B2 1 tự luận (bản giáo viên 1)

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT = = = HẠN CỦA HAM SỐ TẠI MỘT DIỂM: GIỚI I Cho khoảng x0 ( a;b) chứa điểm x0 ( ) a;b Ta nói hàm số f (x) xác định trừ điểm ( ) x Ỵ a;b , xn ¹ x0 x (x ) có giới hạn L x dần tới với dãy số n bất kì, n xn ® x0 , ta có: f (xn ) ® L Ta kí hiệu: lim f (x) = L x®x0 Nhận xét: x ® x0 hay f (x) ® L lim x = x0 limc = c x®x0 ; x®x0 CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ a) Giả sử lim f  x  L x  x0 lim g  x  M x  x0 Khi lim  f  x   g  x   L  M ; x  x0 lim  f  x   g  x   L  M ; x  x0 lim  f  x  g  x   L.M ; x  x0 lim x  x0 f  x L  g  x M b) Nếu ; f  x  0 L 0 lim x  x0 với x  J \  x0  , J khoảng chứa x0 f  x   L cf ( x) ù = c lim f ( x) lim xk = x0k lim é ú ë û x®x0 ê x®x0 Nhận xét: ; x®x0 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC GIỚI HẠN MỘT PHÍA  x ; b  ,  x0  R  Ta nói số L giới hạn bên 3.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng x  phải hàm số y = f (x) x  x0 với dãy số n thỏa mãn x0  xn  b f  x  L xn  x0 ta có lim f  xn  L Kí hiệu: xlim  x0   a; x0  ,  x0  R  Ta nói số L giới hạn bên 3.2 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng x  trái hàm số y = f (x) x  x0 với dãy số n thỏa mãn a  xn  x0 f  x  L xn  x0 ta có lim f  xn  L Kí hiệu: xlim  x0  3.3 Chú ý: Ta thừa nhận kết sau: a) lim f  x   lim f  x  L  lim f  x  L x  x0 a) Nếu x  x0 x  x0 lim f  x   lim f  x  x  x0 x  x0 khơng tồn lim f  x  x  x0  c) Các định lí giới hạn hàm số thay x  x0 x  x0 x  x0  GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAM SỐ TẠI VƠ CỰC 4.1 Ta nói hàm số y = f (x) xác định (a; +¥ ) có gii hn l L x đ +Ơ nu vi dãy số (xn ) : xn > a xn đ +Ơ thỡ f (xn ) đ L Kớ hiu: lim f (x) = L xđ+Ơ 4.2 Ta nói hàm số y = f (x) xác định (- ¥ ;b) có giới hạn L x đ - Ơ nu vi mi dóy s (xn ) : xn < b v xn đ - Ơ f (xn ) ® L lim f (x) = L Kớ hiu: xđ- Ơ Chỳ ý: lim c = c xđƠ vi c l hng s Vi k nguyờn dng, ta cú: lim xđ+Ơ c c = 0; lim k = k xđ- Ơ x x Các định lí giới hạn hàm số thay x  x0 x   x    GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HAM SỐ TẠI MỘT DIỂM Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  x ; b  ,  x0  R  Ta nói hàm số y = f (x) có 5.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng x  giới hạn +¥ x  x0 bên phải với dãy số n thỏa mãn x0  xn  b f  x   xn  x0 ta có lim f  xn   Kí hiệu: xlim  x0   a; x0  ,  x0  R  Ta nói hàm số y = f (x) có 5.2 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng x  giới hạn +¥ x  x0 bên trái với dãy số n thỏa mãn a  xn  x0 f  x   xn  x0 ta có lim f  xn   Kí hiệu: xlim  x0  5.3 Một số giới hạn đặc biệt : + lim xk = +Ơ xđ+Ơ vi k nguyờn dng Page Su tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim xk = - Ơ + xđ- Ơ + lim xk = +Ơ xđ- Ơ vi k l vi k chn Chú ý : Nguyên lí kẹp x Cho ba hàm số f (x), g(x), h(x) xác định K chứa điểm Nếu g(x) £ f (x) £ h(x) " x Ỵ K lim g(x) = lim h(x) = L x®x0 x®x0 lim f (x) = L x®x0 5.4 Một số quy tắc tính giới hạn vô cực Quy tắc Cho lim f (x) = L 0; lim g(x) = +Ơ lim g(x) = - Ơ xđx0 xđx0 lim f (x) xđx0 xđx0 +¥ - ¥ +¥ - ¥ L >0 L 0 + + - 0 0 L