(Luận văn) một số mở rộng của bất đẳng thức bellman và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẢI HOÀN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ m co l an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẢI HOÀN lu MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG an n va p ie gh tn to oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 d fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh Người hướng dẫn: z TS LÊ QUANG THUẬN gm @ m co l an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả lu an Nguyễn Khải Hoàn n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Phịng sau Đại học Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa lu Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia an đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em va n suốt trình học tập thực luận văn gh tn to Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng p ie thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thông cảm ý kiến đóng góp Thầy oa nl w Xin trân trọng cảm ơn d oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mục lục Mở đầu lu an Kiến thức chuẩn bị n va Bất ng thc Hăolder 1.2 Bất đẳng thức Minkowski Bất đẳng thức Aczél gh tn to 1.1 p ie 1.3 oa nl w 2.1 2.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman 14 Bất đẳng thức Bellman 10 d Bất đẳng thức Bellman 10 fu an nv a lu m ll Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng 16 Dạng mở rộng thứ 16 3.2 Dạng mở rộng thứ hai 19 3.3 Dạng mở rộng thứ ba 25 3.4 Bất đẳng thức Bellman dạng tích phân 29 3.5 Sự tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman 32 oi 3.1 z at nh z gm @ m co l Lu 38 an Bất đẳng thức Bellman đảo n va i ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ii 4.1 Bất đẳng thức Bellman đảo 38 4.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo 40 4.3 Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến lu an đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức va lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Các bất n tn to đẳng thức công cụ quan để phát triển nhiều p ie gh lĩnh vực toán học khác Ở tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ oa nl w thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic để đánh giá tư học sinh d Trong bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức Bellman phát a lu i=2 i=2 z at nh i=2 oi m ll fu an nv biểu với số thực dương , bi (i = 1, 2, , n) p > cho P P ap1 − ni=2 api > bp1 − ni=2 bpi > 0, ta có ! p1 ! p1 ! p1 n n n X X X ap1 − api + bp1 − bpi (a1 + b1 )p − (ai + bi )p (1) dấu đẳng thức xảy = µbi với µ số z gm @ Bất đẳng thức nhà Toán học người Mỹ Richard Ernest Bellman (1920 - 1984) phát biểu chứng minh năm 1956 Bất đẳng thức Bellman l m co ứng dụng nhiều lĩnh vực Toán học, đặc biệt lý thuyết hình học phi-Euclidean Tuy nhiên, bất đẳng thức Bellman chưa ứng Lu an dụng phổ biến vào tốn Trung học phổ thơng tài liệu tiếng Việt n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hạn chế Trong thập niên gần đây, bất đẳng thức Bellman tổng quát hóa, làm mịn ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Bellman số dạng mở rộng, làm mịn nó, học viên chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên giáo viên trình học tập lu an giảng dạy va n Trong năm gần đây, bất đẳng thức Bellman (1) nhà gh tn to toán học phát triển theo nhiều hướng: p ie • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m số mở rộng số mũ oa nl w • Trong tài liệu khác, Shanhe Wu Debnath ([8]) mở rộng bất d fu an nv a lu đẳng thức Bellman dựa kết bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Aczél oi m ll • Ch-J Zhao and W-S Cheung ([1]) mở rộng bất đẳng thức Bellman z at nh cách bổ sung thêm số Xi , Yi • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cho dạng tích phân z @ gm • X.Zhou ([10]) tổng quát bất đẳng thức Bellman dạng hàm l • Ti-an ([4]) mở rộng bất đẳng thức Bellman trường hợp < p < m co an Lu Bằng phương pháp sưu tầm, đọc tài liệu bất đẳng thức Bellman n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an bất đẳng thức liên quan, luận văn này, chúng tơi trình bày cách hệ thống sở lý thuyết bất đẳng thức Bellman trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung hình thành chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3],[4], [7], [8], [9], [10] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành bốn chương với nội dung sau: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức, gồm lu an bất đẳng thc Hăolder, Minkowski, Aczộl v cỏc bt ng thc liờn quan va n Chương trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức gh tn to Bellman p ie Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman oa nl w Chương trình bày bất đẳng thức Bellman đảo dạng làm mịn, mở rộng d fu an nv a lu Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài oi m ll z at nh Nguyễn Khải Hoàn z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Trong chương luận văn, chúng tơi xin trình bày mở đầu số va bất ng thc ni ting l bt ng thc Hăolder, bt đẳng thức Minkowski n tn to bất đẳng thức Aczél Đây kiến thức tảng để chứng minh, p ie gh làm rõ bất đẳng thức Bellman mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [2],[5], [6], [8] oa nl w 1.1 Bất đẳng thức Hă older d a lu fu an nv nh lý 1.1 ([2]) Cho > 0, bi > 0, i = 1, 2, , n p > Khi ! p1 api Đẳng thức xảy ! 1q bqi i=1 αapi = > n X + q = với bi (1.1) i=1 z at nh i=1 n X oi m ll n X p βbqi với i = 1, 2, , n, α z β số thực thỏa mãn α2 + β > Pn = Pn Pn p i=1 > Pn q i=1 bi > an Lu Giả sử = (1.1) xảy đẳng m co thức q i=1 bi l p i=1 gm @ Chứng minh Nếu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Chứng minh hoàn thành 3.5 Sự tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman Lấy cảm hứng từ tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz bất đẳng thức Holder, X.Zhou ([10]) tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman Để xây dựng bất đẳng thức Bellman dạng hàm, cần bổ lu đề sau an n va Bổ đề 3.18 Cho xi (i = 1, 2, , n) số thực dương thỏa mãn p ie gh tn to x1 − x2 − · · · − xn > p > Khi xp1 − n X xpi > x1 − i=2 n X !p xi (3.36) i=2 oa nl w d Chứng minh Từ giả thiết: p − > 0, x1 > x2 + · · · + xn ta có !p−1 ! !p n n n n n X X X X X p x1 − xi + xi xp−1 xi = x1 − xi x1 − xi + i fu an nv a lu i=2 i=2 x1 − m ll i=2 n X ! xi x1p−1 + i=2 i=2 n X i=2 xi x1p−1 i=2 oi Chứng minh hoàn thành z at nh = xp1 z @ gm Bổ đề 3.18 tổng hóa mệnh đề sau l m co Mệnh đề 3.19 ([10]) Cho n số nguyên dương xi (i = 1, 2, , n) P số dương cho x1 − ni=2 xi > Nếu f : R+ → R hàm số thỏa an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 mãn f (x)/x tăng R+ x1 − f ! n X f (x1 ) − xi i=2 n X f (xi ) (3.37) i=2 Bất đẳng thức đổi chiều f (x)/x giảm R+ Bất đẳng thức nghiêm ngặt f (x)/x tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt R+ Sau định lý bất đẳng thức Bellman tổng quát dạng hàm lu Định lý 3.20 ([10]) Cho m, n số nguyên dương, p > 1, xij (i = P 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − ni=2 xij > an n va với j = 1, 2, , m Nếu fj : R+ → R+ hàm số thỏa fj (x)/x hàm m X x1j − fj p ie gh tn to tăng R+ n X ! xij (fj (x1j ))p − oa nl w " !p m X n X # p1 (fj (xij ))p i=2 j=1 i=2 j=1 " m X − fj (x1j ) d j=1 m n X X !p # p1 fj (xij ) j=1 i=2 a lu (3.38) fu an nv Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.19 cho hàm số fj (j = 1, 2, , m) fj xij − j=1 n X ! xij i=2 m X z at nh m X oi m ll ta có fj (x1j ) − j=1 n X ! fj (xij ) (3.39) i=2 z fj (xij ) m X j=1 " n X (fj (x1j ))p − m co i=2 ! l j=1 fj (x1j ) − n X gm m X @ Áp dụng Bổ đề 3.18 ta có # p1 (fj (xij ))p i=2 an Lu (3.40) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Từ (3.39) (3.40) suy m X fj x1j − n X j=1 ! xij m X i=2 " (fj (x1j ))p − j=1 n X # p1 (fj (xij ))p i=2 Bất đẳng thức thứ (3.38) chứng minh Dễ thấy bất đẳng thức hai (3.38) p = Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai p > Từ Mệnh đề 3.19 ta có ! n n X X fj (x1j ) − fj (xij ) > fj x1j − xij > 0, i=2 i=2 lu an với j = 1, 2, , m Áp dụng bất đẳng thức trên, bất đẳng thức trung n va j=1 j=1 i=2 i=2 j=1 p ie gh tn to bình lũy thừa ( Bổ đề 3.5) bất đẳng thức Minkowski (1.14) ta !p ! p1 p !p  m m n m n X X X X X fj (xij ) (fj (xij ))p  > fj (x1j ) >  oa nl w Tiếp tục trình, áp dụng bất đẳng thức Aczél ta ! p1 " m !p !p #1− p1 m n n X X X X (fl (x1l ))p − (fl (xil ))p fj (x1j ) − fj (xij ) j=1 d i=2 a lu m X fu an nv fl (x1l ) i=2 !p−1 − fj (x1j ) n X j=1 j=1 m X fl (xil ) i=2 !p−1 fj (xij ) , j=1 oi m ll với l = 1, 2, , m Điều dẫn đến  ! p1  m n X X  (fl (x1l )p − (fl (xil ))p  z at nh i=2 l=1 " − fj (x1j ) fj (x1j ) − n m X X i=2 i=2 ! l=1 p fj (xij ) j=1 !p−1 fj (xij ) j=1 an j=1 j=1 ! p fl (xil ) m X Lu l=1 m X − fj (x1j ) ! m co = fl (x1l ) n m X X l i=2 m X !p−1j=1 fj (xij ) gm j=1 m X !p #1− p1 @ × n m X X z m X !p n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Chứng minh hoàn thành Đặc biệt, với fj (x) = x, ∀j = 1, 2, , m ta có hệ sau: Hệ 3.21 ([10]) Cho m, n số nguyên dương, p > 1, xij (i = P 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − ni=2 xij > với j = 1, 2, , m Khi ta có ! ! p1 m n m n X X X X x1j − xij xp1j − xpij j=1 i=2 j=1 lu an " i=2 !p m X va − x1j n j=1 n m X X i=2 !p # p1 xij j=1 to p ie gh tn Tiếp theo, sử dụng tách tổng x1j − n X xij = x1j − i=2 l X n X xij − i=2 xij , (3.41) i=l+1 oa nl w ta làm mịn bất đẳng thức (3.38) sau d fu an nv a lu Định lý 3.22 ([10]) Cho m, n, l số nguyên dương < l < n, m ll p > 1, xij (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho P x1j − ni=2 xij > với j = 1, 2, , m Nếu fj : R+ → R+ hàm số oi thỏa mãn fj (x)/x hàm tăng R+ ! m n X X fj x1j − xij i=2 x1j − (fj (x1j ))p − n X (fj (xij ))p i=l+1 # p1 (fj (xij ))p i=2 an Lu j=1 i=2 " − # p1 m co m X xij n X l j=1 !!p gm fj l X @ " z m X z at nh j=1 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36  m X  (fj (x1j ))p − j=1 " m X l X ! p1 p n X p  (fj (xij )) − i=2 !p fj (x1j ) i=l+1 j=1 i=2 !p  p1 fj (xij )  j=1 !p # p1 n m X X − m X fj (xij ) j=1 (3.42) Chứng minh Sử dụng (3.41) bất đẳng thức thứ (3.38) ta có ! " ! # m l n m n X X X X X fj x1j − xij = fj x1j − xij − xij lu i=2 j=1 j=1 an va n m X i=2 " fj i=l+1 l X x1j − !!p − xij i=2 # p1 (fj (xij ))p i=l+1 tn to j=1 n X p ie gh Sử dụng lại bất đẳng thức thứ (3.38), # p1 " l n m X X X (fj (x1j ))p − (fj (xij ))p − (fj (xij ))p oa nl w i=2 j=1 p (fj (x1j )) − d = m X " a lu j=1 n X i=l+1 # p1 (fj (xij ))p i=2 fu an nv Bất đẳng thức thứ thứ hai (3.42) chứng minh xong oi m ll Tiếp tục q trình, ta có " # p1 m n X X (fj (x1j ))p − (fj (xij ))p i=2 " j=1 (fj (x1j ))p − l X i=2 ! p1 p n X p  − (fj (xij )) m X i=l+1 j=1 m co m X i=l+1 l  i=2 (fj (xij ))p gm j=1  (fj (xij ))p − # p1 n X @ (fj (x1j ))p − l X z = m X z at nh j=1 !p  p1 fj (xij )  an Lu theo bất đẳng thức thứ hai (3.38) Sử dụng bất đẳng thức thứ hai n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 (3.38) lần " m !p !p l m n X X X X fj (x1j ) − fj (xij ) − j=1 " = i=2 m X !p − fj (x1j ) j=1 j=1 n m X X i=2 m X i=l+1 !p # p1 fj (xij ) j=1 !p # p1 fj (xij ) j=1 Chứng minh hoàn thành Chọn fj (x) = x Định lí 3.22 ta có hệ sau: lu an Hệ 3.23 ([10]) Cho m, n, l số nguyên dương < l < n, n va gh tn to p > 1, xij (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho P x1j − ni=2 xij > với j = 1, 2, , m Khi ta có p ie m X ! xij i=2 " m X x1j − j=1 oa nl w j=1 x1j − n X l X − xij i=2 m X xp1j − n X n X # p1 xpij i=l+1 ! p1 xpij d m X fu an nv a lu i=2 j=1  xp1j − " !p  j=1 ! p1 p n X p xij  − x1j − i=l+1 n m X X z at nh j=1 oi m X l X i=2 m ll !p i=2 m X !p  p1 xij  j=1 !p # p1 xij j=1 (3.43) z @ m co l gm Bất đẳng thức thứ ba bất đẳng thức thứ tư chứng minh Chương an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Bất đẳng thức Bellman đảo lu an Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Bellman với n va trường hợp < p < số dạng mở rộng, làm mịn Nội dung p ie gh tn to chủ yếu hình thành từ tài liệu [4] 4.1 Bất đẳng thức Bellman đảo oa nl w Trong phần này, phát biểu chứng minh bất đẳng thức d Bellman đảo dạng tổng quát với m số P Định lý 4.1 ([4]) Cho aij > 0, ap1j − ni=2 apij > 0, i = 1, 2, , n, j = fu an nv a lu oi m ll 1, 2, , m !p − a1j z at nh j=1 m X i=2 j=1 m n X X i=2 !p aij (4.1) j=1 z Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Minkowski apij (4.2) aij gm @ j=1 j=1 i=2 j=1 !p aij  > m X n X j=1 i=2 ! p1 p apij  n va 38 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (4.3) an m X Lu n X i=2 m co hay l i=2 si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Như vậy, ta có  m X ap1j −  j=1 n X ! p1 p !p n m X X apij  + aij i=2 i=2 j=1 (4.4) ! p1 p ! p1 p  m n m n X X p X p X p aij  > a1j − aij  +   j=1 j=1 i=2 i=2 lu Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Minkowski tổng quát với 1/p > 1, ta có  ! p1 p  m ! p1 p !p m n n m X X X X X  ap1j − apij  +  apij  > ap1j p an j=1 i=2 j=1 i=2 j=1 n va (4.5) tn to Kết hợp (4.4) (4.5), ta  !p ! p1 p n m m n X X X X  aij > ap1j − apij  + p ie gh m X i=2 i=2 j=1 a1j j=1 oa nl w hay j=1 !p  j=1 ap1j − n X a lu  d m X ! p1 p apij  > i=2 m X !p a1j − m n X X aij j=1 i=2 j=1 !p fu an nv Chứng minh hoàn thành m ll oi Với m = ta kết sau z at nh z Hệ 4.2 ([4]) Cho số thực dương , bi (i = 1, 2, , n) bp1 − ni=2 bpi > Ta có ! p1 ! p1 ! p1 n n n X X X ap1 − api + bp1 − bpi > (a1 + b1 )p − (ai + bi )p gm @ i=2 m co i=2 l i=2 (4.6) an Lu Đẳng thức xảy = µbi (i = 1, 2, , n), µ số n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 4.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo Định lý 4.3 ([4]) Cho aij > 0, ap1j − Pn p i=2 aij > 0, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m,  a1j − aij  j=1 i=2 j=1 n X m X i=k+1 m X j=1 − lu an > i=2 !p (4.7) aij !p − a1j va j=1 n m X X i=2 !p aij j=1 n p ie gh tn to Chứng minh Xét vế trái (4.7) ta có ! p1 ! p1 k n m n m X X X X X ap1j − apij − apij = ap1j − apij j=1 i=2 oa nl w j=1 = d m X n X Apj − j=1 i=k+1 (4.8) ! p1 apij , i=k+1 fu an nv a lu i=2 Aj = m ll ap1j − k X ! p1 apij , j = 1, 2, , m (4.9) i=2 oi Từ giả thiết ta suy n X z at nh Apj > apij (4.10) i=k+1 z @ gm Áp dụng bất đẳng thức (4.1) ta ! p1 m n m n X m X X X X p p Aj − aij > Aj − aij l i=k+1 j=1 m co j=1 (4.11) i=k+1 j=1 an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Mặt khác, sử dụng tiếp bất đẳng thức (4.1) ta ! p1 m m k m k X m X X X X X p p Aj = a1j − aij > a1j − aij j=1 j=1 i=2 j=1 (4.12) i=2 j=1 Kết hợp (4.8), (4.11) (4.12) ta có điều phải chứng minh 4.3 Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân Trong phần này, ta chứng minh kết hợp bất đẳng Bellman đảo dạng lu an tích phân làm mịn va n Định lý 4.4 ([4]) Cho Bj > (j = 1, 2, , m), Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có a " Bjp − oa nl w m X p1 #p c Z b Bjp − fjp (x)dx − a c j=1 ! ! p p Z m m b X X Bj − fj (x) dx a !p fj (x) dx (4.13) m ll j=1 m X j=1 fu an nv > fjp (x)dx p1 #p a lu > b a Z d " j=1 m X Z j=1 oi z at nh Chứng minh Ta cần chứng minh bất đẳng thức thứ (4.13) Bất đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự z Với số nguyên dương n l, ta chọn phân hoạch [a, c] [c, b] gm @ tương ứng sau l m co c−a c−a c−a < ··· < a + k < ··· < a + (n − 1) < c, n n n b−c b−c b−c c 0, l→∞ l l an va i=1 n p ie gh tn to với j = (1, 2, m) Do đó, tồn số nguyên dương N cho " n # l X X k(c − a) c − a i(b − c) b − c Bjp − fjp a + + fjp c + > 0, n n l l i=1 k=1 oa nl w với n, l > N j = 1, 2, , m Áp dụng Định lý 4.1, với n, l > N , ta có d ( a lu m X " n X k(c − a) c − a − a+ n n j=1 k=1 #)1/p l X i(b − c) b − c + fjp c + l l i=1 " #1/p m n X X c − a k(c − a) > Bjp − fjp a + n n j=1 k=1 # " 1/p l m X X i(b − c) b−c − fj c + l l i=1 j=1 fjp oi m ll fu an nv Bjp z at nh (4.14) z gm @ l m co Vì fj (x) (j = 1, 2, , m) khả tích Riemann [a, b] nên Pm j=1 fj (x) ta (4.13), chứng minh hoàn thành an Lu fjp (x) khả tích Riemann [a, b] Cho n, l → ∞ hai vế (4.14) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Hệ 4.5 ([4]) Cho 0, f, g dương, khả tích Rb Rb [a, b] cho ap1 − a f p (x)dx > bq1 − a g q (x)dx > Khi đó, với t ∈ [a, b), ta có " ap1 − " b Z a a ap1 > p1 #p p1 Z b g p (x)dx f p (x)dx + bp1 − Z − t f p (x)dx p1 p1 #p Z t + bp1 − g p (x)dx a Z a b (f (x) + g(x))p dx t Z b p (f (x) + g(x))p dx > (a1 + b1 ) − − lu an n va a p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu bất đẳng thức Bellman Luận văn đạt số kết sau lu an Giới thiệu bất đẳng thức Bellman làm rõ bất đẳng thức Bellman n va dụng chúng p ie gh tn to Trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng oa nl w Bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận phản hồi quý Thầy Cô d bạn để luận văn hoàn thiện oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va 44 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tài liệu tham khảo [1] Ch-J Zhao and W-S Cheung, Generalizations of Popoviciu’s and Bellman’s Inequalities, Bulletin Brazilian Mathematical Society, 11 pages, lu an 2019 va n [2] D.S Mitrinovíc, P.M Vasíc, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, to gh tn New York, 1970 p ie [3] Farid, G.Pecaric, J.Ur Rehman, On refinements of Aczel’s, Popovi- ciu, Bellman’s inequalities and related results, J Inequal Appl 2010, oa nl w 579567 (2010) d fu an nv a lu [4] J-F Tian and S-Y Wang, Refinements of Generalized Aczél’s inequality and Bellman’s inequality and their applications, Journal of Applied Mathematics, 2013, pages, 2013 m ll oi [5] P M Vasic and J E Pecaric, "On the Holder and some related in- z at nh equalities", Mathematica, vol 25, no 1, pp 95–103, 1982 z gm @ [6] P M Vasic and J E Pecaric, “On the Jensen inequality for monotone functions”, Analele Universitatii din Timis,oara, vol.17, no 1, pp l m co 95–104, 1979 math, monthly 63, 108-109 (1956) n va 45 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn an Lu [7] R.Bellman, On an inequality concerning an indefinite form, Amer, si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn