B2 1 tự luận (bản giáo viên)

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT I = = GIÁ = TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC M  xM ; yM  I Trên đường tròn lượng giác, gọi điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo  Khi đó: • Tung độ yM điểm M gọi sin  kí hiệu sin  sin   yM • Hồnh độ xM điểm M gọi côsin  kí hiệu cos  cos  xM yM sin   cos   x  0, x cos  gọi tang  kí hiệu tan  (người ta cịn M M • Nếu tỉ số dùng kí hiệu tg  ): tan   yM sin   xM cos  xM cos   sin   y  0, y M • Nếu tỉ số M sin  gọi cơtang  kí hiệu cot  (người ta cịn dùng kí hiệu cotg  ) : cot   xM cos   yM sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  Chú ý: a) Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin b) Từ định nghĩa ta suy ra: 1) sin  cos  xác định với    Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2) tan  xác định với     k  k    k  k   3) cot  xác định với c) Với góc lượng giác  , ta có sin    k 2  sin  , k  ; cos    k 2  cos  , k    sin  1  cos  1  tan    k  tan  ,    k , k  ; cot    k  cot  ,  k , k   d) Dấu giá trị lượng giác góc trịn lượng giác  phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M đường Bảng xác định dấu giá trị lượng giác e Giá trị lượng giác cung đặc biệt  sin      2 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos  tan  cot  Không xác định 3 2 Không xác định 1 TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY HỆ THỨC CƠ BẢN GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin   cos  1  tan    ,    k , k   cos   cot   , sin   k , k   tan  cot  1,  k , k  GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Góc đối Góc bù Góc phụ cos(   )  cos  sin(   )  sin    sin      cos  2  sin(  )  sin  cos(   )  cos    cos      sin  2  tan(  )  tan  tan(   )  tan    tan      cot  2  cot(  )  cot  cot(   )  cot    cot      tan  2  Góc   Góc sin(   )  sin    sin      cos  2  cos(   )  cos    cos      sin  2  tan(   )  tan    tan      cot  2  cot(   )  cot    cot      tan  2  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC DẠNG I Sử dụng công thức lượng giác toán: 2 1) sin   cos  1 2) 3)  tan    ,    k , k   cos   cot   , sin   k , k   4) tan  cot  1, 5) 6) tan   sin  cos  cot   cos  sin  cos x  Câu 1: Cho  k , k  2       x  0   Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải Vì    x   sin x  2   1     2 2  5 Ta có sin x  cos x 1  sin x 1  cos x sin x  Vậy sin x tan x    ; cos x  sin x  Câu 2: Cho cos x cot x    sin x      x   2  Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải   x    cos x  Vì Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   16  cos x   sin x      2   25 sin x  cos x  Ta có Vậy cos x  sin x tan x    ; cos x  4 tan x  Câu 3: Cho  cos x cot x    sin x     x     Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải Vì   x   cos x  tan x.cot x 1  cot x  1   tan x 3 25 16  3 1  tan x 1      cos x  25   16 Ta có cos x Vậy cos x  tan x  sin x  4  sin x tan x.cos x      cos x  5 cot x  Câu 4: Cho  3   x      Tính giá trị giá trị lượng giác lại Lời giải Vì  x 3  sin x  tan x.cot x 1  tan x  1   cot x 3 25 16  3 1  cot x 1      sin x  25   16 Ta có sin x Vậy sin x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cot x  Câu 5: cos x  4  cos x cot x.sin x      sin x  5 0 Biết tan  2 180    270 Tính giá trị biểu thức: sin   cos Lời giải 1 cos 2    cos   tan  5 0 Do 180    270 nên cos  cos   Suy ra, Do đó, Câu 6: sin   cos  cos  sin  tan  cos   5 Cho tan  2 Tính giá trị biểu thức: A 3sin   cos  sin   cos  Lời giải A Câu 7: 3sin   cos  tan    7 sin   cos  tan   Cho tan x 3 Tính P 2sin x  cos x sin x  cos x Lời giải Ta có Câu 8: Cho tan x 3  sin a  sin x 2.3cos x  cos x 5cos x 3  sin x 3cos x P   cos x 3cos x  cos x cos x Khi cot a  tan a A Giá trị biểu thức tan a  cot a Lời giải cos a sin a  2 cot a  tan a sin a cos a  cos a  sin a A  tan a  cot a sin a cos a sin a  cos2 a 2 cos a sin a Ta có   sin a   sin a 1  2sin a    sin a 17 sin a    sin a  2 Câu 9: 2 2 Cho tan x  Giá trị biểu thức A 2sin x  5cos x 3cos x  sin x Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x cos x 5 2sin x  5cos x cos x  tan x       13 A  cos x cos x sin x 3cos x  sin x  tan x    4  cos x cos x Ta có: Câu 10: Cho tan  3 , giá trị biểu thức P 2sin   cos  3sin   5cos  Lời giải Chia tử mẫu P cho cos  0 ta được: Câu 11: Cho góc  thỏa mãn  P 2sin   cos  tan     3sin   5cos  tan    1   cos   P sin   2 Giá trị biểu thức cos  Lời giải 2 2 Cách 1: Ta có: sin  cos  1 sin  1  cos   1 cos    sin  1      sin    2 Với Vì     sin  0 sin   2 nên P sin   Vậy: 3 4     2 cos  2 2  cos            0  Cách 2: Theo giả thiết:  P sin   Vậy 1 4   sin      2 cos  2   cos      3   Câu 12: Cho tan  2 Tính giá trị biểu thức P= sin a - 3sin a cos a + cos a sin a + sin a cos a + 2cos a Lời giải Do tan  2 nên cos  0 Chia tử mẫu biểu thức P cho cos  ta được: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin  sin  cos  cos2    tan   tan   4 cos  cos   cos  P  cos2  1 sin  sin  cos  cos  tan   tan     2 4 cos  cos  cos  cos  cos    tan   tan    tan   1    2  tan  tan    tan   tan    tan   tan   tan  1 tan   tan   24  3.23  22   2  4.2  34 Vậy P  34 Câu 13: Cho tan a  cot a 1 với     Tính giá trị biểu thức P tan  8  a   cot    a   3  tan  a   Lời giải  tan a 1 tan a  cot a 1  tan a  1    tan a  tan a  Vì     tan a  2 , cot a  nên tan a  , suy  3  tan   a   cot a tan  8  a   tan a cot    a  cot a   Ta có: ; ; tan  8  a   cot    a   tan a  cot a   P     3cot a 12  3  3tan   a   M  sin x  cos x Câu 14: Cho sin x  cos x m Tính giá trị biểu thức: Lời giải Ta có: M  sin x  cos x  sin x  sin x.cos x  cos x 1  sin x.cos x Mặt khác: Suy ra: M  sin x  cos x   sin x  cos x   4sin x.cos x m  4sin x.cos x  2sin x.cos x m  4sin x.cos x  sin x.cos x  m2  2 Do đó: M 2  m  M   m Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin  cos  sin  cos8    A  b a  b Tính giá trị biểu thức: a b3 Câu 15: Cho a Lời giải Đặt cos  t  1 t   b   t   at  a t2   b a b ab ab ab  at  bt  2bt  b    a  b  t  2bt  b  a b a b a b b   a  b  t  2b  a  b  t  b 0  t  a  b Suy Vậy: cos   b a ;sin   a b a b sin  cos8  a b     4 3 a b  a  b  a  b  a  b DẠNG 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 2 Câu 16: Tính giá trị biểu thức: S 3  sin 90  cos 60  tan 45 Lời giải  1 3      3.12      2 Ta có S 3  sin 90  cos 60  tan 45  5  D sin      cos  13     3sin    5    Câu 17: Rút gọn biểu thức Lời giải Ta có  5  D sin      cos  13     3sin    5      sin      cos       3sin      2  cos   cos   3sin  3sin  2 2 Câu 18: Tính giá trị biểu thức: sin 10  sin 20  sin 30   sin 70  sin 80 Lời giải sin 100  sin 200  sin 300   sin 700  sin 800 sin 100  sin 200  sin 300  cos 30  cos 200  cos 10 Câu 19: Tính giá trị biểu thức: M cos 100  cos 200  cos 300  cos 400  cos 500  cos 600  cos 700  cos 800  Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos 900  cos 1000  cos 1100  cos 1200  cos 1300  cos 1400  cos 1500  cos2 1600   cos 1700  cos 1800 Lời giải cos  cos  1800    cos   sin  1 , ta có: Áp dụng cơng thức M cos 100  cos 200  cos 300   cos 1700  cos 1800 cos 100  cos 200   cos 800  cos 900  cos 800    cos 200  cos 100  cos2 900 2  cos 100  cos 200  cos 300   cos 800  cos 900  2  sin 800   sin 500  cos 500   cos 800  cos 900  8 DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 20: Rút gọn biểu thức A  – sin x  cot x   – cot x  Lời giải A  – sin x  cot x   – cot x  cot x  cos x   cot x sin x Câu 21: Rút gọn biểu thức M  sin x  cos x    sin x  cos x  Lời giải 2 M  sin x  cos x    sin x  cos x  1  2sin x cos x 1  2sin x cos x 2 C 2 cos x  sin x  cos x sin x  Câu 22: Rút gọn biểu thức    cos x  sin x  Lời giải Ta có : cos8 x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x      cos x sin x  Suy :   cos x sin x 1  cos x sin x  cos x sin x   cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x C 2  cos x sin x     cos x sin x  cos x sin x     cos x sin x  cos x sin x  C 2   cos x sin x  cos x sin x     cos x sin x  cos x sin x  =1 Câu 23: Đơn giản biểu thức  sin x  cos x  A 1 tan x  sin x.cos x Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải  sin x  cos x  A 1  cos x.sin x  cos x.sin x cos x  cos x     cot x 2 tan x  sin x.cos x sin x  sin x.cos x sin x sin x   cos x  cos x Ta có: 6 2 Câu 24: Tính giá trị biểu thức A sin   cos   3sin  cos  Lời giải Ta có: sin   cos   sin   cos     3sin  cos  sin   cos  1  3sin  cos    2 2 Suy ra: A 1  3sin  cos   3sin  cos  1 Câu 25: Cho    Tính  sin   sin    sin   sin  Lời giải Đặt  sin   sin    sin   sin  A   sin   sin  A    sin    sin  Khi Vì       cos   A nên cos   cos  DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 6 Câu 26: Giá trị lớn Q =sin x +cos x bằng: Lời giải Ta có Vì Q =sin x +cos6 x =1 - £ sin 2 x £ 1Û - sin x 3 £ - sin 2 x £ Û £ - sin 2 x £ 4 4 Nên giá trị lớn 2 Câu 27: Giá trị lớn biểu thức M 7 cos x  sin x Lời giải M 7   sin x   2sin x 7  9sin x 2 Ta có: sin x 1, x     9sin x  9, x    7  2sin x  2, x   Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gía trị lớn 4 2 Câu 28: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cot a  cot b  tan a tan b  Lời giải P  cot a  cot b   cot a.cot b  tan a.tan b  2  cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b     cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b  cot a.cotb.tan a.tan b   2  cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b   6 cot a cot b   cot a.cot b tan a.tan b  Dấu xảy  k  a b   , (k  Z) cot a 1  cot b 1 Câu 29: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết: a c sin x =cos x = 3p p ïï p ïï cos x > 0 ïï ïỵ cot x > b Do ìï sin x ïï tan x = = 15 15 ïï cos x cos x = Þ sin x = 1- cos x = Þ í ïï cos x 4 = ïï cot x = sin x 15 ïỵ Từ với Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ïìï sin x > ïï cos x > 0 < x < 90 Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > c Do ìï sin x ïï tan x = = cos x ï cos x = Þ sin x = 1- cos x = Þ í cos x 5 ïï = ïï cot x = sin x ỵï Từ với ïìï sin x < ïï cos x < 0 180 < x < 270 Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > d Do ìï sin x 12 ïï tan x = = 12 ï cos x cos x =Þ sin x =- 1- cos x =Þ í cos x 13 13 ïï = ïï cot x = sin x 12 ï ỵ Từ với Câu 30: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết cos x = a) c) sin x = p - < x Þ ïí ïï tan x < ïï ïỵ cot x < 270 °< x < 360 ° b) Do ìï sin x ïï tan x = =ï cos x Þ í ïï =cos x = Þ sin x =- 1- cos x =ïï cot x = tan x ỵï 5 Từ với 4 Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ïìï sin x > ïï cos x < Þ ïí ïï tan x < p < x < p ïï ïỵ cot x < c) Do ìï sin x ïï tan x = =cos x ï Þ í ïï 12 =sin x = Þ cos x =- 1- sin x =ïï cot x = tan x 13 13 ỵï Từ với ïìï sin x < ïï cos x < Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > 180 °< x < 270 ° d) Do 12 12 ìï ïï tan x = sin x = ï cos x Þ ïí ï 2 ïï cot x = = 2 sin x =- Þ cos x =- 1- sin x =ïïỵ tan x 3 Từ với Câu 31: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết a) tan x = với c) p