Template hh9 vu huu binh

1 S T AND RELA D TOPIC HE X TE ME LAT E DỰ ÁN TEX HĨA SÁCH TỐN HAY TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÁN Tập Hai – HÌNH HỌC NĂM NĂM 2022 2022 2/228 MỤC LỤC MỤC LỤC Lời giải Đề CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Chuyên đề Hệ thức cạnh đường cao 137 Chuyên đề Tỷ số lượng giác góc nhọn 145 Chuyên đề Hệ thức cạnh góc tam giác vng 152 CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề Sự xác định đường trịn tính chất đường kính, dây cung13 159 Chuyên đề Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 20 164 Chuyên đề Vị trí tương đối hai đường tròn 31 172 CHƯƠNG GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Chun đề Liên hệ cung dây dung — góc nội tiếp 41 177 Chuyên đề Góc tạo hai cát tuyến tiếp tuyến đường tròn 51 181 Chun đề Cung chứa góc tốn quỹ tích 62 189 Chuyên đề 10 Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đa giác 68 193 Chuyên đề 11 Độ dài đường trịn - Diện tích hình tròn 88 204 CHƯƠNG HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU Chun đề 12 Hình trụ 95 207 Chun đề 13 Hình nón 98 210 Chuyên đề 14 Hình cầu 103 214 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 15 Đường thẳng simson 107 217 Chuyên đề 16 Bất đẳng thức Erdos – Mordell vài áp dụng 116 223 Chuyên đề 17 Định lý Ptôlêmê đặc trưng tứ giác nội tiếp 125 226 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 3/228 CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Chương HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG L CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO I KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc vận dụng thành thạo kiến thức định lý Thalès (Ta-lét), trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải áp dụng kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ta có 1) a2 = b2 + c2 A 2) b2 = a.b0 ; c2 = a.c0 3) h2 = b0 c0 c 4) a.h = b.c 1 5) = + · h b c c0 b h b0 H B a C II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = : AB + AC = 21 cm a) Tính cạnh tam giác ABC; b) Tính độ dài đoạn AH, BH, CH Lời giải a) Theo đề AB : AC = : 4, AB AC AB + AC 21 suy = = = = 3 3+4 Do AB = 3.3 = (cm); AC = 3.4 = 12 cm Tam giác ABC vuông A, theo định lý Pythagore (Py-ta-go) ta có BC = AB + AC = 92 + 122 = 225, suy BC = 15 cm LATEX nhóm theme LATEX and related topics A B H C 4/228 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO b) Tam giác ABC vng A, ta có AH.BC = AB.AC, AB.AC 9.12 suy AH = = = 7,2 cm BC 15 AH = BH.CH Đặt BH = x (0 < x < 9) HC = 15 − x, ta có (7,2)2 = x(15 − x) ⇔ x2 − 15x + 51,84 = ⇔ x(x − 5,4) − 9,6(x − 5,4) = ⇔ (x − 5,4)(x − 9,6) = ⇔ x = 5,4 (cm) x = 9,6 (cm) (loại) Vậy BH = 5,4 (cm) Từ HC = BC − BH = 9,6 cm  LƯU Ý Có thể tính BH sau: AB = BH.BC suy BH = AB 92 = = 5,4 (cm) BC 15 Rõ ràng cách tính đơn giản Ví dụ b=D b = 90◦ , B b = 60◦ , CD = 30 cm, CA ⊥ CB Tính diện tích Cho hình thang ABCD có A hình thang Lời giải \ = ABC [ = 60◦ (cùng phụ với CAB), [ Ta có CAD D tam giác vng ACD ta có AC = 2AD Theo định lý Pythagore AC = AD2 + DC hay (2AD)2 = AD2 + 302 √ suy 3AD2 = 900 ⇔ AD2 = 300 nên AD = 10 cm A Kẻ CH ⊥ AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có √ b=D b =H b = 90◦ , suy AH = CD = 30 cm; CH = AD = 10 cm A Tam giác ACB vng C, ta có √ (10 3)2 300 CH 2 CH = HA.HB, suy HB = = = = 10 cm, HA 30 30 AB = AH + HB = 30 + 10 = 40 cm √ √ 1 SABCD = CH(AB + CD) = · 10 · (40 + 30) = 350 cm2 2 √ Vậy diện tích hình thang ABCD 350 cm2 C 60◦ H Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK; H trực tâm tam giác Goi M điểm \ CK cho AM B = 90◦ S,pS1 , S2 theo thứ tự diện tích tam giác AM B, ABC ABH Chứng minh S = S1 S2 Lời giải LATEX nhóm theme LATEX and related topics B 5/228 CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG C S Tam giác AM B vng M , có M K ⊥ AB nên M K = AK.BK (1) 4AHK 4CBK \ = CKB \ = 90◦ ; KAH \ = KCB \ (cùng phụ với có AKH [ ABC) HK AK = , Suy CK BK AK.KB = CK.KH (2) Từ (1) (2) suy √ M K = CK.HK nên M K = CK.HK; √ 1 SAM B = · AB.M K = · AB CK.HK 2 r p 1 · AB.CK · AB.HK = S1 S2 · = 2 p Vậy S = S1 S2 M D H A B K III BÀI TẬP Bài tập 1.1 Cho tam giác ABC vuông cân A điểm M nằm B C Gọi D E hình chiếu điểm M AB AC Chứng minh M B + M C = 2M A2 Bài tập 1.2 Cho hình chữ nhật ABCD điểm O nằm hình chữ nhật Chứng minh OA2 + OC = OB + CD2 Bài tập 1.3 Cho hình chữ nhật ABCD có AD = cm, CD = cm Đường thẳng kẻ từ D vng góc với AC E, cắt cạnh AB F Tính độ dài đoạn thẳng DE, DF , AE, CE, AF , BF Bài tập 1.4 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, AC = cm Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn tam giác khơng có điểm chung Tính diện tích tam giác Bài tập 1.5 Trong tam giác vuông tỉ số đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vng 40 : 41 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác đó, biết cạnh huyền cm √ 41 Bài tập 1.6 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC Gọi O giao điểm AH EF Chứng minh HB.HC = 4OE.OF Bài tập 1.7 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE cắt H Gọi M N \ \ điểm thuộc HC HB cho AM B = AN C = 90◦ Tam giác AM N tam giác gì? Vì sao? Bài tập 1.8 Cho hình vng ABCD, cạnh a \ = 30◦ Tính AM , BM theo a a) M điểm cạnh AD cho ABM b) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BM F , đường thẳng cắt CD N Tính độ dài đoạn thẳng AF , M F , BF theo a Bài tập 1.9 Cho hình vng ABCD điểm I thay đổi nằm A B Tia DI cắt BC E Đường thẳng kẻ qua D vng góc với DE cắt BC F Chứng minh tổng 1 + DI DE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm I Bài tập 1.10 Cho tam giác ABC, đường cao BH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c0 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 6/228 TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN Chứng minh rằng: b < 90◦ a2 = b2 + c2 − 2bc0 a) Nếu A b > 90◦ a2 = b2 + c2 + 2bc0 b) Nếu A \ = 30◦ Bài tập 1.11 Cho tam giác ABC, đường cao AH Biết AB = cm, BC = AC = cm, BAH Tính diện tích tam giác ABC Bài tập 1.12 Cho tam giác ABC, đường cao ứng với cạnh a, b, c , hb , hc 1 = + tam giác ABC vng A hb hc Bài tập 1.13 Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD CE cắt I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI Tam giác ABC tam giác gì? Vì sao? b = 90◦ , BC = 2a, đường cao AH Kẻ HD ⊥ AC, HE ⊥ AB Bài tập 1.14 Cho tam giác ABC, A Chứng minh Tìm giá trị lớn của: a) Độ dài đoạn thẳng DE; b) Diện tích tứ giác ADHE Bài tập 1.15 Cho tam giác ABC có cạnh 60 cm Trên đoạn BC lấy điểm D cho BD = 20 cm Đường trung trực AD cắt AB E, cắt AC F Tính độ dài cạnh tam giác DEF Bài tập 1.16 Cho tam giác ABC Đường trung tuyến AD, đường cao BH, đường phân giác CE đồng quy Chứng minh đẳng thức (BA + CA)(BC + CA2 − AB ) = 2BC.CA2 L CHUYÊN ĐỀ TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN a) Các tỉ số lượng giác góc nhọn α định nghĩa sau: đối kề đối kề sin α = ; cos α = ; tan α = ; cot α = · huyền huyền kề đối Nếu α góc nhọn thì < sin α < 1; < cos α < 1; tan α > 0; cot α > cạnh đối I KIẾN THỨC CƠ BẢN cạn hh uy ền α cạnh kề b) Với hai góc α, β mà α + β = 90◦ , ta có: sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β Nếu hai góc nhọn α β có sin α = sin β cos α = cos β α = β c) sin2 α + cos2 α = 1; tan α cot α = d) Với số góc đặc biệt, ta có: sin 30 = cos 60 = ; √2 cos 30◦ = sin 60◦ = ; ◦ ◦ √ sin 45 = cos 45 = ; cot 60◦ = tan 30◦ = √ · ◦ ◦ LATEX nhóm theme LATEX and related topics 7/228 CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Biết sin α = · Tính cos α, tan α cot α 13 Lời giải b = α Cách Xét 4ABC vuông A Đặt B AC AC BC Ta có sin α = = , suy = = k, BC 13 13 AC = 5k, BC = 13k 4ABC vuông A nên AB = BC − AC = (13k)2 − (5k)2 = (12k)2 , suy AB = 12k C α B A AB 12k 12 AC 5k AB 12k 12 = = ; tan α = = = ; cot α = = = · BC 13k 13 AB 12k 12 AC 5k 5 25 Cách Ta có sin α = , suy sin2 α = , mà sin2 α + cos2 α = 1, 13 169 25 144 12 cos2 α = − sin2 α = − = , suy cos α = · 169 169 13 sin α 12 13 tan α = = : = · = · cos α 13 13 13 12 12 cos α 12 12 13 12 cot α = = : = · = · sin α 13 13 13 5 Vậy cos α = Nhận xét: Trong cách giải thứ nhất, ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính cos α, tan α, cot α để tính sin2 α tính cos α từ sin2 α + Trong cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin α = 13 cos2 α = Sau ta tính tan α cot α theo sin α cos α Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA = : Chứng minh tan B tan C = Lời giải Ta có: tan B = (1) AD AD AD2 , tan C = · Suy tan B tan C = · BD CD BD.CD A E \ = CAD \ (cùng phụ với ACB) [ HBD ◦ \ = ADC \ = 90 HDB DH BD Do 4BDH 4ADC (g-g), suy = , BD.DC = DC AD DH.AD (2) S H AD2 AD Từ (1) (2) suy tan B tan C = = · DH.AD DH LATEX nhóm theme LATEX and related topics B D C (3) 8/228 TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN HD HD HD = suy = hay = , suy AD = 3HD AH AH + HD + AD Thay vào (3) ta 3HD tan B tan C = = DH Theo đề Ví dụ Biết sin α cos α = 12 , tính sin α, cos α 25 12 · Để tính sin α, cos α ta cần tính sin α + cos α giải phương trình 25 với ẩn sin α cos α Trong chương trình tốn 9, ta xét α góc nhọn Ta có: 12 49 (sin α + cos α)2 = sin2 α + cos2 α + sin α cos α = + = · 25 25 7 Suy sin α + cos α = nên sin α = − cos α Từ ta có  75  12 cos α − cos α = 25 12 ⇔ cos α − cos α = 25 ⇔25 cos α − 35 cos α + 12 = Lời giải Biết sin α cos α = ⇔5 cos α(5 cos α − 4) − 3(5 cos α − 4) = ⇔(5 cos α − 4)(5 cos α − 3) =  12 cos α = ⇒ sin α = : =  25 5 ⇔ 12 cos α = ⇒ sin α = : = · 25 5 4 Vậy sin α = , cos α = sin α = , cos α = 5 5 III BÀI TẬP Bài tập 2.17 a) Biết sin α = , tính A = sin2 α + cos2 α b) Biết cos α = , tính B = sin2 α − cos2 α Bài tập 2.18 sin α − cos α a) Biết tan α = , tính C = · sin α + cos α sin α + cos α b) Biết cot α = , tính D = · sin α − cos α Bài tập 2.19 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh cot B = cot C AM = AC Bài tập 2.20 Cho tam giác ABC có BC ≥ AC ≥ AB, đường phân giác AD, đường cao CH Chứng minh CH ≥ AD Bài tập 2.21 Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh a b c = = · sin A sin B sin C LATEX nhóm theme LATEX and related topics CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 9/228 Bài tập 2.22 Cho tam giác ABC, hai đường cao BD, CE Chứng minh rằng: a) SADE = SABC cos2 A b) SBCDE = SABC sin2 A Bài tập 2.23 Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh với sin góc nhọn tạo hai đường thẳng chứa hai cạnh Bài tập 2.24 Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD Biết AB = c, AC = b Tính độ dài đoạn AD theo b c Bài tập 2.25 Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, CA = b, AB = c b + c = 2a Chứng minh: a) sin A = sin B + sin C 1 = + , , hb , hc lần lược chiều cao tam giác ứng với cạnh a, b, c b) hb hc Bài tập 2.26 Cho tam giác nhọn ABC hai đường trung tuyến BN CM vng góc với Chứng minh cot B + cot C ≥ · [ = α, Bài tập 2.27 Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC trung tuyến AM Đặt ACB \ AM B = β Chứng minh (sin α + cos α) = + sin β Bài tập 2.28 Không sử dụng công thức lượng giác, chứng minh cos 36◦ cos 72◦ = · √ Bài tập 2.29 Tìm góc nhọn α biết sin α cos α = b = α (α < 45◦ ), trung tuyến AM , đường cao Bài tập 2.30 Cho tam giác ABC vuông A, C AH, BC = a Chứng minh công thức sau: a) sin 2α = sin α cos α; b) + cos 2α = cos2 α; c) − cos 2α = sin2 α Bài tập 2.31 Cho tam giác 4ABC Chứng minh rằng: B C A sin sin ≤ , 2 A B C b) sin sin sin = tam giác ABC tam giác 2 a) sin L CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Trong tam giác vng, cạnh góc vng LATEX nhóm theme LATEX and related topics 10/228 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cơsin góc kề A B c = a sin C = a cos B b c Cạnh góc vng nhân với tang góc đối hay nhân với cơtang góc kề b = a sin B = a cos C C a b = c tan B = c cot C c = b tan C = b cot C b) Giải tam giác vuông tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ b = 60◦ Tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 B a) Tính độ dài cạnh BC; b) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải a) Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH, ta có A BH = AB cos B = AB cos 60 = 16 · = √ √ ◦ AH = AB sin B = AB sin 60 = 16 · = Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vng AHC ta có √
2 HC = AC − AH = 142 − = 196 − 192 = Suy HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 C √ √ 1 b) Cách SABC = BC.AH = · 10.8 = 40 (đvdt) 2 √ √ 1 Cách SABC = BC.BA sin B = · 10.16 = 40 (đvdt) 2 ◦ 14 16 60◦ H B Ví dụ b = 75◦ , AB = 30 cm, BC = 35 cm Hãy tính cạnh Cho tam giác nhọn ABC có A góc cịn lại tam giác (làm trịn đến hàng đơn vị) Lời giải 10 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 214/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP L LỜI GIẢI CHUYÊN ĐỀ 14 HÌNH CẦU Bài tập 14.1 Bốn bóng bàn có đường kính cm xếp vào hộp hình bên Tính diện tích tồn phần thể tích hộp Lời giải Hộp gồm hình trụ hai nửa hình cầu Diện tích tồn phần hộp tổng diện tích xung quanh hình trụ diện tích mặt cầu nên 2π.2.12 + 4π.22 = 64π (cm2 ) Thể tích hộp tổng thể tích hình trụ thể tích hình cầu nên 176 π (cm3 ) π.22 12 + π.23 = 3 Bài tập 14.2 Một hình cầu có số đo thể tích (tính cm3 ) gấp bốn lần số đo diện tích mặt cầu (tính cm2 ) Tính bán kính hình cầu Lời giải Từ πR = 4.4πR2 ta R = 12 (cm) Bài tập 14.3 Cho hình cầu hình trụ Chiều cao bán kính đáy hình trụ bán kính hình cầu So sánh a) Diện tích tồn phần hai hình; b) Thể tích hai hình Lời giải Tham khảo hình vẽ bên R a) Gọi R bán kính hình cầu Diện tích tồn phần hình trụ diện tích mặt cầu 4πR2 b) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ R Bài tập 14.4 Bán kính Trái Đất 6370 km Diện tích lục địa băng chiếm 29,2% diện tích bề mặt Trái Đất Tính diện tích lục địa băng (làm trịn đến triệu km2 ) Lời giải Diện tích lục địa băng 149 triệu km2 214 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 215/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Bài tập 14.5 Trên Trái Đất, vĩ tuyến có độ dài nửa độ dài đường Xích đạo? Lời giải Xem hình bên Gọi R bán kính Trái Đất, r bán kính vĩ tuyến phải tìm r 2πr = nên = ; Theo đề 2πR R \ = 30◦ ; AOB [ = 60◦ suy BOH Vậy vĩ tuyến 60◦ (Bắc Nam) có độ dài nửa độ dài đường Xích đạo B r H R O A Bài tập 14.6 Cho hình cầu có bán kính R Một hình trụ hình nón có bán kính đáy R tích thể tích hình cầu Tính chiều cao hình trụ hình nón Lời giải Gọi h1 chiều cao hình trụ, h2 chiều cao hình nón 4 Từ πR2 h1 = πR3 ta h1 = R 3 Từ πR h2 = πR ta h2 = 4R 3 Bài tập 14.7 Cho hình cầu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số phần trăm a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương; b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương Lời giải Gọi R bán kính hình cầu cạnh hình lập phương 2R a) Tỉ số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương π 4πR2 = = 78,5% 4R 4 b) Tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình lập phương π πR : (2R)3 = ≈ 52% Bài tập 14.8 Cho hình lập phương có cạnh dm Một hình cầu ngoại tiếp hình lập phương (8 đỉnh hình lập phương thuộc mặt cầu) Tính bán kính hình cầu LATEX nhóm theme LATEX and related topics 215 216/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Lời giải Xem hình vẽ bên Đường chéo hình lập phương đường kính hình cầu Đường chéo hình lập phương A0 C √ √ √ 22 + 22 + 22 = 12 = √ Bán kính hình cầu dm D0 C0 A0 B0 O D C A B Bài tập 14.9 Cho tam giác ABC Gọi (O; R) đường tròn ngoại tiếp (O; r) đường tròn nội tiếp tam giác Khi quay ba hình vịng quanh OA tam giác ABC, đường trịn (O; R), đường trịn (O; r) tạo thành hình tích theo thứ tự V1 , V2 , V3 Tính V1 : V2 : V3 Lời giải Xem hình vẽ bên √ R HC = OC sin 60◦ = nên √ !2 3R R = πR3 , V1 = π 2 V2 = πR3 ,   R 3 V3 = π = πR Do 32 V1 : V2 : V3 = : : = : : = : 32 : 24 24 24 216 A R O r B R H LATEX nhóm theme LATEX and related topics C 217/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO L LỜI GIẢI CHUYÊN ĐỀ 15 ĐƯỜNG THẲNG SIMSON Bài tập 15.1 Cho đường tròn (O) ba dây cung tùy ý AB, AC, AD Các đường tròn đường kính AB, AC, AD cắt đơi M , N , E Chứng minh M , N , E thẳng hàng Lời giải Hướng dẫn: AB, AC, AD đường kính, E giao điểm đường trịn kính AB đường trịn đường kính AC [ = AEC [ = 90◦ ⇒ AEB ⇒ E, B, C thẳng hàng ⇒ AE ⊥ BC Tương tự, C, D, N thẳng hàng ⇒ B, D, M ⇒ thẳng hàng E, M , N thuộc đường thẳng Simson A ABCD B E A M C D N Bài tập 15.2 Nếu hai tam giác nội tiếp đường trịn (O) góc hai đường thẳng Simson điểm M (O) hai tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí M (O) LATEX nhóm theme LATEX and related topics 217 218/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Lời giải E M A K C0 I H O P A0 B D C F B0 Hướng dẫn: Xem lại ví dụ Bài tập 15.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi D điểm đối xứng A qua BC; E điếm đối xứng B qua AC; F điểm đối xứng C qua AB Giả sử H trực tâm tâm giác ABC Chứng minh D, E, F thẳng hàng OH = 2R Lời giải E A N L P L F H G O I C B K D M D, E, F điếm đối xứng A, B, C qua BC, CA, AB Gọi G trọng tâm 4ABC Qua A, B, C dựng đường thẳng song song với BC, CA, AB, 218 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 219/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO chúng cắt M , N , P Khi A, B, C trung điểm N P , P M , M N nên G, H trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp 4M N P Gọi I, K, L hình chiếu O P M , M N , N P , 4ABC đồng dạng 4M N P Ta có D, E, F thẳng hàng I, L, K thẳng hàng Điều xảy O thuộc đường tròn ngoại tiếp 4M N P ⇔ OH = 2R Bài tập 15.4 Cho đường tròn (O) đường thẳng d không cắt (O) Điểm M thay đổi d Từ M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với (O) Gọi H hình chiếu O d E, F hình chiếu H M A, M B Chứng minh AB qua điểm cố định từ suy EF qua điểm cố định Lời giải OA ⊥ M A, OB ⊥ M B, OH ⊥ M H ⇒ năm điểm O, A, M , H, B nằm đường trịn đường kính M O Giả sử AB cắt OH I, OM ⊥ AB J, JA = JB ⇒ OI.OH = OJ.OM = R2 ⇒ I cố định Kẻ HK ⊥ AB ⇒ E, F , K nằm đường thằng Simson H 4AM B Ta có 4IKD tam giác cân ⇒ D trung điểm IH ⇒ D cố định ⇒ EF qua điểm cố định A O J I B K D F E M H d Bài tập 15.5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P Q thuộc đường tròn (O) cho CP , CQ [ Chứng minh CQ vng góc với với đối xứng với qua phân giác góc BCA đường thẳng Simson P tam giác ABC Lời giải LATEX nhóm theme LATEX and related topics 219 220/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Kẻ P D ⊥ BC, P E ⊥ AC, P H ⊥ AB ⇒ E, D, H thẳng hàng [ CP , CQ đối xứng qua phân giác ACB ˜ ˜ ⇒ BCP \ = ACQ [ ⇒P B = AQ Giả sửa DE cắt CQ K \ = CP \ Tứ giác P DEC nội tiếp ⇒ CEK D ◦ \ + ACQ [ = 90 ⇒ DE ⊥ CQ ⇒ CEK A Q E K D B C H P Bài tập 15.6 d tia phân giác Oz, điểm M cố định Oz (M khác O) Dựng đường Cho góc nhọn xOy tròn (S) qua O M cắt Ox, Oy A B Gọi I trung điểm AB, dựng hình vng OCID Tìm quỹ tích điểm C đường tròn (S) thay đổi Lời giải Phần thuận: Kẻ M H ⊥ OA, M K ⊥ OB d nên M ¯ ¯ Vì Oz phân giác xOy A=M B ⇒ M I ⊥ AB ⇒ K, I, H thẳng hàng Gọi E giao điểm OM HK,có OM ⊥ HK Suy điểm O, C, E, I, D nằm đường tròn đường [ = 45◦ ⇒ C nằm đường kính OI, E cố định, CEO \ (hoặc OEK) \ phân giác góc OEH Phần giới hạn phần đảo dành cho bạn đọc x H A M C E I S O K B y D Bài tập 15.7 Cho tam giác ABC khơng đều, P hình chiếu A BC Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi la đường thẳng qua chân hai dường cao hạ từ P xuống DE, DF Tương tự cho lb , lc Chứng minh la , lb , lc đồng quy Lời giải 220 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 221/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Hướng dẫn: Cách giải Ví dụ 10 Chú ý thêm điểm D, E, F , P , Q, R nằm đường trịn Euler Khi la , lb , lc đường thẳng Simson tam giác DEF ứng với điểm P , Q, R A Q R lb lc E F P2 B D P P1 C la Bài tập 15.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), M điểm đường trịn Gọi a, b, c, d đường thẳng Simson M tam giác BCD, CDA, DAB ABC, gọi A1 , B1 , C1 , D1 hình chiếu M đường thẳng a, b, c, d Chứng minh A1 , B1 , C1 , D1 thẳng hàng Lời giải Hướng dẫn: Tham khảo Ví dụ 10 Ví dụ 14 d A b M D1 C1 B1 D B A1 C a c Bài tập 15.9 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M N dây cung chuyển động đường trịn có độ dài khơng đổi Chứng minh đường thẳng Simson M N tam giác ABC hợp với góc khơng đổi Lời giải LATEX nhóm theme LATEX and related topics 221 222/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Từ M kẻ M P ⊥ AB, M Q ⊥ BC từ N kẻ N K ⊥ AC, N H ⊥ BC, P Q HK cắt [ = 90◦ , M \ E, ta có EQC QP = ◦ \ ◦ ¯ A· 90 , M BA = 90 − sđM ˜ \ = 90◦ = sđAN Tương tự, EHB ¯ [ + EHB \ = 180◦ = (sđM ⇒ EQC A + ˜ ) = 180◦ − sđM ¯ sđAN N· ¯ \ = sđM ⇒ QEH N· E A M N P K B Q H C Bài tập 15.10 Cho tứ giác ABCD, AB cắt CD E, BC cắt AD F Chứng minh trực tâm tam giác ABF , CDF , ADE, BCE thẳng hàng Lời giải Gọi M giao điểm đường tròn ngoại tiếp 4BCE 4CDF Dễ dàng chứng minh tứ giác ADEM nội tiếp ⇒ đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua M Tương tự, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF qua M Gọi G, H, I, K hình chiếu M AB, CD, BC, AD ⇒ G, H, I, K thẳng hàng Gọi H1 , H2 , H3 , H4 trực tâm tam giác ADE, ABF , BCE, DCF Theo Ví dụ ta có trung điểm M H1 , M H2 , M H3 nằm đường thẳng Simson qua G, H, I, K ⇒ H1 , H2 , H3 , H4 thẳng hàng 222 F I B M H2 K H3 A G H4 E H C D H1 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 223/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO L LỜI GIẢI CHUYÊN ĐỀ 16 BẤT ĐẲNG THỨC ERDOSMORDELL VÀ MỘT VÀI ÁP DỤNG I BÀI TẬP Bài tập 16.1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi R1 , R2 , R3 theo thứ tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Chứng minh bất đẳng thức R1 + R2 + R3 ≥ 3R Đẳng thức xảy nào? Lời giải Gọi O1 ; O2 ; O3 theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Khi O2 O3 ; O3 O1 ; O1 O2 đường trung trực đoạn thẳng OA, OB, OC Giả sử M , N , P theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (O2 O3 ; OA), (O3 O1 ; OB), (O1 O2 ; OC) Sử dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell cho điểm O tam giác O1 O2 O3 ta có OO1 + OO2 + OO3 ≥ 2(OM + ON + OP ) (1) R Lưu ý OO1 = R1 ; OO2 = R2 ; OO3 = R3 OM = ON = OP = nên từ (1) suy R1 + R2 + R3 ≥ 3R Đẳng thức xảy tam giác O1 O2 O3 Lúc dễ thấy \ = COA [ = AOB [ = 120◦ Nghĩa tam giác ABC BOC Bài tập 16.2 Cho tam giác nhọn ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Chứng minh 9R · Đẳng thức xảy nào? ma + mb + mc ≤ Lời giải Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ta có AM ≤ OA + OM , hay ma ≤ R + OM (1) Tương tự, mb ≤ R + ON ; (2) mc ≤ R + OP (3) A P B N O M C Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta ma + mb + mc ≤ 3R + (OM + ON + OP ) (4) Sử dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell cho điểm O tam giác ABC ta có 3R OA + OB + OC = · (5) OM + ON + OP ≤ 2 9R Từ (4) (5) suy ma + mb + mc ≤ · Đẳng thức xảy tam giác ABC LATEX nhóm theme LATEX and related topics 223 224/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Bài tập 16.3 Chứng minh với tam giác ABC, ta có bất đẳng thức √ 1 r +r +r ≥ 2· A B C sin sin sin 2 Đẳng thức xảy nào? Lời giải Gọi I, r tâm, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Còn H, J, K tiếp điểm đường tròn (I) với cạnh BC, CA, AB Áp dụng thức ta √ thức √ Erdos-Mordell √dạng √ √ có √ √ √ bất đẳng √ √ √ √ IA + IB + IC ≥ 2( IH + IJ + IK)hay IA + IB + IC ≥ r r r r Để ý IA = ; IB = ; IC = ; nên từ (1) ta suy A B C sin sin sin 2 √ 1 r +r +r ≥ (đpcm)· A B C sin sin sin 2 Đẳng thức xảy tam giác ABC (1) Bài tập 16.4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường tròn (I; r) Các đường cao AA1 ; BB1 ; CC1 đồng quy H Chứng minh hệ thức sau: a) HA + HB + HC = 2(R + r); b) HA1 + HB1 + HC1 ≤ R + r; r c) cos A + cos B + cos C = + ; R d) R ≥ 2r Lời giải Xét Bổ đề sau Định lý 16.1 (Định lí Carnot) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) ngoại tiếp đường tròn (I; r) Gọi x, y, z khoảng cách từ O đến cạnh BC, CA, AB Khi ta có hệ thức x + y + z = R + r Chứng minh Kẻ OO1 vng góc với BC, OO2 vng góc với AC, OO3 vng A góc với AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, p nửa chu vi 4ABC O2 O3 O Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp OO3 AO2 ; OO3 BO1 ; OO1 CO2 a c b ta thấy OA.O2 O3 = OO2 O3 A + OO3 O2 A, hay R = y + z (1) 2 B C O1 Tương tự, ta có b c a R = x + z (2) 2 c a b R = y + x (3) 2 Cộng (1), (2) (2) theo vế, ta b + c a + c a + b p.R = x+ y+ z 2 224 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 225/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Dẫn đến ax + by + cz = p(x + y + z) − SABC p.R = p(x + y + z) − = p(x + y + z) − pr Chia hai vế cho p ta x + y + z = R + r Bổ đề chứng minh  Trở lại toán a) Từ HA = 2x; HB = 2y; HC = 2z Sử dụng bổ đề ta thấy HA + HB + HC = 2(R + r) b) Áp dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell cho điểm H tam giác ABC ta có HA + HB + HC HA1 + HB1 + HC1 ≤ Từ kết câu a) ta có HA1 + HB1 + HC1 ≤ R + r Đẳng thức xảy tam giác ABC A B1 O2 O3 C1 O H B A1 O1 C c) Áp dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell cho điểm O tam giác ABC ta có x+y+z R+r r cos A + cos B + cos C = = = + (theo định lí Carnot) (đpcm) R R R d) Áp dụng kết toán 3, ta thấy cos A + cos B + cos C ≤ Từ câu trên, ta có R ≥ 2r (đpcm) Đẳng thức xảy tam giác ABC LATEX nhóm theme LATEX and related topics 225 226/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP L LỜI GIẢI CHUYÊN ĐỀ 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP Bài tập 17.1 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vng góc Gọi a, b, c, d độ dài bốn cạnh liên tiếp tứ giác Tính diện tích tứ giác Lời giải Ta có S = AC.BD Theo định lí Ptơlêmê AC.BD = ac + bd Từ (1) (2) suy S = (ac + bd) (1) B (2) b a A C O d c D Bài tập 17.2 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O), M điểm thuộc cung nhỏ CD √ Chứng minh hệ thức M A + M C = M B Lời giải Gọi a cạnh hình vng ABCD Áp dụng định lí Ptơlêmê vào tứ giác nội tiếp ABCM , ta có AB.CM + AM.BC = AC.M B √ ⇒ a.M C + a.M A = a 2.M B √ ⇒ M A + M C = M B A B O D Bài tập 17.3 C M Cho tam giác nhọn ABC, đường trung tuyến AM , BN , CP Gọi R r theo thứ tự bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh hệ thức AM + BN + CP ≤ 4R + r Lời giải 226 LATEX nhóm theme LATEX and related topics 227/228 CHƯƠNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Ta có AM ≤ OA + OM = R + OM , BN ≤ R + ON ; CP ≤ R + OP Suy AM + BN + CP ≤ 3R + (OM + ON + OP ) (1) Theo Ví dụ 3, ta có OM + ON + OP = R + r (2) Từ (1) (2) suy AM + BN + CP ≤ 4R + r A N P O B M C Bài tập 17.4 Cho đường tròn (O), dây BC cố định khác đường kính Hãy xác định điểm A thuộc cung lớn BC cho tổng AB + AC có giá trị lớn Lời giải Gọi M điểm cung nhỏ BC Đặt BC = a, M B = M C = m Theo định lí Ptơlêmê, ta có AB.M C + AC.M B = M A.BC ⇒ AB.m + AC.m = M A.a a ⇒ AB + AC = M A m Do AB + AC lớn ⇔ M A lớn ⇔ M A đường kính (O) ⇔ A điểm cung lớn BC A O B C M Bài tập 17.5 Cho tam giác ABC có R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh R ≥ 2r Lời giải Dễ thấy A góc vng hay tù R > 2r Khi tam giác ABC có ba góc nhọn theo kết Ví dụ 3, có x + y + z = R + r Kết hợp bất đẳng thức Erdos áp dụng cho điểm O tam giác ABC có 2(x + y + z) ≤ 3R Từ có điều phải chứng minh Bài tập 17.6 Giả sử M điểm đường tròn nội tiếp lục giác A1 A2 A3 A4 A5 A6 Chứng minh a) M A1 + M A3 + M A5 = M A2 + M A4 + M A6 ; b) M A1 + M A3 + M A5 = M A2 + M A4 + M A6 Lời giải Áp dụng Ví dụ cho tam giác A1 A3 A5 A2 A4 A6 Bài tập 17.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cung nhỏ BC Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống BC, CA, AB Chứng minh hệ thức 1 a) = + ; MH MI MK LATEX nhóm theme LATEX and related topics 227 228/228 17 ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP b) M H + M I + M K = h2 , h đường cao tam giác ABC Lời giải Sử dụng Ví dụ với ý AB = BC = CA = a Bài tập 17.8 Chứng minh đẳng thức a) cos 36◦ cos 72◦ = ; b) cos 20◦ cos 40◦ cos 80◦ = Lời giải Áp dụng công thức cos α = sin 2α · sin α Bài tập 17.9 Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) mặt phẳng tọa độ cho công thức M N = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 để chứng minh bất đẳng thức Ptôlêmê

2 b21 + b22 ≥ a1 b1 + a2 b2 để chứng minh q q q
2
2 a1 + b1 + a2 + b2 Áp dụng bất đẳng Bất đẳng thức Mincopxki a21 + a22 + b21 + b22 ≥ Lời giải Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki a21 + a22
thức để chứng minh Bất đẳng thức Ptôlêmê cách đặt biến phụ thích hợp 228 LATEX nhóm theme LATEX and related topics