I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ H×ÌNG LAN PHP TNH SAI PH N V ÙNG DƯNG Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số : 60.46.40 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: TS NGUYN VN MINH ThĂi Nguyản - Nôm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn i Möc löc Möc löc ii Mð ¦u 1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· sai phƠn v phữỡng trẳnh sai phƠn 1.1 Sai phƠn v mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn 1.1.1 ành ngh¾a 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa sai phƠn 1.2 Ùng dưng cõa sai ph¥n 1.2.1 Tẳm quy luêt cõa mët d¢y sè 1.2.2 Tẵnh tờng hỳu hÔn 1.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh 1.3.1 ành ngh¾a 1.3.2 Nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh 3 5 10 10 11 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt v phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai 18 2.1 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt vợi hằ số hơng số 18 2.1.1 ành ngh¾a 18 2.1.2 Nghi»m 19 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.1.3 Mởt số phữỡng phĂp tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt khổng thuƯn nhĐt 2.2 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt vợi hằ số bián thiản 2.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai vợi hằ số hơng số 2.3.1 ành ngh¾a 2.3.2 Nghi»m 2.3.3 Mët số phữỡng phĂp tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai khổng thuƯn nhĐt 2.4 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai vợi hằ số bián thiản 19 26 30 30 31 33 42 Mët v i ùng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh giÊi to¡n phê thæng 45 3.1 B i to¡n x¡c ành sè hÔng tờng quĂt cừa dÂy số 3.1.1 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l biu thực tuyán tẵnh 3.1.2 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l hằ biu thực tuyán tẵnh 3.1.3 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi cõ dÔng phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng 3.2 Tuyán tẵnh hoĂ phữỡng trẳnh sai phƠn 3.3 ng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh vo mởt số bi toĂn mang tẵnh ch§t sè håc 3.4 ng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh vo giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm 45 46 48 50 56 61 65 Kát luên 69 Ti liằu tham khÊo 70 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M Ưu Phữỡng phĂp sai phƠn l phữỡng phĂp ữủc Ăp dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹc khoa hồc, k thuêt cụng nhữ thỹc tiạn Nởi dung cừa nõ l ữa cĂc bi toĂn cƯn xt và viằc giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn hoc hằ phữỡng trẳnh sai phƠn Bơng phữỡng phĂp sai phƠn cõ th giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng hoc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng Trong lắnh vỹc toĂn bêc THPT phữỡng trẳnh sai phƠn cụng cõ rĐt nhiÃu ựng dửng Vợi mửc ẵch tẳm hiu, nghiản cựu và lỵ thuyát phữỡng trẳnh sai phƠn tứ õ Ăp dửng vo vi»c gi£i to¡n bªc THPT, phưc vư cho cỉng t¡c giÊng dÔy tÔi trữớng phờ thổng, luên vôn ny têp trung trẳnh by và sai phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh v mởt số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh giÊi toĂn bêc phờ thổng Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, phƯn kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và sai ph¥n, mët sè ùng dưng cõa sai ph¥n v phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Chữỡng trẳnh by cĂc kián thực và phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp v phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp vợi hằ số hơng số v hằ số bián thiản Chữỡng à cêp tợi vĐn à tuyán tẵnh hõa phữỡng trẳnh sai phƠn v cĂc ựng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh giÊi toĂn bêc phờ thổng nhữ: bi toĂn xĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l biu thực tuyán tẵnh, l hằ biu thực tuyán tẵnh hay cổng thực truy hỗi cõ dÔng phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng, ựng dửng cừa phữỡng trẳnh sai ph¥n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn c¡c b i to¡n mang tẵnh chĐt số hồc, ựng dửng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn vo giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn trỹc tiáp cừa TS Nguyạn Vôn Minh NhƠn dp ny tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh và sỹ ch bÊo, hữợng dăn tên tƠm, nhiằt tẳnh cừa thƯy suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn TĂc giÊ xin chƠn th nh c£m ìn c¡c th¦y cỉ gi¡o Ban gi¡m hiằu, o tÔo Ôi hồc v sau Ôi hồc, khoa ToĂn - Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản cĂc thƯy cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy khõa hồc Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn cĂc thƯy cổ ỗng nghiằp tờ ToĂn trữớng THPT Phú Bẳnh, Ban giĂm hiằu trữớng THPT Phú Bẳnh,  quan tƠm tÔo iÃu kiằn thuên lủi tổi thỹc hiằn ká hoÔch hồc têp cừa mẳnh Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng viản cờ vụ tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Mc dũ rĐt nghiảm túc v cố gưng quĂ trẳnh lm luên vôn, nởi dung cừa luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát Vẳ vêy tĂc giÊ mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián, gõp þ cõa c¡c th¦y cỉ, c¡c anh chà v c¡c ỗng nghiằp luên vôn ữủc hon thiằn hỡn ThĂi Nguyản, thĂng 09 nôm 2010 Hồc viản Nguyạn Th Hữỡng Lan Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng Mët sè kh¡i niằm cỡ bÊn và sai phƠn v phữỡng trẳnh sai phƠn 1.1 Sai phƠn v mởt số tẵnh chĐt cỡ b£n 1.1.1 ành ngh¾a Cho h m sè y = f (x) x¡c ành tr¶n R, °t xk = x0 + kh (k ∈ N∗) vỵi x0 ∈ R; h ∈ R, bĐt ký, cho trữợc Gồi yk = f (xk ) l giĂ tr cừa hm số f (x) tÔi x = xk Khi â: Hi»u sè ∆yk = yk+1 − yk (k ∈ N∗) ÷đc gåi l sai phƠn cĐp mởt cừa hm số y = f (x) • Hi»u sè ∆2 yk = ∆yk+1 − ∆yk = ∆(∆yk ) (k ∈ N∗ ) ÷đc gåi l sai phƠn cĐp hai cừa hm số y = f (x) • Têng qu¡t, ∆i yk = ∆i−1yk+1 − ∆i−1yk = ∆(∆i−1yk ) (k ∈ N∗ ) ÷đc gåi l sai phƠn cĐp i cừa hm số y = f (x) (i = 1, 2, · · ·, n, · · ·) • Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Mët sè t½nh chĐt cỡ bÊn cừa sai phƠn Tẵnh chĐt 1.1 (Sai phƠn cừa hơng số) Sai phƠn mồi cĐp cừa hơng số Ãu bơng Tẵnh chĐt 1.2 (Biu diạn sai ph¥n theo gi¡ trà cõa h m sè) Sai ph¥n måi cĐp Ãu cõ th biu diạn theo cĂc giĂ tr cõa h m sè, tùc l i X ∆ yk = (1)sCisyk+is i s=0 (i N ) Tẵnh chĐt 1.3 (Tẵnh chĐt tuyán tẵnh cừa sai phƠn) Sai phƠn mồi cĐp l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh trản têp cĂc h m sè, tùc l ∀i ∈ N∗ ; ∀α, β ∈ R; ∀f (x), g(x) : R → R, ta luæn câ: ∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + ig(x) Tẵnh chĐt 1.4 (Sai phƠn cừa a thực) Sai phƠn cĐp i cừa mởt a thực bêc n i) L mët a thùc bªc n − i i < n ii) L h¬ng sè i = n iii) B¬ng i > n Do sai phƠn mồi cĐp l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh nản ta ch cƯn chựng minh tẵnh chĐt cho a thùc y = Pn(x) = xn i) Khi i < n ta cõ - Vợi i = thẳ: xn = (x + h)n − xn = Pn−1(x) l a thực bêc n ối vợi x Vêy khng ành óng vỵi i = - Gi£ sû kh¯ng ành óng vỵi i = k < n tùc l ∆k xn = Pn−k (x) l a thùc bªc n − k èi vỵi x Khi â Chùng minh ∆k+1xn = ∆(∆k xn ) = ∆k ((x + h)n ) − ∆k (xn) = Pn−k (x + h) − Pn−k (x) = Pn−k−1(x) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn l a thùc bêc n k ối vợi x Vêy kh¯ng ành óng vỵi i = k + Theo nguyản lỵ quy nÔp toĂn hồc, suy khng nh óng vỵi ∀i ∈ N∗ ii) Khi i = n thẳ theo trản, n(xn) l a thực bêc n n = ối vợi x, nản l hơng số iii) Khi i > n th¼ ∆i (xn) = ∆i−n(∆n(xn)) = inC = 0, (C = const) Tẵnh chĐt 1.5 Cổng thực sai phƠn tứng phƯn (fk gk ) = fk gk + gk+1fk Tẵnh chĐt 1.6 Tờng cĂc sai ph¥n n X k=1 1.2 ∆yk = yn+1 − y1 Ùng dưng cõa sai ph¥n Düa v o kh¡i ni»m v tẵnh chĐt cừa sai phƠn ta cõ th giÊi mët sè b i to¡n th÷íng g°p ð phê thỉng nh÷: - Tẳm quy luêt cừa mởt dÂy số - Tẵnh tờng hỳu hÔn 1.2.1 Tẳm quy luêt cừa mởt dÂy số Vẵ dử 1.1 Cho dÂy số 1; 3; 15; 43; 93; 171; 283; à à à HÂy tẳm mởt quy luêt cừa dÂy số õ v tẳm hai số hÔng ká tiáp theo quy luêt õ Bi giÊi Lêp bÊng mởt số sai phƠn ban Ưu S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn y ∆y ∆2 y ∆3 y 10 12 15 16 28 43 22 50 93 28 78 171 34 112 283 Ta thĐy sai phƠn cĐp khổng ời nản dÂy số l dÂy cĂc giĂ tr cừa a thực bêc ba y = an3 + bn2 + cn + d (a 6= 0), â n l sè thù tü cõa c¡c sè d¢y sè Cho n = 0; 1; 2; ( ¡nh sè thù tü cõa c¡c sè bưt Ưu tứ 0) ta ữủc hằ phữỡng trẳnh d=1 a + b + c + d = 8a + 4b + 2c + d = 15 27a + 9b + 3c + d = 43 ⇔ a=1 b = c = −1 d = Vêy dÂy số tuƠn theo quy luªt yn = n3 + 2n2 − n + Hai số hÔng tiáp theo cừa dÂy ựng vợi n = 7; n = l y7 = 435; y8 = 633 Chú ỵ - Quy luêt tẳm ữủc trản khổng l nhĐt, vẳ ró rng cĂc số  cho cụng thoÊ mÂn, chng hÔn quy luêt yn = n3 + 2n2 − n + + P (n), â P (n) l a thùc b§t ký nhên n lm nghiằm Do vêy trản Ơy ta mợi ch tẳm ữủc mởt quy luêt m dÂy cĂc số  cho thoÊ mÂn m khổng tẳm ữủc tĐt cÊ cĂc quy luêt m dÂy cĂc số ¢ cho tho£ m¢n - Ta câ ∆2(ax2 + bx + c) = const 2y = const thẳ chữa thº suy y = ax2 + bx + c 1.2.2 Tẵnh tờng hỳu hÔn Vẵ dử 1.2 Tẵnh tờng S= 1 + +···+ · 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn B i gi£i Ta câ Vªy " # 1 1 = − k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) 1 + =− 3(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3k(k + 1)(k + 2) · = ∆yk yk = − 3k(k + 1)(k + 2) i 1h1 S= − · (n + 1)(n + 2)(n + 3) V½ dư 1.3 T½nh c¡c têng sau 1) An = sin x + sin 2x + · · · + sin nx 2) Bn = cos x + cos 2x + · · · + cos nx B i gi£i 1) Ta câ N¸u N¸u 1 ∆ cos(k − )x = cos(k + )x − cos(k − )x 2 x = −2 sin kx sin x x = k2π, k ∈ Z (sin = 0) th¼ An = ∆ cos(k − )x x x 6= k2π, k ∈ Z (sin 6= 0) th¼ sin kx = − x 2 sin Do â n ∆ cos(k − )x 1 X ∆ cos(k − = − )x − sin kx = An = x x 2 sin sin k=1 k=1 k=1 2 n n+1 h i x sin x sin x 2 =− x cos(n + )x − cos = x sin sin 2 n X n X Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 tuyán tẵnh giÊi bi toĂn nảu trản cổng thực truy hỗi l mởt biu thực tuyán tẵnh vợi hằ số hơng số hoc hằ số bián thiản Trong mửc ny ta tiáp tửc à cêp án dÔng toĂn nảu trản v cổng thực truy hỗi l mởt hằ biu thực tuyán tẵnh, cổng thực truy hỗi cõ dÔng phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng 3.1.1 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l biu thực tuyán tẵnh Vẵ dử 3.1 Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa d¢y sè (un) tho£ m¢n u0 = α un+1 = qun + p (p, q ∈ R) (3.2) B i giÊi - Náu q = thẳ (un) l cĐp số cởng vợi cổng sai p nản un = + np - Náu p = thẳ (un) l cĐp số nhƠn vợi cổng q nản un = αqn - Ta x²t q 6= 1; p 6= 0, t un = + b (vợi b ữủc xĂc nh sau), õ phữỡng trẳnh (3.2) ữủc viát nhữ sau: vn+1 + b = q(vn + b) + p Chån b = −p q ta ÷đc vn+1 = qvn ⇔ = v0qn p n Vªy un = α − − q q + p q DÂy số xĂc nh vẵ dử (3.2) ữủc gồi l "dÂy số nhƠn - cởng" CĐp số cởng l trữớng hủp riảng cừa "dÂy số nhƠn - cởng" q = 1, cỏn cĐp số nhƠn l trữớng hủp riảng cừa "dÂy số nhƠn - cởng" p = Vẵ dử 3.2 Tẳm tĐt cÊ c¡c d¢y sè (un) tho£ m¢n un+1 = 7n − 11un v (un) l mởt dÂy số tông Bi giÊi Xt phữỡng trẳnh sai phƠn (3.3) un+1 = 7n 11un Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 GiÊi phữỡng trẳnh (3.3) ta ữủc nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh ny l un = C(−11)n + · 7n 18 V¼ (un) l dÂy số tông nản un+1 > un Do õ C(−11)n+1 + Suy 1 · 7n+1 > C(−11)n + · 7n 18 18 ∀n ∈ N n · ∀n ∈ N 11 n - Vợi C > thẳ (3.4) tữỡng ữỡng < 36C vỵi ∀n ∈ N 11 n tẳm ữủc C thoÊ mÂn iÃu ny vẳ n chđn thẳ + 11 n - Vợi C < thẳ (3.4) tữỡng ữỡng > 36C vỵi ∀n ∈ N 11 n tẳm ữủc C thoÊ mÂn iÃu ny vẳ n l thẳ - Vợi C = thẳ un = 181 à 7n l dÂy số tông Vêy dÂy số cƯn tẳm cõ un ữủc xĂc ành l un = 181 · 7n 12C(−11)n < (3.4) Ta khỉng Ta khỉng V½ dư 3.3 (Mathematical Olympyad in China, 2004) Cho dÂy số (un) ữủc xĂc nh nhữ sau u0 = (3 − un)(6 + un−1) = 18 n N HÂy tẵnh n P i=0 ui (3.5) B i gi£i °t = u1n (n = 0, 1, 2, · · · ), õ phữỡng trẳnh (3.5) cõ dÔng (3 1 )(6 + ) = 18 ⇔ 3vn − 6vn−1 − = vn−1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 GiÊi phữỡng trẳnh ny (vợi iÃu kiằn ban Ưu n+1 (2 − 1) Khi â ta câ v0 = ) ta tẳm ữủc = n n n X X X 1 i+1 = (2 − 1) = (2n+2 − n − 3) vi = u 3 i=0 i i=0 i=0 3.1.2 X¡c nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l hằ biu thực tuyán tẵnh Bi toĂn 3.1 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa cĂc d¢y sè (un); (vn) tho£ m¢n u = a; v1 = b un+1 = pun + qvn (3.6a) vn+1 = run + svn (3.6b) (3.6) â a, b, p, q, r, s l c¡c h¬ng sè thuëc R B i gi£i Tứ phữỡng trẳnh (3.6a) (3.6) thay n bi n + v bi¸n êi ta câ un+2 = pun+1 + qvn+1 = pun+1 + q(run + svn ) = pun+1 + qrun + s(un+1 − pun) Suy un+2 − (p + s)un+1 + (ps − qr)un = Tø (3.6) ta công câ u2 = pa + qb Khi õ ta thu ữủc phữỡng trẳnh u1 = a; u2 = pa + qb un+2 − (p + s)un+1 + (ps qr)un = GiÊi phữỡng trẳnh ny ta tẳm ữủc un, thay un vứa tẳm ữủc vo phữỡng trẳnh (3.6a) cừa (3.6) ta tẳm ữủc Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Vẵ dử 3.4 Tẳm un, thọa m¢n 49 u1 = −1; v1 = un+1 = 2un − 8vn (3.7a) vn+1 = 2un − 6vn (3.7b) (3.7) B i gi£i Trong phữỡng trẳnh (3.7a) thay n bi n + ta ữủc phữỡng trẳnh v ta cụng cõ u1 = 1, u2 = 18 GiÊi phữỡng trẳnh ny ta ÷đc un = − 5n + 112 (−2)n Thay un vứa tẳm ữủc vo phữỡng trẳnh (3.7a) ta ữủc = − 25 n + 32 (−2)n Vªy ta tẳm ữủc un, thọa mÂn hằ  cho l un+2 + 4un+1 + 4un = 0, u = − 5n + 11 (−2)n n 3 = − n + (−2)n 2 Ta câ thº têng qu¡t b i to¡n 3.1 nh÷ sau B i to¡n 3.2 Tẳm un, thọa mÂn u = a; v1 = b un+1 = pun + qvn + ϕ(n) vn+1 = run + svn + ψ(n) (3.8) â a, b, p, q, r, s l c¡c h¬ng sè thuëc R, ϕ(n), (n) l cĂc hm số sỡ cĐp cho trữợc Vẵ dử 3.5 Tẳm un, thoÊ mÂn u = 1; v1 = un+1 = 4un − 2vn + 9n − vn+1 = un + + 3n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.9) 50 B i gi£i p dưng c¡ch l m nh÷ cĂc bi toĂn nảu trản ta tẳm ữủc un ; tho£ m¢n (3.9) l un = −2n + 2.3n − 3n = −2n + 3n 3.1.3 XĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi cõ dÔng phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng Bi toĂn 3.3 Tẳm dÂy số (xn) tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau x =a xn+1 = pxn + q rxn + s ∀n ∈ N, (3.10) â a, p, q, r, s l c¡c h¬ng sè thuëc R B i gi£i Gi£ sû un, l mởt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn u = a; v0 = un+1 = pun + qvn vn+1 = run + svn , (3.11) th¼ xn = uv n thoÊ mÂn (3.10) Thêt vêy ta chựng minh bơng quy nÔp nhữ sau: n x0 = u0 = a, v0 ( óng) Gi£ sû xn = uv n l nghi»m cõa (3.10) Khi â n xn+1 = un+1 vn+1 un +q pxn + q pun + qvn = = = un run + svn rxn + s r +s p cơng l nghi»m cõa (3.10) Vªy kh¯ng nh trản úng vợi mồi n N Nhữ vêy phữỡng trẳnh sai phƠn dÔng phƠn tuyán tẵnh (3.10) s ữủc giÊi bơng cĂch lêp v giÊi hằ phữỡng trẳnh (3.11) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Vẵ dử 3.6 Tẳm dÂy sè (xn) tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau x = −1 2xn − xn+1 = , 3xn − ∀n ≥ (3.12) B i gi£i X²t h» phữỡng trẳnh GiÊi hằ ny ta ữủc u0 = −1; v0 = un+1 = 2un − 3vn vn+1 = 3un − 4vn un = (−1)n(6n − 1); = (−1)n(6n + 1) Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l xn = un 6n − = 6n + Vẵ dử 3.7 Cho dÂy số (xn) thoÊ mÂn cĂc i·u ki»n sau x =2 xn+1 = 2xn + xn + n N Tẳm phƯn nguyản cõa A2010 = x1 + x2 + · · · + x2010 Bi giÊi Trữợc hát ta i tẳm xn thoÊ mÂn (3.13) Xt hằ phữỡng trẳnh u0 = 2; v0 = Gi£i h» n y ta ÷đc un+1 = 2un + vn+1 = un + 2vn 1 un = (3n+1 + 1); = − (1 − 3n+1) 2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.13) 52 Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.13) l xn = Ta câ 3n+1 + un = n+1 = + n+1 −1 −1 2010 X A2010 = 1+ i=1 Suy X = 2010 + i+1 i+1 −1 − i=1 2010 2010 X < 2011 2010 < A2010 < 2010 + i i=1 Vêy [A] = 2010 Trản Ơy ta vứa xt bi toĂn xĂc nh số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số cổng thực truy hỗi l biu thực cõ dÔng phƠn tuyán tẵnh, nhiản trản thỹc tá nhiÃu bi têp dnh cho hồc sinh giọi chữỡng trẳnh toĂn bêc phờ thổng ta cỏn g°p c¡c b i to¡n m â cæng thùc truy hỗi dÔng phi tuyán Sau Ơy l mởt số bi toĂn dÔng õ v cĂch giÊi Bi toĂn 3.4 Tẳm xn thoÊ mÂn x1 = a; xn+1 x2n + d = , 2xn (3.14) n ∈ N∗ B i gi£i n−1 Khi d = ta câ xn+1 = xn v xn = a Ta x²t tr÷íng hđp d > Gi£ sû un, l mởt nghiằm cừa sai phƠn hằ phữỡng tr¼nh u = a; v1 = un+1 = u2n + dvn2 vn+1 = 2unvn (3.15) th¼ xn = uv n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.14) Thêt vêy, ta chựng minh bơng n quy nÔp nhữ sau: u1 x1 = = a ( óng) v Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Gi£ sû xn = uv n l nghi»m cõa (3.14) Khi â n xn+1 = un+1 vn+1 u2n +d x2n + d u2n + dvn2 vn2 = = un = 2x 2unvn n cơng l nghi»m cõa (3.14) Vªy giÊi phữỡng trẳnh (3.14) ta cƯn giÊi hằ (3.15) Ta câ u = a, v1 = un+1 = u2n + dvn2 (3.16a) √ √ dvn+1 = dun (3.16b) (3.16) Cởng vá vợi vá cừa phữỡng trẳnh (3.16a) v phữỡng trẳnh (3.16b) hằ (3.16), ta thu ÷đc un+1 + Do â un+1 + √ √ dvn+1 = (un + dvn+1 = (u1 + √ dvn )2 √ n √ n dv1 )2 = (a + d)2 Tữỡng tỹ trứ vá vợi vá cừa phữỡng trẳnh (3.16a) v phữỡng trẳnh (3.16b) hằ (3.16), ta cụng thu ÷đc Khi â ta câ un+1 − √ dvn+1 = (u1 − √ √ n n dv1)2 = (a − d)2 √ 2n √ 2n 1 u (a + = d) + (a − d) n+1 √ n √ n vn+1 = √ (a + d)2 − (a − d)2 d Do xn = uv n , n¶n tø (3.17) ta câ n √ √ n−1 √ n−1 d (a + d)2 + (a − d)2 xn = √ n−1 √ n−1 − (a − d)2 (a + d) Thû lÔi bơng quy nÔp ta thĐy kát quÊ tẳm ữủc tho£ m¢n (3.14) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.17) 54 X²t tr÷íng hñp d < °t d = −q, (q > 0) Gi£ sû un, l mët nghi»m cõa h» phữỡng trẳnh sai phƠn u = a; v1 = (3.18) un+1 = u2n − qvn2 vn+1 = 2unvn th¼ xn = uv n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.14) Tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ th n chựng minh iÃu ny bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc Vêy giÊi phữỡng trẳnh (3.14) ta i giÊi hằ (3.18) Ta câ u = a, v1 = un+1 = u2n − qvn2 i√qvn+1 = 2i√qun (3.19) èi vỵi h» (3.19) Ăp dửng cĂch lm tữỡng tỹ nhữ vợi hằ (3.16) ta thu ÷đc un+1 = (a + i√q)2n + (a − i√q)2 n √ n √ n vn+1 = √ (a + i q)2 − (a − i q)2 2i q Do xn = uv n , n¶n tø h» tr¶n ta câ n √ √ n−1 √ n−1 i q (a + i q)2 + (a − i q)2 xn = √ √ (a + i q)2n−1 − (a i q)2n1 Thỷ lÔi bơng quy nÔp ta thĐy kát quÊ tẳm ữủc thoÊ mÂn (3.14) Bi toĂn 3.5 Tẳm xn thoÊ mÂn x1 = a; xn+1 = 2xn , + dx2n n ∈ N∗ B i gi£i Khi d = ta câ xn+1 = 2xn v xn = 2n−1a Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.20) 55 Ta x²t tr÷íng hđp d > Gi£ sû un, l mởt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn u = 1; v1 = a un+1 = u2n + dvn2 vn+1 = 2unvn (3.21) th¼ xn = uv n l nghi»m cõa phữỡng trẳnh (3.20) (tữỡng tỹ bi toĂn (3.4) ta n cõ th chựng minh iÃu ny bơng phữỡng phĂp quy nÔp) Vêy giÊi phữỡng trẳnh (3.20) ta cƯn giÊi h» (3.21) Ta câ u = 1, v1 = a un+1 = u2n + dvn2 √ √ dvn+1 = dun (3.22) èi vỵi h» (3.22) ¡p dưng c¡ch l m t÷ìng tü nh÷ h» (3.16) ta thu ÷đc √ n √ n un+1 = (1 + a d)2 + (1 − a d)2 √ n √ n √ vn+1 = d (1 + a d)2 − (1 − a d)2 Do xn = uv n , n¶n tø tr¶n ta câ n √ n−1 √ n−1 + (1 − a d)2 (1 + a d)2 xn = √ √ n−1 √ n−1 d (1 + a d) − (1 − a d)2 Thû lÔi bơng quy nÔp ta thĐy kát quÊ nhên ữủc thoÊ mÂn (3.20) Xt trữớng hủp d < t d = −q, (q > 0) Gi£ sû un, l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn u = 1; v1 = a un+1 = u2n − qvn2 vn+1 = 2unvn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 th¼ xn = uv n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.20) p dửng cĂch lm tữỡng tỹ n nhữ bi toĂn (3.4) (vợi trữớng hủp d k, â l mởt a thực Ôi số bêc m, l phƠn thực, hoc l biu thực siảu viằt hoc cõ dÔng khổng tuyán tẵnh ối vợi cĂc bián un1, un−2, · · ·, un−k Ð ¥y chóng ta à cêp tợi hai vĐn à nhữ sau: - Nhỳng lợp hm số no cõ th tỹ tuyán tẵnh hoĂ ữủc? Nghắa l tỗn tÔi cĂc giĂ tr x1, x2, · · ·, xk º un = x1un−1 + x2un−2 + · · · + xk un−k (3.23) - Náu hm tỹ tuyán tẵnh hoĂ ữủc thẳ cĂch tẳm biu thực tuyán tẵnh nõ ữủc mổ tÊ nhữ thá no? Trữợc tiản ta khÊo sĂt vĐn à thự hai º t¼m x1, x2, · · ·, xk , ta x¡c ành uk+1, uk+2, · · · , u2k, tø cỉng thùc l°p ¢ cho ta câ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 uk+1 = ϕ(αk ; αk−1; · · · ; α2 ; α1) = αk+1 u k+2 = ϕ(αk+1 ; αk ; · · · ; α3 ; α2 ) = αk+2 ··· ··· ··· u2k = ϕ(α2k−1; α2k−2; · · · ; αk+1; αk ) = α2k Thay c¡c gi¡ trà u1, u2, · · ·, uk v c¡c gi¡ trà uk+1, uk+2, · à Ã, u2k vứa tẳm ữủc vo (3.23), ta ữủc hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh gỗm k phữỡng trẳnh vợi k ©n x1, x2, · · ·, xk uk+1 = x1αk + x2αk−1 + · · · + xk α1 u k+2 = x1 αk+1 + x2 αk + · · · + xk α2 ··· ··· ··· u2k = x1α2k−1 + x2α2k−2 + · · · + xk k GiÊi hằ phữỡng trẳnh ny ta thu ÷đc x1, x2, · · ·, xk , sau õ thay vo (3.23) ta ữủc biu diạn tuyán tẵnh cƯn tẳm un = (un1, un2, à à Ã, unk ) = x1un−1 + x2un−2 + · · · + xk un−k Ci cịng kiºm nghi»m cỉng thùc vøa tẳm ữủc bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc Chú ỵ rơng, náu hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh trản vổ nghiằm thẳ hm khổng th tuyán tẵnh hoĂ ữủc B i to¡n 3.6 Cho d¢y sè (un) tho£ m¢n i·u ki»n u2n−1 + , ∀n ≥ u1 = u2 = 1; un = un2 HÂy nảu cĂch tuyán tẵnh hoĂ Chựng minh rơng un Z, n N∗ B i gi£i Gi£ sû un câ biºu di¹n tuyán tẵnh l un = a1 un1 + a2 un2 + b Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.24) 58 Ta câ u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 Thay u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 v o biºu diạn tuyán tẵnh trản, ta thu ữủc hằ phữỡng trẳnh a u + a2 u1 + b = u3 a1 u3 + a2 u2 + b = u4 a1 u4 + a2 u3 + b = u5 ⇔ a + a2 + b = 3a1 + a2 + b = 11 11a1 + 3a2 + b = 41 ⇔ a =4 a2 = −1 b = Vªy ta câ un = 4un−1 − un−2 B¥y gií ta s³ chùng minh bơng quy nÔp rơng dÂy số (un) thoÊ mÂn (3.24) cõ biu diạn tuyán tẵnh l u1 = u2 = 1; un = 4un−1 − un−2, ∀n ≥ (3.25) Thªt vªy, ta câ u3 = = 4.1 − = 4.u2 − u1, suy (3.25) óng vỵi n = Gi£ sû (3.25) óng vỵi n = k tùc l ta câ uk = 4uk−1 − uk−2 (k ≥ 3) Ta ph£i chùng minh (3.25) óng vỵi n = k + Ta câ uk+1 = = = = = u2k + (4uk−1 − uk−2)2 + = uk−1 uk−1 16uk−1 − 8uk−1uk−2 + u2k−2 + uk−1 15uk−1 − 4uk−1uk−2 + u2k−1 − 4uk−1uk−2 + uk−1uk−3 uk−1 15uk−1 − 4uk−1uk−2 + uk−1(uk−1 − 4uk−2 + uk−3) uk−1 15u2k−1 − 4uk−1uk−2 uk−1 = 15uk−1 − 4uk−2 = 4(4uk−1 − uk−2) − uk−1 = 4uk uk1 Vêy (3.25) úng tợi n = k + Theo nguyản lỵ quy nÔp ta cõ iÃu ph£i chùng minh Rã r ng tø (3.25) ta câ un ∈ Z, ∀n ∈ N∗ B i to¡n 3.7 Tuy¸n tẵnh hoĂ dÂy số (un) thoÊ mÂn iÃu kiằn u1 = α; un+1 = aun + p bu2n + c vỵi a2 − b = 1; α > 0; a > Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 B i gi£i un+1 = aun + p bu2n + c ⇔ un+1 − aun = ⇒ (un+1 − aun )2 = bu2n + c p bu2n + c ⇒ u2n+1 + (a2 − b)u2n = 2aun un+1 + c ⇒ u2n+1 + u2n = 2aun+1un + c ⇒ u2n + u2n−1 = 2aun un−1 + c Trø tøng v¸ hai ¯ng thùc cuèi ta câ u2n+1 − u2n−1 = 2aun (un+1 − un−1) M°t kh¡c un+1 − un−1 > n¶n ta câ un+1 − 2aun + un−1 = Khi â b i toĂn  ữủc tuyán tẵnh hoĂ Tr lÔi vĐn à thự nhĐt, sau Ơy ta s nảu lản mởt vi lợp hm cõ th tỹ tuyán tẵnh hoĂ ữủc Bi toĂn 3.8 Tuyán tẵnh hoĂ dÂy số (un) thoÊ mÂn i·u ki»n u1 = α; un+1 = B i gi£i Ta câ un+1 = u pn a + u2n + b vỵi a2 − b = 1; α > 0; a > u a pn = + ⇔ un+1 un a + u2n + b s 1+ b u2n °t = u1 Khi â ta vi¸t phữỡng trẳnh trản dữợi dÔng n v1 = p ; vn+1 = avn + bvn2 + α vỵi a2 − b = 1; α > 0; a > Ơy chẵnh l phữỡng trẳnh sai phƠn m ta  tuyán tẵnh hoĂ bi toĂn (3.7) Bi toĂn 3.9 Tuyán tẵnh hoĂ dÂy số (un) thoÊ mÂn iÃu ki»n u1 = α; u2 = β; un+1 = u2n + a un−1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun vỵi α, β, a ∈ R http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 B i gi£i.Ta câ un+1 u2n + a = ⇔ un+1un−1 = u2n + a un−1 ⇒ un un2 = u2n1 + a Trứ vá vợi vá cừa hai ng thực trản ta ữủc un+1un1 un un2 = u2n − u2n−1 hay un+1un−1 + u2n−1 = u2n + unun−2 ⇔ Tø â ta câ un−1 un = un+1 + un−1 un + un−2 un−1 u2 αβ un = =···= = = k un+1 + un−1 un + un−2 u3 + u1 α + β2 + a Do â ta câ un = k(un+1 + un−1), hay l u1 = α; u2 = β kun+1 un + kun1 = Vêy bi toĂn  ữủc tuyán tẵnh hoĂ xong Bi toĂn 3.10 Tẳm un, bi¸t u1 = α; u2 = β(α, β ∈ R) v u2n + 2bun − bun−1 + c un+1 = , n ≥ b + un−1 B i gi£i.Ta th§y un+1 (un + b)2 + c u2n + 2bun − bun−1 + c ⇔ un+1 + b = = b + un−1 un−1 + b °t un + b = vn, õ cõ th viát lÔi phữỡng trẳnh trản dữợi dÔng vn+1 = vn2 + c vn1 Ơy chẵnh l phữỡng trẳnh sai phƠn m ta  tuyán tẵnh hoĂ bi toĂn (3.9) S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn