Dai so (ly thuyet)

TÀI LIỆU LUYỆN THI CẤP TỐC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐẠI SỐ Tài liệu soạn dựa theo chương trình SGK, bám sát cấu trúc đề thi dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập BIÊN SOẠN: PHẠM HÙNG HẢI NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ: Chủ đề 1: Tập xác định Chủ đề 2: Rút gọn biểu thức Chủ đề 3: Phương trình Chủ đề 4: Ứng dụng hệ thức VI-ET Chủ đề 5: Hệ phương trình Chủ đề 6: Hàm số - Đồ thị - Sự tương giao Chủ đề 7: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Chủ đề 8: Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Chủ đề 9: Bài toán ứng dụng thực tiễn - Bài toán lãi suất CHỦ ĐỀ 1: TẬP XÁC ĐỊNH "Tập xác định mẫu - căn" CÁCH TÌM TẬP XÁC ĐỊNH Dạng 1: A = f  x g  x có TXĐ: D = {x| g(x)  0}} Dạng 2: A = f  x  có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0}} Chú ý: Nếu A = n f  x  Khi n số lẻ,với x thỏa mãn Khi n số chẵn f(x) ≥ 0} f  x Dạng 3: A = có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}}, (với f(x) có D = R) g x Dạng 4: A = f(x) có TXĐ: D = R (với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0}) Bài tập Bài tập 1: Tìm tập xác định biểu thức sau: y = 3x2 + 2x + Giải Điều kiện xác định D = R 1- x Bài tập 2: Tìm tập xác định biểu thức: y = x+2 Giải Điều kiện xác định: D =  x | x + 0} =  x | x -2 Bài tập 3: Tìm tập xác định biểu thức: y  x  Giải Điều kiện xác định: x  0}  x 3 Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định biểu thức: y  x Giải Điều kiện xác định: x - ≥ 0}  x ≥  a  a + ab  Bài tập 5: Tìm tập xác định biểu thức: T =  a  b  b  Giải b 0}  a < 0}, b < 0}   Điều kiện xác định:  ab > 0}  a > 0}, b > 0} CHỦ ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC PHƯƠNG PHÁP Dạng khai triển số biểu thức: Với a, b ≥ 0}: a-b = a + b a- b    a  a a  a a  1    1  a1 a 1 a a  a3 ,   a + ab + b  a + b   a - ab + b  a b b  a   b   a  b   a  a 1  a  1  a 1  a  a 1  a +b = a -b = 3 a-3b 3 3 a 3 a 3 3 Bài tập Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau: A    Giải Ta có: A  7    3  A 2  2 A 2  74 74 A  22  2.2  A ab  b  2  3    3 3 22  2.2   3 2 A  15   Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: A  1 1 5 Giải 15 A   1 1 5 A    51    51 1   1  51    1   5   5    1   1 A  3 A   51 2 A   1 2   1   1  5  A   1   A 6   Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau: A = + 15  10} -  - 15 Giải    + 15   - 15  =  10} -  + Vì 10} - =  -  > 0} nên ta có: A =  -   + 15  =  - 15   + 15  = A= 10} - 15 4=2 Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau: A = + + + + + + - + + Giải Ta có:   2+ 2+ 2+ 2- 2+ 2+ = 4- 2+ 2+ = 2- 2+    2+ 2+ 2- 2+ = 4- 2+ = 2-  A = + - =  x  x + Bài tập 5: Rút gọn biểu thức sau: A =   : x +1  x + x  x Giải Điều kiện: x > 0} x +1 + x x x +1 + x A= : = x x x +1 x x +1       4-2 6- Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau: A = Giải A= 4-2 = 6-   -1   -1 -1 =   -1 Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau: A =  2 x -9 x -5 x +6 Giải Điều kiện xác định: x 0}, x  4; x 9 Ta có: Mẫu thức chung là: x - x + =   x - 2   x +1  x -  = =  x - 3  x -  A=  x - -  x -  + x -1 x -3  x +1 x -3  x -2 x -2  = x -3 - x + x +1 x - 3- x  x- x -2  x -2  x -3   x 2 x 1 x 1   với 0} x 1   Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: P 1 :    x x  x  x 1 x   Giải  x 2 x 1 x 1   P 1 :     x  x x  x  x      x2 x 1 x 1 P 1 :      ( x  1)(x  x  1) x  x  ( x  1)( x  1)   x 2 x 1  P 1 :     x  1  ( x  1)(x  x  1) x  x    x2 ( x  1)( x  1) x  x 1 P 1 :      ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)  P 1 : x   ( x  1)  ( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) P 1 : x x ( x  1)( x  x  1) P 1 : x ( x  1) ( x  1)( x  x  1) P 1 : x x  x 1 Suy ra: P  x  x 1 x CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP Phương trình bậc ẩn Cách giải Bước 1: Quy đồng (nếu hạng tử phân số, phân thức) Bước 2: Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái, chuyển hạng tử số (hằng số) qua vế phải Bước 3: Thu gọn hai vế đưa dạng ax = b b Bước 4: Lấy nghiệm x = - a 1.1 Dạng tổng quát: ax + b = 0, (a ≠ 0) Cách giải - Nếu a ≠ 0: b ax + b =  ax = -b  x = a b Phương trình có nghiệm x = - a - Nếu a = 0: Phương trình trở thành 0.x + b = Nếu b ≠ phương trình cho vơ nghiệm Nếu b = phương trình cho có vô số nghiệm Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình: 5x - 10} = 0} Giải 10} 5x - 10} = 0}  5x = 10}  x   x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2: Giải phương trình: + 3x = 0} Giải 9 + 3x = 0}  3x = -9  x   x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3 Bài tập 3: Giải phương trình: - 21x = 0} Giải 7 - 21x = 0}  -21x = -7  x   x  21 Vậy phương trình có nghiệm x  1.2 Dạng phương trình bậc nhất: f(x) = g(x) (g(x) khác đa thức 0) Cách giải: Bước 1: Nếu phương trình có biểu thức chứa dấu ngoặc ta phải thực quy tắc bỏ dấu ngoặc Bước 2: Thu gọn đơn thức đồng dạng Bước 3: Giải phương trình dạng: ax + b = Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau: - 5x + = 2x - Giải - 5x + = 2x -  -5x - 2x = -4 -  - 7x = -7  x = Vậy tập nghiệm phương trình x = Bài tập 2: Giải phương trình: 8x - = 5x + 12 Giải 8x - = 5x + 12  8x - 5x = 12 +  3x = 15  x = Vậy tập nghiệm phương trình x = x - - 2x x = + Bài tập 3: Giải phương trình: 12 Giải x -3 5- 2x x = + 12 MSC = 12  x  3   2x  6x       x  3    2x  6x   3x   10}  4x 6x   x 24 12 12 12 12 Vậy tập nghiệm phương trình x = 24 x - 30}5 x - 30}7 x - 30}9 x - 40}1 Bài tập 4: Giải phương trình: + + + =4 170}0} 1698 1696 1694 Giải (Ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa) Phương trình tương đương:  x  305   x  307   x  309   x  401   1    1    1     0   1700   1698   1696   1694   x  2005  x  2005  x  2005  x  2005 1700 1698 1696 1694  x 2005 1 1     0} Vì 170}0} 1698 1696 1694 Vậy tập nghiệm phương trình x = 20}0}5 0 Phương trình tích: Dạng phương trình: A(x).B(x).C(x) = 0}, A(x), B(x), C(x) biểu thức Cách giải:  A x = A  x  B  x  =    B  x  =  A x =  A  x  B  x  C  x  =   B  x  = C x =     A x =   B  x = A  x  B  x  C  x  =    C  x =  Nghiệm phương trình hợp tất nghiệm phương trình: A(x), B(x), C(x), Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: (2x - 3)(3x + 4) = 0} (1) Giải   x 2  x  0  x 3   (2x - 3)(3x + 4)    3x  0  3x   x   3 4 Vậy tập nghiệm phương trình S =  ; -  2 3 Bài tập 2: Giải phương trình: (3x - 2)(4x + 5) = 0} Giải (3x - 2)(4x + 5) = 0}  3x - = 0} 4x + = 0}  x = x = 2  Vậy tập nghiệm phương trình S  ; -  3  Bài tập 3: Giải phương trình: (2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0} Giải (2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0}  x  0}   (x + 5)[(2x - 3) - (x - 6)] = 0}  (x + 5)(x + 3) = 0}    x  0} Vậy tập nghiệm phương trình S = {-5; 3} Bài tập 4: Giải phương trình: 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0} Giải  x   x   2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0}  (x - 3)(2x + 5) = 0}  x - = 0} 2x + = 0}  x = x = -  5 Vậy phương trình tập nghiệm S = 3; -  2  Bài tập 5: Giải phương trình sau: (5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1) Giải (5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1)  (5x + 3)(2x - 1) - (4x + 2)(2x - 1) = 0}  (2x - 1)[(5x + 3) - (4x + 2)] = 0}  (2x - 1)[5x + - 4x - 2] = 0}  (2x - 1)(x + 1) = 0}  x  2x -1 = 0}       x +1 = 0}  x  1  Vậy tập nghiệm phương trình S =  ; -1 2  Phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức khử mẫu: Tìm mẫu thức chung Bước 3: Giải phương trình Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện tốn để kết luận nghiệm phương trình Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau: = 2x - x(2x - 3) x Giải  2x  0}  Điều kiện xác định (ĐKXĐ):   x 0}  x    x 0} Mẫu thức chung (MTC) = x(2x - 3)  2x  3 x 3   =  2x - x(2x - 3) x x  2x   x(2x  3) x  2x    x - = 5(2x - 3)  x - = 10}x - 15  9x = 12  x  4 Vậy tập nghiệm phương trình S =   3 x 2   Bài tập 2: Giải phương trình sau: x  x x(x  2) Giải  x  0}  x 2  ĐKXĐ:   x 0}  x 0} MTC = x(x - 2) x 2   x  x x(x  2) x  x  2 x 2    x  x   x  x   x(x  2)  x(x + 2) + x - =  x2 + 2x + x - = (thỏa mãn điều kiện)  x2 + x - = 0}  x 1  (thỏa mãn điều kiện)  x 4 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 4} 2x    Bài tập 3: Giải phương trình sau: x 3 x  x  Giải  x  0} x 3  ĐKXĐ:   x  0} x  MTC = (x - 3)(x + 3)  x  3  x  3  2x   (1)   x    x  3  x    x    x    x    2(x - 3) + x + = 2x -  2x - + x + = 2x -  x = -2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình S = {- 2} (1) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu |a|, định nghĩa sau:  a nÕu a 0 a    a nÕu a < Ví dụ: |5| = 5, |0}| = 0}, |-3,5| = 3,5 Cách giải: Dạng 1: |A| = |B|  A2 = B2, |A| = |B|  A =  B Dạng 2:   A 0   B 0 A= B A=B  |A| = B   2  A < A = B   -A = B  B 0 A= B    A= ±B Dạng 3: Áp dụng phương trình có nhiều biểu thức bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối i) Lập bảng xét dấu ii) Giải phương trình khoảng xác định x Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: |3x| = x + Giải | 3x | = 3x 3x ≥ 0} hay x ≥ 0}; | 3x | = − 3x 3x < 0} hay x < 0} - Xét x ≥ 0}: Phương trình cho trở thành: 3x = x +  2x =  x = (thỏa mãn điều kiện) - Xét x < 0}: Phương trình cho trở thành: -3x = x +  -4x =  x = -1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {-1; 2} Bài tập 2: Giải phương trình: |x - 3| = - 2x Giải |x - 3| = x - x - ≥ 0} hay x ≥ 3; |x - 3| = -(x - 3) x - < 0} hay x < Xét x ≥ 3: Phương trình cho trở thành: x - = - 2x  3x = +  3x = 12  x = (thỏa) Với x < 3: Phương trình cho trở thành: -(x - 3) = - 2x  -x + 3= - 2x  x = (khơng thỏa) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {4} Bài tập 3: Giải phương trình sau: x +1 + x + + x + = Giải Ta có bảng xét dấu: x -3 -2 -  x+1 -  0} +  x+2 -  0} + +   x+3 - 0} + + + Xét x  : Phương trình trở thành: -(x + 1) - (x + 2) - (x + 3) =  -3x - =  x = -3(thỏa) Xét -3  x  : Phương trình trở thành: -(x+1)–(x+2)+(x+3) =  -x =  x = -3(không thỏa) Xét -2  x  : Phương trình trở thành: -(x + 1) + x + 2x + =  x  3  x  (thỏa) Xét x > -1 : Phương trình trở thành: x + + x + + x + =  3x   x  (khơng thỏa) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; -3} Phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn có dạng: ax2 + bx + c = 0}, a ≠ 0} a, b, c hệ số, x ẩn số Cách giải: Bước 1: Tính biệt thức:  = b2 - 4ac (hoặc tính ' = b'2 - ac, với b = 2b') Bước 2: Lấy nghiệm phương trình bậc hai theo : Nếu  < 0: Phương trình vơ nghiệm b  b'  Nếu  = 0: Phương trình có nghiệm kép x = - ,  x = -  2a  a Nếu  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -b ± Δ  x = -b' ± Δ'  ,  1,2 x1,2 =  a 2a   Lưu ý: Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0}, (a ≠ 0}) có nghiệm, xảy trường hợp sau: i) a.c < 0} ii)  ≥ 0} Trường hợp đặc biệt: c - Nếu phương trình thỏa mãn: a + b + c = 0} phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x = a c - Nếu phương trình thỏa mãn: a - b + c = 0} phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x = a Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) 3x2 - 10}x + = 0} b) 4x2 - 8x = 0} Giải a)  = (-10})2 - 4.3.8 = > 0}    2    10}      10}   2 x2 =  Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2.3 3 b) 4x2 - 8x = 0}  4x(x - 2) =0}   x 0}  x 0}  x  0}   x 2   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0}; x = Bài tập 2: Giải phương trình sau: a) 2x2 - 18 = 0} b) 3x2 + 7x + = 0} Giải a) 2x2 - 18 = 0}  2(x2 - 9) = 0}  2(x + 3)(x - 3) = 0}   x  0}  x   x  0}   x 3  