PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN - LỚP Ngày thi: 06/12/2020 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 701 C A D A B D B A D C B C B A D C C D A B ĐÁP ÁN CÁC MÃ ĐỀ 702 703 D B B D D D B C B A A D C D D C D B B B C C C A C C A C A B A A D A A B C A B D 704 B D D D C D D A C A A C B B C B B C A A II PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) Câu (3,0 điểm): x : , với x 0; x 1 x x x x x a Rút gọn biểu thức A b So sánh A A HƯỚNG DẪN CHẤM Cho biểu thức A Câu Nội dung 1.a + Với x 0; x 1 , ta có (2 1 x x x (1 x ) : điểm) A x (1 x ) (1 x )(1 x x) 1 : x (1 x ) (1 x )(1 x x) điểm 0,5 0,5 Trang 1/5 x (1 1 x) (1 x )(1 x x) 0,25 xx x 0,5 1 Kết luận: Với x 0; x 1 A x x x 0,25 Với x 0; x 1 , ta có 1 A x x x 1 x x 1.b với x 0; x 1 Chứng minh x (1 x điểm) A x A A A ( A 1) x A A A A Kết luận:… 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (6,0 điểm): a Giải phương trình: x x 14 x b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x ( y 3) y ( x 3) c Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a 2016 b 2017 c 2018 chia hết cho a 2018 b 2019 c 2020 chia hết cho Câu 2.a Điều kiện xác định: x (2 điểm) x x 14 x HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung 0,25 x x 14 x ( x 2)( x 2) ( x 14 2)( x 14 2) ( x 3)(x 3) x 1 x 14 x 6(x 3) ( x 3)(x 3) x 1 x 14 ( x 3) x 0 x 14 x 1 x 3 x (1) x 14 x Với x Chứng minh được: Suy điểm 16 12 30 x x 1 x 14 x 3 x 1 x 14 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 2/5 Phương trình (1) vơ nghiệm Kết luận:… y x2 Do x, y nên x ( y 3) y ( x 3) x y y x x 2 0,25 + Nếu x 1 4 y 1 (thỏa mãn) y 0.25 + Nếu x 2 y (không thỏa mãn) y 0,25 2.b x 3 x x 2 + Nếu (2,0 y x điểm) 0,25 y 3 y 1( y Z ) x2 0,25 9 x 10 x x 0,25 x 9 x 3 x 3 (thỏa mãn) x 1 x 1 0,25 Vậy nghiệm nguyên dương x; y phương trình cho 1;1 ; 3;1 0,25 Ta có: a 2018 b 2019 c 2020 (a 2016 b2017 c 2018 ) a 2016 (a 1) b 2017 (b 1) c 2018 0,5 (c 1) 2.c a 2015 (a 1).a.(a 1) b2016 (b 1).b.(b 1) c 2017 (c 1).c.(c 1) (2,0 điểm) Vì tích số nguyên liên tiếp chia hết (a 1)a(a 1);(b 1) b(b 1);(c 1) c( c 1) chia hết cho 2018 b2019 c 2020 a 2016 b 2017 c 2018 6 Suy a Mà a 2016 b 2017 c 2018 6 nên a 2018 b 2019 c 2020 6 (Đpcm) 0,25 0,5 0,25 0,5 Câu (4,0 điểm): Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Trên tia đối tia AB lấy điểm M bất kỳ, kẻ tiếp tuyến ME (O; R) ( E tiếp điểm) Gọi K điểm cố định thuộc (O; R) cho K thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm E ( K khác A B ), N giao điểm thứ hai MK với (O; R) cho N nằm hai điểm M K Kẻ EH vuông góc với AB H ; OP vng góc với MK P Đường thẳng EH cắt đường thẳng OP F a) Chứng minh: OH.OM không đổi MA.MB = MH.MO b) Chứng minh M di chuyển tia đối tia AB điểm F nằm đường thẳng cố định HƯỚNG DẪN CHẤM Trang 3/5 Câu điểm E M A N H B O P K F 3.a (2,5 điểm) Chứng minh OME vng E , có đường cao EH 0,5 Chỉ hệ thức OE = OH.OM 0,5 Suy OH.OM = R không đổi 0,5 OME vuông E , đường cao EH nên ME MH MO (1) 0,25 Ta có: ME MO OE MO OB 0,25 ME MO OB MO OB MB.MA (2) 0,25 Từ (1) (2) suy ra: MA.MB = MH.MO (đpcm) Chứng minh OHF đồng dạng với OPM suy OH.OM = OP.OF 3.b (1,5 điểm) 0,25 (3) 0,25 Ta có: OH.OM = R = OK (4) 0,25 Từ (3); (4) suy ra: OP.OF = OK 0,25 Chứng minh OPK đồng dạng với OKF Chứng minh KF tiếp tuyến K (O; R) 0,25 0,25 Vì (O) K cố định nên tiếp tuyến K đường tròn (O) cố định Do điểm F nằm đường thẳng cố định tiếp tuyến (O; R) K Câu (1,0 điểm): 1 27 32 Tìm giá trị lớn biểu thức Cho ba số a, b, c 1 thỏa mãn 18( ) ab bc ca abc 0,25 a2 b2 c2 a b c P HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Chứng minh bất đẳng thức : Với x, y , z 0 , ta ln có x y z 3( x y z ) Từ bất đẳng thức cho ta có: P 1 điểm 0,25 1 1 1 1 ( ) 3( ) a b c a b c a b c 1 Suy P ( ) a b c Trang 4/5 1 27 ) 32 (*) ab bc ca abc 1 1 1 1 1 ( )3 Ta có ( ) ab bc ca a b c abc 27 a b c 0,25 1 Đặt t Từ (*) ta có a b c t t3 18.( ) 27.( ) 32 t 6t 32 0 (t 2)(t 4) 0 t 2 27 0,25 Từ giả thiết 18( 1 Suy P ( ) 22 P a b c Dấu “=” xảy a b c Vậy giá trị lớn P Tổng điểm 0,25 10 điểm Lưu ý chấm bài: - Điểm toàn làm tròn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic - Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai không chấm chứng minh Trang 5/5