L  tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm kép  C   L  có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm  C   L  có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm  LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A  xA ; y A  Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm có hệ số góc k  D  : y ax  b (*) Phương trình tổng quát đường thẳng  - Xác định a : ta có a k A  xA ; y A  - Xác định b : (D) qua nên ta có y A kxA  b  b  y A  kx A  D - Thay a k ; b  y A  kx A vào (*) ta có phương trình  D  qua điểm A  xA ; y A  ; B  xB ; yB   D  : y ax  b Phương trình tổng qt đường thẳng Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page  y A ax A  b  D  qua A B nên ta có:  yB axB  b  D Giải hệ ta tìm a b suy phương trình  D  có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng  C  : y  f  x  D  là: y kx  b  D   P  là: Phương trình hồnh độ điểm chung f  x  kx  b (*)  D  tiếp xúc với  P  nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm b suy Vì  D phương trình  D  qua điểm A  xA ; y A  hệ số góc k tiếp xúc Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng  C  : y  f  x với đường cong  D  : y kx  b Phương trình tổng quát đường thẳng  D   P  là: Phương trình hồnh độ điểm chung f  x  kx  b (*)  D  tiếp xúc với  P  nên (*) có nghiệm kép Vì Phương trình tổng qt đường thẳng Từ điều kiện ta tìm hệ thức liên hệ a b (**)  D  qua A  xA ; y A  ta có y A axA  b (***) Mặt khác:  D Từ (**) (***)  a b suy phương trình đường thẳng PHẦN 2: HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ thức lượng tam giác vuông b2 ab c ac h b.c ah bc a b  c 1  2 2 h b c Tỉ số lượng giác góc nhọn < sin < sin  tg  cos  sin  + cos2 = 1  tg 2  cos  < cos < cos  cot g  sin  tg.cotg = 1  cot g 2  HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 sin  2205 CT2A TÂN TÂY ĐÔ Page 10