Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Nghệ An năm học 2018 – 2019 Câu a So sánh 27 với 74 x b Chứng minh đẳng thức x 1 ( x 0, x 4) : x 2 c Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y 3x m qua điểm A(1; 2) Câu Cho phương trình x x m 0 m tham số a Giải phương trình m b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 Câu Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 100 học sinh khối tham gia phong trào xây dựng ‘Tủ sách nhân ái’ Sau thời gian phát động, tổng số sách hai khối quyên góp 540 Biết học sinh khối quyên góp nhiều học sinh khối Hỏi khối quyên góp sách ? (Mỗi học sinh khối quyên góp số lượng sách nhau) Câu Cho đường trịn (O) có đáy BC cố định khơng qua tâm O Điểm A di động đường tròn (O) cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H (điểm E thuộc AC , F thuộc AB ) Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC , đường thẳng KA cắt (O) điểm M Chứng minh : a BCEF tứ giác nội tiếp b KM KA KE.KF c Đường thẳng MH qua điểm cố định A thay đổi Câu Giải hệ phương trình x (2 x y 1) y 2 y x x 2(1 y ) Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Nghệ An Năm học 2018 – 2019 Giáo viên: Trịnh Văn Thạch Câu 1a So sánh 27 với 74 Lời giải: Ta có 27 2 3 5 25.3 75 Vậy 27 74 x Câu 1b Chứng minh đẳng thức x 1 ( x 0, x 4) : x 2 Lời giải: Với điều kiện x 0, x 4 Xét vế trái đẳng thức: VT x x x 2 x 2 x 4 x 1 VP x 4 x 4 x 2 Như đẳng chứng minh thức Câu 1c Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y 3 x m qua điểm A(1; 2) Lời giải: Theo đề ra, đồ thị hàm số qua điểm A(1; 2) nên ta có: 3.1 m m Vậy m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 2a Cho phương trình x x m 0 m tham số Giải phương trình m Lời giải: x 1 x x 0 x Thay m vào phương trình ta có: m phương trình có hai nghiệm x 1; x Câu 2b Cho phương trình x x m 0 m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 Lời giải: ' Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 (m 1) m m x1 x2 x x m Theo đinh lý Viet: Từ đề ta có x1 2 x2 thay vào x1 x2 Suy x1 17 , x2 m m x x m 3 Thay vào điều kiện ta có : 17 17 m m thỏa mãn điều kiện m nên giá trị cần tìm Ta thấy Câu Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 100 học sinh khối tham gia phong trào xây dựng ‘Tủ sách nhân ái’ Sau thời gian phát động, tổng số sách hai khối quyên góp 540 Biết học sinh khối quyên góp nhiều học sinh khối Hỏi khối quyên góp sách ? (Mỗi học sinh khối quyên góp số lượng sách nhau) Lời giải: Gọi x (quyển) số sách học sinh khối quyên góp, x Gọi y (quyển) số sách học sinh khối quyên góp, y Số sách mà tồn học sinh khối quyên góp 120x (quyển) Số sách mà toàn học sinh khối quyên góp 100 y (quyển) Theo đề ta có phương trình 120 x 100 y 540 Vì học sinh khối qun góp nhiều học sinh khối sách nên ta lại có y x 1 120 x 100 y 540 Kết hợp hai phương trình trên, ta có hệ : y x 1 x 2 y 3 Hai nghiệm x 2, y 3 thỏa mãn tất điều kiện x; y Vậy : Số sách mà toàn học sinh khối quyên góp 120.2 240 (quyển) Số sách mà toàn học sinh khối quyên góp 100.3 300 (quyển) Câu Cho đường trịn (O) có đáy BC cố định khơng qua tâm O Điểm A di động đường trịn (O) cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H (điểm E thuộc AC , F thuộc AB ) Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC , đường thẳng KA cắt (O) điểm M Chứng minh : a BCEF tứ giác nội tiếp b KM KA KE.KF c Đường thẳng MH qua điểm cố định A thay đổi Lời giải: A M E F H O K B N C D a Tứ giác BCEF có CEB BFC 90 , hai góc nhìn cạnh BC nên tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp b Xét hai tam giác KBM KAC có : - Góc MKB chung - Góc BMK ACB tứ giác AMBC nội tiếp Suy KBM KAC ( g g ) Chứng minh tương tự KB KM KB.KC KM KA KA KC KBF KEC ( g g ) KB KF KB.KC KE.KF KE KC Từ hai đẳng thức suy ra: KM KA KE.KF Nhận xét Bài toán chủ yếu sử dụng tính chất quen thuộc tứ giác nội tiếp Nếu ABCD tứ giác nội tiếp AB cắt CD E EA.EB EC.ED Điều ngược lại đúng, chứng minh dễ cách xét đến tam giác đồng dạng, việc chúng minh xin dành cho bạn Ta sử dụng điều ngược lại q trình giải câu 4c c Kéo dài AO cắt đường tròn D , nối DM ta dễ thấy DM MA (1) Từ câu b, KM KA KE.KF ta suy tứ giác AMFE nội tiếp Tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp nên điểm A; M ; F ; H ; E thuộc đường trịn đường kính AH Suy HM MA (2) Từ (1), (2) D; M ; H thẳng hàng Mặt khác ta dễ dàng chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành nên HD qua trung điểm N BC Vậy A di chuyển, đường thẳng MH qua trung điểm BC Câu Giải hệ phương trình x (2 x y 1) y 2 y x x 2(1 y ) Lời giải: Điều kiện xác định : x x 0 ( x 1)(1 x) 0 x x y x(2 x y 1) y x x xy y 0 ( x y )(2 x 1) 0 x Từ phương trình 2 Trường hợp 1: x y thay vào phương trình thứ hai ta x x x 2 x x x 2 x x x x x x x 0 x x x 0 x x 1 x 0 y 0 x Trường hợp 2: x thay vào phương trình thứ hai ta y 0 y 2 y y y 0 y 1 2 1 ( x; y ) (0;0), ;0 , ; 2 Đối chiếu với điều kiện xác định, hệ PT có ba nghiệm