Sách mỗi tuần một bài toán hình học thầy Trần Quang Hùng, sách ôn thi học sinh giỏi Quốc gia phần hình học, ôn thi chuyên toán, tài liệu dạy đội tuyển trường Trung học Phổ Thông Chuyên Khoa Học Tự Nhiên
Trang 1Tần 0U2n Hùng, ãi tuân một bài toán Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
à một chuyên mục hàng tuần trên blog
sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một
nh học do tôi sáng tác và những lời giải
đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một
ay sé |
"Hình học
[J pai toan hi toi thay tam
i toon cho tuần sau
m giác ABC nội tiếp trong đường tròn (Ø) có tâm nội
Đa ghâu giác AD Gọi KC, [lầu lượt là tâm nội tiếp tam
‘itp ABD, ACD J là tâm ngoại tiếp tam gidc AKL IJ cat
or ran ngoại tiếp tamu giée ZICL tai P khác 7 Climg minh
2 : ngoại tiếp tam giác PBC uầm trên (O)
Lời giải
jij sau cla bạn Nguyễn Quang Trung lớp 12 Toán trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình
x
Aitiy LIKL = 90° — ZKAL = 90° - <BAC = 180° -— ZBIC = ee do đó tiếp xúc (PL) Tương tự L.J cing tiép xic
ụ tên tứ giác PKJL điền hòa Lấy M'
gp | PL Tid ta có biến đổi ty 96 BE = FE = 45 ñ 2h = Tự Lại dễ thấy 2PKB AP = BK eh = Hh = ZPLM tam gisc PIB va PLM déng dang Tx đó suy hai Bị = t CL siée PKL va PBI đồng
180° — ZK IL = 90° — “HẠC, Tương tự ⁄PCI = 90° — “Bac, ta suy ra ZBPC = 360° — ZBAC hay tain ngoại tiếp X của PBC
uằm trên (Ó)
Nhận xét
Bài toán này được tác giả phát triển từ một bài tốn vơ địch
Ba Lan năm 2016 Bạn Nguyễn Quang Trung cho lời giải đẹp
khác đáp áu như trên Ngoài ra bạu Trương Mạnh Tuấn lớp 12 Toán THPT chuyên KHTN cho lời giải tại đây
Bài toán để nghị
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn () và có tâm nội tiếp TP là một điểm nằm trong tam giác sao cho ZPBA = ZPCA
D, E, P là hình chiếu của P len BC, CA, AB Trén CA, AB lay
M,N sao cho IM || PB, IN || PC MN c&t (0) tai Q, R QI
RI ct lai (O) tai K, L Cac đường thẳng qua B, C lin lugt song song vói DF, DE cắt nhau tại J Chứng mỉnh rằng 7J L KL
J
dạng Vậy ZPBI = ZKPL = Moi trao déi xin gửi về email analgeomatica@gmail.com
Trang 2
Mỗi tuần một bài toán
Trần Quang Hùng, Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
ay sẽ là một chuyên mục hàng tuần trên blog "Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một
bài toán hình học đo tôi sáng tác và những lời giải
mà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một bài toán cho tuần sau i
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm nội tiếp 1 P là một điểm nằm trong tam giéc sao cho ZPBA = ZPCA
D, E, F là hình chiếu của P lên BC, CA, AB Trên CA, AB lay
M, N sao cho IM || PB, IN || PC MN cé&t (0) tai Q, R QU,
Rĩ cắt lại (O) tại K, L Các đường thẳng qua Ö, Œ lần lượt song
song với DF, DE cắt nhau tại J Chứng minh rằng JJ 1 KL
Jv
Goi 1M, IN lần lượt cắt các đường tròn (IAC), (IAB) tai T, S khác ï Ta thấy MI : MT = MA - MƠ = MR- MQ nên T nằm
trên đường tròn (1Q/R) Tương tự Š nằm trên đường tròn (1qR)
Gọi 1M, IN lần lượt cắt KL tại U, V Ta có <UK1I = 2IRQ =
2ITQ nên tứ giác KU@T nội tiếp Gọi BĨ cắt (O) tai X khác
B Tasuy ra IU -IT = IK -IQ = I1B-IX do đó tứ giác BUXT nội tiếp mà tam giác XIT cân tại X do đó tam giác UBT cân
tại U Goi G ding giác P trong tam giác ABŒ Do JU || PB
122
nên Ư nằm trên BƠ Cũng dễ thấy GB 1 DE || BJ || Bu
Tương tự GŒ L CJ Tx d6 JB tiếp xúc đường tròn (U,UB)
Vậy Puy) = UB? = UP? = Puro) do d6 U nim trén trục đẳng phương của đường tròn (J) và đường tròn điểm 7 Tương hay KL là trục đẳng phương của đường tròn
tự với V nên UV
(J) và đường tròn điểm I do 46 IJ 1 KL
Nhận xét
Bài toán này được tác giả phát triển từ bài toán chọn đội tuyển
THPT chuyên ĐHSP năm 2017 Bạn Nguyễn Minh Hiếu gửi tới tác giả lời giải tương tự đáp án, bạn Trương Mạnh Tuấn
lớp 12 Toán THPT chuyên KHTN cho lời giải dùng định lý Pascal
rất thú vị
Bài toán đề nghị
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) P di chuyển tren phân giác trong góc Z BÁC E, Ƒ là hình chiếu của P lên
CA, AB EF cắt (O) tại M, N MP, NP cắt lại (0) tại Q, R
Chứng mỉnh rằng đường thing qua ?P vuông góc Q# luôn đi qua
một điểm cố định khi P di chuyển
Trang 3
Mỗi tuân một bài toán
tận quang Hùng, Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
ay sẽ là một chuyên mục hàng tuần trên blog
"Hình học sơ cắp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một
bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải
ima toi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một
bài toán cho tuần sau
trên phân giác trong góc ZBAC E, Ƒ là hình chiếu của P lên
GA, AB EF cắt (O) tại M,N MP, NP cắt lại (O) tại Q, R
g minh rằng đường thẳng qua P vuông góc Q# luôn đi qua
nột điểm có định khi P di chuyển
lời giải kết hợp ý tưởng lời giải gốc của tác giả và của bạn
tơng Tuấn Nghĩa lớp 9 Toán trường Hà Nội Amsterdam Bố đề Cho tam giác ABC có B,C cố định và A di chuyển
Dựng ra ngoài các tarn giác cin CAQ, A.BR cân tại Q, R có các góc ZQ = ⁄R = œ không đổi Dựng ra ngoài tứ giác BƠRQ tam
đi qua một điểm cố định khi A di chuyển
Chứng mình Gọi PA cắt trung trực BƠ tại X Gọi giao điểm
Ác P của ÁP và (PQR) là M Khi đó ZQMP = ZQRP =
QỠA suy ra tứ giác BAMQ nội tiếp Tương tự CAMR nội
Hep Ta suy ra ZAMB = ZAQB = ZARC = ZAMC do d6 MX là phân giác ⁄B.MC vậy tứ giác MBXC nội tiếp Từ đó
BC = LXMC = ZARC = a không đổi do đó X có định
Fˆ^
Giải bài toán Gọi (K), (L) là đường tròn ngoại tiếp các tam
giác PCA, PAB PE, PF lần lượt'cắt (K), (L) tại Y, Z khác P Ta thấy EM - EN = EA- EC = EP EY suy ra Y nim
trên đường tròn (PMN) Tương tự Z nằm trén (PMN) Goi
Ó là tâm đường tron (PMN) ta suy ra GK L GV L AC
suy ra GK || AC Tuong ty GL || AB Từ đó ta dễ suy ra
ZKGL = ZBAC = 2ZPAB = ZPLB = ZPKC Tw dé ta 6 các tam giác cân GKL, LPB và KPC lần lượt cân tại Œ, L
va K đồng thời các góc ở đỉnh bằng AC không đổi Từ đó
theo bổ đề PG đi qua điểm cố định Do MNR nội tiếp nên PG 1 QR Ta có điều phải chimg minh
Nhận xét
Bài toán này được tác giả phát triển từ bài toán chọn đội tuyển
SP năm 2017 Ban đầu tác giả có ý tưởng dựng ra các điểm Y, Z và dùng trục đẳng phương nhưng bạn Nghĩa đưa ra bổ đề làm
lời giải gọn hơn Bạn Trương Mạnh Tuần lớp 12 Toán THPT
chuyên KHTN cho lời giải tại đây Bạn Nguyễn Việt Dũng
lớp 12 Toán, THPT chuyên Hạ Long gửi lời giải qua email
Bài toán để nghị
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với trực tâm H AH cắt (Ó) tại
P khác A PB, PC lần lượt cắt ÓC, O8 tại Q, R K đối xứng
với trực tâm tam giác PQR qua BC LA cắt HB, HC tại S, 1 Chứng minh ring CS va 87 cắt nhau trên dudng tron (BHC) Mọi trao đổi xin gửi về email analgeomatica@gmail.com
Trang 4
Mỗi tuần một bài toán
Trân Quang Hùng, Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
"Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải
mà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một
bài toán cho tuần sau
fy sẽ là một chuyên mục hàng tuần trên blog
Dé bai
Cho tam giéc ABC néi tiép (O) vai truc tam H AH cat (0) tai
P khác A PB, PC lầu lượt cắt OC, OB tại Q R L đối xứng, với trực tâm tam giéc PQR qua BC LA cit HB, HC tai S, T Chứng mình rằng CS và BT cắt nhau trên đường tròn (BHC)
Lời giải
ZS
Gọi K là trực tâm tam giác PQR thì K, L đối xứng qua BC Gọi D là đối xứng của A qua BC Goi DK cắt PD, PC lầu lượt
124
tại E, F Như vậy sử dụng đối xứng trục BC thi T va F đối
xứng nhau qua BC tương tự S và E dối xứng qua BC Ta sé
chứng mình P8 EŒ cắt nhau tại Y“ thuộc (Ó), khi đó sử dụng đối xứng trục BƠ thì 7 và SC cing di qua X là đối xứng của
Y qua BƠ hiển nhiên X nằm trên (HBC) Do K la trực tâm tam giác PQR và D là trực tâm tam giác PBC nén D, K din nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính BQ và CñR Khi đó tiếp tuyến qua B, C cha (0) cất nhau tại Z thi dé thấy Z cũng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường
kính BQ và CR, do d6 DK di qua Z Ap dung dinh ly Pascal
dio dé suy ra FB EC cắt nhau tại Y thuộc (Ó)
Nhận xét
Bài toán này tác giả tạo ra nó nhờ định lý Pascal va đối xứng
trục như trong đáp án trên nhưng có một bạn gửi tới lời giải
thuần túy hình học rất thú vị cho tác giả và yêu cầu khơng ghi
tên
Bài tốn đề nghị
Cho tam giác 4BŒ có P và Q là hai điểm đẳng giác trong tam giác K là trung điểm PQ Các điểm D, E, Ƒ lần lượt thuộc BŒ,
CA AB sao cho KD || QA, KE || QB, KF || QC Goi Na, Nos
N; lan lugt lA tam đường tron Euler của tam gide PBC, PCA,
PAB Chimg minh ring KN, K Ny, KN lần lượt cắt EF, FD,
DE theo ba diém thing hang
Trang 5
sẽ là một chuyên mục hang tuần trên blog
Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một
J pai toin hình học do tôi sáng tác và những lời giải
i thy tam đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một toán cho tuần sau
tan giác ABC có P và Q là hai điểm đẳng giác trong tan
là trung điểm PQ Các điểm D, E, F lan lugt thuộc BC,
AB sao cho KD || QA, KE || QB, KF || QC Goi N„, Nụ,
n lượt là tâm đường tròn Euler của tam giác PBC, PCA, Chitg minh ring KN,, Ny, KN, lan lượt cắt EF, FD, itheo ba diém thing hing 2
oucelet thì các đường tròn Euler (N,), (Ni), (Ne) va dường
UVW) có một điển chung R Ta chú ý Q4, QB, QC lần
ôug góc với VIV, IVU, UV Lâáy Xị thuộc EF sao cho
+ KD Tương tự có Y¡, Z¡ thì Xi, Yj, Z; thing hing theo lý về cát tuyền trụ £ giao Gọi L la trite tim tam giác ƯVW,
ng tính chất tỷ số kép của chùm vuông góc, ta có biển đổi tỷ
8/8 = (EF,XX,) = K(EF,XX,) = U(WV,RL) Mu duge $6 PE 22 ME YE 22 ‹ U(WV, RL)
ôi tuần một bài toán
' Quang Hùng, Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
V(UW, RL) -W(VU, RL) =1 Từ đó X, Y, Z thẳng hàng theo
định lý Menelaus
Nhận xét
Ý tưởng trong lời giải cũng là cách tác giả tạo ra bài toán này
Diễm mắn chốt của lời giải này là dùng định lý Poncelet và
tính chất chùm vuông góc Có bạn Trương Mạnh Tuấn lớp 12
Toán, THPT chuyên KHTN cho lời giải tương tự đáp ấu
Bài toán đề nghị
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) với trung tuyến 4A Lấy P thuộc trung trực AB sao cho 4P L ẠC Lay Q sao cho PQ L AO va QO L AM Trung true CA cit AB tai E QE cit AC tai F Chứng minh ring tam ngoại tiếp tam giác AEF nam trén AM
5 Ì di xin gửi về e algoomatica9gmail.com
Trang 6
Mỗi tuần một bài toán
Trần Quang Hùng, Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN,
ay sẽ là một chuyên mục hàng tuần trên blog
{De học sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải xà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một
bài toán cho tuần sau
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) với trung tuyến AM Lấy P thuộc trung trực AB sao cho ÁP L AC Lấy Q sao cho PQ 1 AO va QO 1 AM Trung truc CA cit AB tai
E QE c&t AC tại F Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác AEF nim trén AM
Lời giải
Dựa theo lời giải của bạn Nguyễn Quang Trung lớp 12 Toán, THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình
Goi T là giao các tiếp tuyến qua B, Ở của (O) AT cắt (O) tại
khác A BŠ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OB7 tại L khác
126
DHQGHN
B PQ cắt AB tại R Ta thấy góc có cạnh tương ứng vuông góc
bằng nhau ZPBR = ⁄BAO = ⁄OBA do đó tứ giác PBOR nội tiếp Từ đó ZBRO = ZBPO = 90° — ZPAB = ⁄BAC do đó OR || AƠ Lại có AC L OE nên tam giác ROE vuông tại O
Vay ZORE = ZBAC = ⁄BOT nên hai tam giác vuông ORE và
BOT đồng dạng Lại có “TOL = ZTSL = ZACB = ZPOB = ZPRB va ZTBL = ZBAS = ZMAC = ZQOE, ta suy ra AOREUQ ~ ABOTUL Chi ¥ OA? = OS? = OM - OT nén OASM nội tiếp Tit day suy ra ZSAM = ZSOM = ZSLT =
ZOQE ma OQ 1 AM nén AS 1 QE Lai cé AM, AS đẳng giác
trong ⁄EAF nên tâm ngoại tiếp tam giác EAF nim trén AM
Nhận xét
Bài toán được tác giả tạo ra nhờ sử dụng phép nghịch đảo Có bạn Phan Quang Trí khoa toán đại học Sài Gòn cũng cho lời giải nghịch đảo tương tự
Bài toán đề nghị
Cho tam giác 4B nội tiếp trong đường tròn (O) cố định với B, € cố định và A di chuyển trên (O) E, # lần lượt đối xứng B, C qua CA, AB M là trung điểm EZƑ Chứng mỉnh rằng đường thẳng AM luôn đi qua một điểm cố định khi 4 di chuyển
E
Trang 7
ràn quang
ấi tuân một bài toán
Hùng Trường THPT chuyén KHTN, DHKHTN, BHOGHN
ạt chuyên mục hàng tuần trên blog học sơ cấp" Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một
He poh học do tôi sáng tác và những lời giải
bài tr tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một
sẽ là mí
iác ABC nội tiếp trong đường tròn (0) có định với B,
Git TỐ di chuyén trên (0) E, F lầu lượt đối xứng B,
có CA, AB M là trung điểm EF Chứng mỉnh rằng đường
thing AM Môn đi qua một điểm cố định khi A di chuyển
Lời giải
pạ the lời giải của bạn Huỳnh Bách Khoa lớp 12 Toán,
THPT chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận or G
Goi BK, BL la đường cao cia tam giée ABC N la trung diém
8C Dš thấy tứ giác NKMLL có các cạnh bằng Z£ nên NKML, Whinh thoi, Mat khác ZK NL = 180° - 2ZBAC khong déi va
geo Hin thoi khong déi nen MN có độ dài cố định Cũng từ
KML Whinh thoi thi MN || OA Goi AM cắt trung trực BƠ
WX thi $9 = JÉ9, không đổi do đó X có định Nhận xét
TM toán được tác giả tạo ra nhờ sử dụng bài toán tương tự viết
Ee tâm nội tiếp, Các bạn có thể kiểm chứng bài toán đó như ed :
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tron (0) va có
tâm nội tiếp J E, Ƒ lần lượt đối xứng với B, Œ theo thứ tự qua
1C, IB M là trung điểm của EF Chứng mình rằng TM i qua
giao điểm của hai tiếp tuyến qua B, Œ của (0)
Bài toán trên cũng được bạn Đỗ Trung Phương lớp 12 Toán,
'THPT chuyên Vĩnh Phúc tổng quát trên diễn đàn AoPS bằng cách thay J bởi điểm bắt kỳ trên phân giác Ngoài ra cũng xuất
hiện một tổng quát hơn nữa khi thay ï bởi điểm bất kỳ trong mặt phẳng như sau
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và P là điểm bất
kỳ trong mặt phẳng Tiếp tuyến qua B, Œ của (O) cắt nhau tại
T PA cắt (O) tại D khác A Các đường tròn (PAB), (PAC)
cắt lại CA, AB tại E, F PT cắt EF tại S TD cắt BC tại M
Chứng minh rằng $2 = 49
Có bạn Trương Mạnh Tuần lớp 12 Toán, THPT chuyên KHTN
cũng cho một lời giải khác
Bài toán đề nghị
Cho tam giác ABC va P bắt kỳ D đối xứng P qua BC Ó, là `
tâm ngoại tiếp tam giác PBƠ Kí, là tâm ngoại tiếp tam giác `
O,BC DO, cắt PK, tại X Lạ thuộc PA sao cho XL, 1 XKa |
Trang 8
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
_ 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Fax: (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xuất bản : Giám đốc - Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM Bién tap: ĐẶNG THỊ PHƯƠNG ANH - NGUYÊN VĂN THE Ché ban: PHAM HUYEN
Trinh bay bia:
PHAM VIET QUANG
Đối tác liên kết xuất bản :
CONG TY CO PHAN HOC LIEU SU PHAM
Dia chỉ: Số 7, B10, Dai học Sư Phạm Hà Nội, Cầu Giấy, Hà Nội
MOI TUAN MOT BÀI TỐN HÌNH HỌC
Mã số ISBN: 978-604-62-9735-2
In 1000 cuốn, khổ 17x 24cm, tại Công ty Cổ phân In Tổng hợp Cầu Giấy
Địa chỉ: Lô A2 CNI, Cụm công CN tập trung vừa và nhỏ Từ Liêm, P Minh Khai, Q Bắc Từ Liêm, Hà Nội
Số đăng kí KHXB: 3511-9017 ICXBIPHJ04 ~340/ĐHQGHN ngày 12/10/2017