Hsg t7 cđ12 chứng minh tam giác bằng nhau và các bài toán liên quan

T HSG T7-CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng A' A B C B' C'  B  '; C  C  '   A  A '; B ABC A ' B ' C '     AB  A ' B '; BC B ' C '; AC  A ' C ' Hai tam giác trường hợp: cạnh - cạnh – cạnh Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Xét ABC A ' B ' C ' có: AB  A ' B '   AC  A ' C '  ABC A ' B ' C '  c  c  c  BC B ' C '  Trường hợp : cạnh - góc - cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Xét ABC A ' B ' C ' có: AB  A' B'      ABC A' B'C'  c  g  c  BC B'C'      B'  B Trang T *) Hệ : Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Trường hợp : góc – cạnh - góc Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ABC A ' B ' C ' có:  B ' B   BC  B ' C '  ABC A ' B ' C '  g  c  g    C ' C  Các trường hợp tam giác vng * Ngồi trường hợp biết hai tam giác, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – góc nhọn; hai cạnh góc vng; trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vng * Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền góc vng tam giác vng hai tam giác vng PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Chứng minh tam giác toán liên quan I Phương pháp giải Vận dụng linh hoạt trường hợp tam giác để chứng minh hai tam giác Vận dụng linh hoạt quan hệ song song, quan hệ vng góc để giải toán liên quan II.Bài toán Bài Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA a) Chứng minh ΔMAB=ΔMDC;MAB =ΔMDC; ΔMAB=ΔMDC;MDC; b) Chứng minh AB CD AB // CD; c) Chứng minh ΔMAB=ΔMDC;ABC =ΔMDC; ΔMAB=ΔMDC;DCB; d) Trên đoạn thẳng AB, CD lấy điểm E , F cho AE DF Chứng minh ba điểm E , M , F thẳng hàng Hướng dẫn giải Trang T a) Xét MAB MDC có: MA MD   AMB  DMC    MB MC  MAB MDC (c - g - c)    b) Vì MAB MDC (c - g - c)  MAB MDC ( hai góc tương ứng) Mặt khác hai góc vị trí so le nên  AB // CD   AB // CD  ABC DCB c) Vì ( hai góc so le trong) Xét ABC DCB có: AB DC     ABC  DCB   BC CB  ABC DCB (c-g-c)  d) Xét AEM DFM có AE DF  GT    MAB MDC  cmt  MA MD ( hai cạnh tương ứng)   Vậy AEM DFM (c-g-c)  AME DMF ( hai góc tương ứng)      AME  AMF DME  AMF 180  ba điểm E , M , F thẳng hàng  Bài Cho tam giác ABC vng A có B 55 Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B , vẽ tia Cx vng góc với AC Trên tia Cx lấy điểm D cho CD AB  a) Tính số đo ACB; b) Chứng minh ABC CDA AD // BC ; c) Kẻ AH  BC ( H  BC ) CK  AD ( K  AD ) Chứng minh BH DK ; d) Gọi I trung điểm AC Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng Hướng dẫn giải a) Vì ABC vng A nên ta có: Trang T ACB  ABC 900  ACB  550 900  ACB 350  Vậy ACB 35 b) Xét ABC CDA có AB CD  GT    BAC DCA 90 AC cạnh chung   Vậy ABC CDA (c-g-c)  ACB CAD Mặt khác hai góc vị trí so le trong, suy AD // BC c) Xét AHB CKD có   AHB CKD 90 AB CD  GT    ABC CDA ( hai góc tương ứng) Vậy AHB CKD (cạnh huyền - góc nhọn)  BH DK ( hai cạnh tương ứng) d) Ta có Mà AH  BC  H  BC   GT  AD // BC  cmt   AH  AD CK  AD  K  AD   GT  Ta có Vậy AH // CK Xét IAH ICK có AH CK (hai cạnh tương ứng)   AH // CK  HAI KCI Ta có (Hai góc so le trong) Vì I trung điểm AC  IA IC   Vậy IAH ICK (c-g-c)  AIH CIK (hai cạnh tương ứng)     AIK   AIH  AIK CIK 180 Trang T  ba điểm H , I , K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M , tia đối tia CB lấy điểm N cho BM CN a) Chứng minh tam giác AMN cân; b) Kẻ BH  AM ( H  AM ), kẻ CK  AN ( K  AN ) Chứng minh BHM CKN ; c) Các đường thẳng HB KC cắt O Tam giác OBC tam giác gì? Tại sao?  d) Khi BAC 60 BM CN BC , tính số đo góc tam giác AMN xác định dạng tam giác OBC ; e) Kẻ AD  BC ( D  BC ), biết AB 10 cm, BC 16 cm Tính độ dài AD Hướng dẫn giải a) Xét ABM CAN có BM CN  GT  A  GT   ABC  ACB  ABM  ACN Ta có tam giác ABC cân A  GT   AB  AC Ta có tam giác ABC cân Vậy ABM CAN (c-g-c)  AM  AN ( hai cạnh tương ứng) Suy AMN cân đỉnh A b) Xét BHM CKN có CK  AN ( K  AN )  GT   BHM   CKN 900 Ta có BH  AM ( H  AM ), Ta có BM CN  GT    Ta có AMN cân đỉnh A  HMB KNC Vậy BHM CKN (cạnh huyền - góc nhọn) c) Ta có Trang   BHM CKN  cmt   HBM KCN , T     Mà HBM OBC ; KCN OCB (hai góc đối đỉnh)   Suy OBC OCB nên tam giác OBC cân O  BAC 60  GT  d) Ta có    ACB BAC 60  ABC tam giác  AB BC  AC ; ABC Ta có BM CN BC  GT   BM CN BC AB  AC Do tam giác ABM cân B CAN cân C 1800  120    AMN  ANM  30 0   Ta có ABM  ACN 180  60 120 0  Ta có AMN cân đỉnh A  MAN 180  2.30 120 0   Ta có HBM 90  HMB 90  30 60    OBC HBM 60 nên tam giác OBC tam giác e) Xét ABD ACD có Ta có   AD  BC ( D  BC )  ADB  ADC 90 AB  AC  cmt  AD cạnh chung Vậy ABD ACD (cạnh huyền, cạnh góc vng) BC 16 DB DC   8  cm  2 Suy 2 Xét ABD có AB  AD  DB ( Định lí Pytago)  AD  AB  DB 102  82 36  AD  36 6  cm   xOy 100 , tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điểm H thuộc tia Oz , đường thẳng vng góc với OH H cắt tia Ox , Oy A , B Bài Cho a) Chứng minh HA HB , OA OB; b) Tính số đo góc tam giác OAB;  c) Trên tia Oz lấy điểm C cho HBC 60 Chứng minh tam giác ABC đều; d) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE BO Chứng minh AB OE; e) Cho AH 1 cm Tính độ dài HC Hướng dẫn giải Trang T a) Xét OHA OHB có   AB  OH  GT   OHA OHB 900 Ta có OH cạnh chung   Ta có tia Oz tia phân giác góc xOy  AOH BOH Vậy OHA OHB (g-c-g)  HA HB; OA OB ( hai cạnh tương ứng)   b) Ta có AOB xOy 100 OA OB  cmt   OAB Ta có cân O  180  xOy 1800  100    OAB OBA   40 2 c) Xét OAC OBC có OA OB  cmt    Ta có tia Oz tia phân giác góc xOy  AOC BOC OC cạnh chung OAC OBC  c  g  c   CA CB Vậy ( hai cạnh tương ứng)  ABC cân C  Mà HBC 60  ABC tam giác 0    d) Ta có OBE OBA  HBC 40  60 100   OBE AOC 100 Xét BOE BOA có OB BE  cmt   OBE  AOC  cmt  OA OB  cmt  Vậy BOE BOA (c-g-c)  AB OE Trang T e) Ta có AC =ΔMDC; AB =ΔMDC; BC =ΔMDC; 2.AH =ΔMDC; 2.1 =ΔMDC;  cm  2 Xét AHC có AC  AH  HC (Định lý Pytago)  HC AC  AH 2  12 3  HC   cm  Bài Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho DM DA a) Chứng minh ADC MDB; b) Chứng minh AC BM AC // BM ; c) Chứng minh ABM MCA; d) Kẻ AH  BC , MK  BC ( H , K  BC ) Chứng minh BK CH Hướng dẫn giải a) Xét ADC MDC có : DB  DC ( D trung điểm BC ) DM  DA (gt) ADC BDM  (đối đỉnh) ADC MDB(c  g  c ) Vậy b) Vì Nên Và ADC MDB  cmt  AC BM (hai cạnh tương ứng) ACD MBD  (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le nên AC // BM c) Xét ABM MCA có AM cạnh chung  MAC  AMB  ADC MDB  AC  BM  ADC MDB  Vậy ABM MCA (c - g - c) d) Xét Trang BKM vuông K CHA vuông H có T BM  AC  cmt  Ta có Vậy  AC // BM  ACH MBK (hai góc so le trong) BKM CHA (cạnh huyền - góc nhọn)  BK CH ( hai cạnh tương ứng) Bài Cho ABC Gọi D trung điểm AB , E trung điểm BC Trên tia đối tia DE lấy điểm K cho DK DE a) Chứng minh BDE ADK AK // BC ; b) Chứng minh AKE ECA;   c) Cho A 65 , C 55 Tính số đo góc BDE; d) Gọi I trung điểm AE Chứng minh I trung điểm CK Hướng dẫn giải a) Xét BDE ADK có DB  DA ( D trung điểm AB ) DE  DK  GT   BDE  ADK (đối đỉnh) BDE ADK (c-g-c) Vậy    DAK DBE (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le nên AK // BC b) Vì BDE ADK (cmt) nên AK  BE (hai cạnh tương ứng) Mà BE  EC  GT   AK EC ( BE) Xét AKE ECA có AK  EC (cmt)   KAE  AEC ( so le trong, AK // BC ) AE cạnh chung Vậy AKE ECA (g-c-g)   c) Vì AKE ECA (cmt)  KEA EAC (hai góc tương ứng) Trang T Mà hai góc vị trí so le nên DE // AC(dhnb)   Khi BED C 55 (hai góc đồng vị, DE // AC )    C  180  65  550 60 DBE ABC 180  A (tổng ba góc tam giác)   BDE BAC 65 ( hai góc đồng vị, DE // AC )    Vậy DBE 60 , BDE 65 , BED 55 d) Xét AIK EIC có AK  EC  cmt  IA IE ( I trung điểm AE )   KAI IEC ( so le trong, AK // BC ) Vậy AIK EIC (c-g-c)  IK IC ( hai cạnh tương ứng) (1)   AIK EIC (hai góc tương ứng)   Mà EIC  AIC 180 (hai góc kề bù)   Khi AIK  AIC 180 nên ba điểm K , I , C thẳng hàng (2) Từ (1) (2)  I trung điểm CK Bài Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC M a) Chứng minh AMB AMC ; b) Kẻ ME  AB ( E  AB), MF  AC ( F  AC ) Chứng minh tam giác AEF cân; c) Chứng minh AM  EF ; d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM I Chứng minh BE BI Hướng dẫn giải Trang 10