Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH lu an n va tn to gh MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN p ie CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ d oa nl w VÀ HERON oi m ll fu an nv a lu z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH lu an n va tn to gh MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN p ie CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ d oa nl w VÀ HERON a lu Mã số: 8460104 oi m ll fu an nv Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ z at nh z @ gm Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH m co l an Lu n va ac th si Mục lục Kiến thức chuẩn bị an n va 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương 1.3 Giá trị kỳ dị ma trận 1.4 Định lý phân tích phổ 10 Các loại trung bình số trung bình ma trận 11 gh tn to Ma trận Hermite ma trận unita p ie lu 1.1 1.5 1.5.2 Trung bình Heinz 11 1.5.3 oa nl w Trung bình Heron 11 d 1.5.1 Chuẩn ma trận 13 fu an nv Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron m ll a lu 1.6 Trung bình hình học trung bình số học hai ma trận 12 16 oi bất đẳng thức ma trận tương ứng z at nh 2.1 Một số cải tiến bất đẳng thức Young dạng ma trận tương z ứng 16 @ Dạng cải tiến 19 2.1.2 Dạng cải tiến 23 2.1.3 Dạng cải tiến 26 gm 2.1.1 m co l an Lu n va ac th si 2.2 Một số cải tiến bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 29 2.3 2.2.1 Dạng cải tiến 30 2.2.2 Dạng cải tiến 33 Một số cải tiến bất đẳng thức Heron dạng ma trận tương ứng 36 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz lu dạng ma trận tương ứng an n va 3.1 40 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 40 p ie gh tn to 3.2 Một số dạng ngược bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 50 d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron M đầu Bất đẳng thức đối tượng nghiên cứu quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác lu an Các bất đẳng thức ma trận đối tượng nghiên cứu quan trọng va n Giải tích ma trận, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán gh tn to học Vật lý p ie Các bất đẳng thức cổ điển quan trọng cho số thực Cauchy, Schwarz, oa nl w Young, Hoălder, Heinz, Heron, ó c nghiờn cu rng rói nhiều nhà Toán học Luận văn tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, d dạng cải tiến chúng, dạng ma trận tương ứng với dạng fu an nv a lu cải tiến Ngồi Mục lục, Mở đầu Kết luận, Luận văn bố cục thành ba chương: oi m ll Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày z at nh số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermit, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định z gm @ dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lý phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác m co l liên quan Chương Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron Lu an bất đẳng thức ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron by mt s ci tin ca cỏc bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng định thức Chương Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz cải tiến dạng ma trận tương ứng Một số kết chương chứng minh hoàn toàn tương lu an tự với kết tương ứng chương va Lời đầu tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy/Cơ n tn to Khoa Toán Thống kê dạy bảo giúp đỡ suốt thời gian qua p ie gh Tiếp theo xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập thực Luận văn Và đặc oa nl w biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hoàn thành Luận văn d a lu Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian kiến thức fu an nv hạn hẹp nên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận oi hoàn thiện m ll góp ý q báu q thầy bạn đồng nghiệp để Luận văn z at nh Bình Định, tháng năm 2019 z Học viên: Đỗ Ánh Linh gm @ m co l an Lu n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron Chng Kin thc chun b lu an n va Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tn to tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermite, p ie gh ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lí phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma oa nl w trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Các khái niệm kết chương trình bày lại từ tài liệu [1], [2], [6], [7] d a lu Trong toàn luận văn này, ta ký hiệu Mn (C) đại số tất ma trận fu an nv phức cấp n, n số nguyên dương cho trước Nhắc lại với hai vectơ x = (xj ), y = (yj ) ∈ Cn , tích (hay tích vơ hướng) x y oi m ll số phức định nghĩa z at nh hx, yi := X j xj y¯j z @ Ma trận Hermite ma trận unita gm 1.1 l m co Với ma trận A = (aij ), ma trận AT = (aji ) dùng để ký hiệu cho ma Lu trận chuyển vị ma trận A, ma trận A∗ = (¯aji ) dùng để ký hiệu cho an ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Với vectơ x, y ∈ Cn , ta ln có n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.và .heron hAx, yi = hx, A∗ yi Định nghĩa 1.1.1 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi Hermite A∗ = A Từ định nghĩa ma trận Hermit ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút nhận xét sau Nhận xét 1.1.2 Ma trận A ma trận Hermite hAx, yi = hx, Ayi Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi unita lu AA∗ = A∗ A = I an va n p ie gh tn to Ví dụ 1.1.4 A = −i 1 ∈ M2 (C), B = 2 −i i −1 + i + i ∈ M3 (C) 1 + i −1 + i oa nl w ma trận unita d Nhận xét 1.1.5 Nếu A ma trận unita A khả nghịch, nữa, | det A| = fu an nv a lu 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác oi m ll định dương z at nh Định nghĩa 1.2.1 z Một ma trận Hermit A gọi nửa xác định dương, ký hiệu A > 0, gm @ hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn , x 6= m co l Một ma trận Hermit A gọi xác định dương, ký hiệu A > 0, A > B A − B > an Lu Với A B ma trận cấp, ta viết A > B A − B > 0, ta vit n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron Tớnh cht 1.2.2 Tớnh cht nửa xác định dương (t.ư xác định dương) ma trận Hermite bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, A ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) U ma trận unita A˜ := U ∗ AU ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) Chứng minh Giả sử A ma trận nửa xác định dương Khi đó, với x ∈ Cn , ta có ˜ = hx, U ∗ AU xi = hU x, AU xi = hy, Ayi, hx, Axi lu với y = U x an n va Do A ma trận nửa xác định dương nên hy, Ayi > ˜ > Nói cách khác, A Hồn tồn tương tự, hy, Ayi > hx, Axi gh tn to ˜ > hay A˜ ma trận nửa xác định dương Từ suy hx, Axi p ie ma trận xác định dương A˜ ma trận xác định dương oa nl w Tính chất 1.2.3 Một ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương) giá trị riêng khơng âm (t.ư dương) d a lu Chứng minh Nếu λ giá trị riêng ứng với vectơ riêng x0 ma trận Hermite fu an nv nửa xác định dương A Ax0 = λx0 Từ suy λhx0 , x0 i = hx0 , Ax0 i > Do hx0 , Ax0 i > hx0 , x0 i m ll x0 6= nên hx0 , x0 i > Vậy λ = oi Ngược lại, giả sử A ma trận Hermit có giá trị riêng khơng âm Khi z at nh tồn ma trận unita U đưa ma trận A dạng đường chéo, tức z U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ); λi ≥ 0, i = 1, 2, , n, giá trị riêng @ gm A ∗ m co l Với x ∈ Cn , gọi y ∈ Cn cho x = U y (chọn y = U −1 x) Khi hx, Axi = hU y, AU yi = hy, U AU yi = hy, Λyi = n X an Vậy A ma trận xác nửa xác định dương Lu i=1 λi yi2 ≥ n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron i vi trng hp ma trn xác định dương, ta có cách chứng minh hồn tồn tương tự Tính chất 1.2.4 Cho A ma trận Hermit nửa xác định dương Khi đó, A xác định dương A khả nghịch Chứng minh Giả sử A xác định dương Khi đó, tồn ma trận trực giao U cho A = U ΛU T , Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ), với λi > 0, i = 1, 2, , n Xét ma −1 −1 trận B = U Λ−1 U T , với Λ−1 = diag(λ−1 , λ2 , , λn ) Ta có lu an AB = (U ΛU T )(U Λ−1 U T ) = U ΛΛ−1 U T = U IU T = U U T = I va n Tương tự, BA = I Vậy AB = BA = I , hay ma trận A khả nghịch gh tn to Ngược lại, giả sử A ma trận nửa xác định dương khả nghịch Vì p ie A khả nghịch nên tồn ma trận A−1 cho AA−1 = A−1 A = I , hay A−1 giao oa nl w hoán với A Do A đối xứng, tức A = AT , nên I = (AA−1 )T = (A−1 )T AT = (A−1 )T A hay d (A−1 )T = A−1 Do A−1 ma trận đối xứng Khi đó, tồn ma trận trực a lu fu an nv giao U để A A−1 đưa dạng ma trận đường chéo, tức U T AU = Λ U T A−1 U = Ω, Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ) Ω = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi > m ll µi > với i = 1, 2, , n oi z at nh Từ suy I = AA−1 = (U ΛU T )(U ΩU T ) = U ΛΩU T z gm @ Đẳng thức tương đương với U T U = I = ΛΩ = diag(λi µi ) Do λi µi = với i = 1, 2, , n Do λi > λi µi = nên λi > với i = 1, 2, , n Vậy A m co l ma trận xác định dương trận xác định dương an Lu Hệ 1.2.5 Nếu A ma trận xác định dương A−1 cng l mt ma n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron 32 Xột hm h(ν) = νf (ν) − f (ν), ν Ta có h(0) = h0 (ν) = νf ”(ν) 0, tức h(ν) Vì thế, νf (ν) f (ν) với ν Lập luận tương tự, ta f (1 − ν) > (1 − ν)f (ν) với ν Do đó, g 1 1 hàm nghịch biến khoảng 0; ;1 đồng biến khoảng 1 1 2 1 0 Từ g− = −4f g+ = 4f kết hợp với giả thiết g liên tục 2 2 1 đối xứng qua điểm ν = suy g đạt cực tiểu điểm ν = Từ suy 2 1 , tức g(ν) > g 1 lu g(ν) > 2(||AX + XB||2 − 2||A XB ||) an ||AX||2 − p ||XB||2 2 n va >2 p tn to Vì ||AX + XB||2 − ||Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν ||2 p ||AX||2 − p ||XB||2 2 p ie gh > {ν; − ν} hay oa nl w kAX + XBk2 > Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν + 2r p kAXk2 − p kXBk2 2 , d r = min{ν, − ν} a lu fu an nv Để chứng minh mệnh đề cho trường hợp ma trận nửa xác định dương A B , ta xét ma trận A = A + I B = B + I , số thực m ll dương Khi A B ma trận xác định dương Do theo kết oi ||Aν XB1−ν + A1−ν XBν ||2 + 2r z at nh chứng minh trên, ta thu p ||A X||2 − p ||XB ||2 2 ||A X + XB ||2 z @ gm Cho → 0, ta nhận điều phải chứng minh l định dương Khi với ν 1, ta có m co Định lý 2.2.3 ([7]) Cho A, B, X ∈ Mn (C) cho A, B ma trận nửa xác Lu an 2 p p ν A XB 1−ν + A1−ν XB ν + 2r |||AX||| − |||XB||| |||AX||| + |||XB|||, n va ac th (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.dỏĂng.ma.trỏưn.cỏằĐa.cĂc.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.young heinz.v.heron 33 ú r = min{, − ν} Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.1.9, ta p 2 p ν
Ngày đăng: 28/10/2023, 22:04
Xem thêm:
