PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ NINH BÌNH - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Môn Toán : Lớp (Thời gian làm bài: 150 phút) T-DH0-HSG8-12-THS - Bài 1: (4,0 điểm) Cho biÓu thøc x y x2 y y 4x4 4x2 y y : A 2 x y xy x y x y xy x Với x 0; y 0; x y; y 2 x a Rót gän biÓu thøc A b Cho y = tìm x để A Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: a x4 – 30x2 + 31x – 30 = b 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = Bài 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD, CE Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng ED Chứng minh: a EH = DK b SBEC + SBDC = SBHKC Bài 4: (4,0 điểm) a Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x y x y 60 37 xy b Tìm số nguyên x, y, z tho¶ m·n: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c > vµ a + b + c ≤ Chøng minh r»ng: 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab Bài 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ˆ Bˆ 2Cˆ A độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài cạnh tam giác ABC -Hết - PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NINH BÌNH - Mơn Tốn : Lớp T-DH01-HSG8-12-THS HƯỚNG DẪN CHẤMNG DẪN CHẤMN CHẤMM Bài Đáp án; Kết Điểm a (2,0 điểm) x y x y y x x y y A : 2y x y xy x x y xy x x y x y y ( x y )( x 1) A 2y x ( x y )(2 y x ) ( x y 2)(2 x y 2) 2x2 y ( x y )( x 1) x 1 A ( x y )(2 y x) (2 x y 2)(2 x y 2) ( y x)(2 x y 2) Bài 1: (4,0 điểm) 1,0 1,0 b.(2,0 điểm) với y = ta có : x 1 x x 11x 0 x 2x ( x 1)( x x 7) 0 A Tìm x = a (1,5 điểm) x4 – 30x2 + 31x – 30 = x x 30 x x 1 0 1,0 1,0 x x3 1 30 x x 1 0 x x 1 x x 1 30 x x 1 0 1,0 x x 1 x x 30 0 Bài 2: (3,0 điểm) 1 x x 30 0 vìx x x 2 x x x 30 0 x x x 0 Vậy S 6;5 x 5 0,25 0,25 b.(1,5 điểm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1) 0;( y 3) 0;( z 1)2 0 x; y; z Nên : (*) x 0 0 y z 0 x 1 y 3 z 0,5 0,5 0,5 a.(1,5 điểm) Gọi M, I trung điểm BC,ED Chứng minh MED cân tại M A K => MI ED D I P 0,5 Hình thang BHKC có: Q E BM = MC, MI // BH // CK H nên IH = IK mà ID = IE => EH = DK B Bài 3: (4,0 điểm) E' C M D' I' 1,0 b.(2,5 điểm) Vẽ EE’, II’, DD’ vng góc với BC - Chứng minh II’ đường trung bình hình thang EE’D’D nên: II’ = (EE’ + DD’) 0,5 2 1,0 => S BEC S BDC BC.EE' BC.DD' BC ( EE'DD' ) BC.II' (1) - Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK tại P Q - Chứng minh BPQC hình bình hành nên SBPQC = BC II’ - Chứng minh PIH = QIK nên SBPQC = SBHCK (3) Từ (1); (2); (3) => SBEC + SBDC = SBHKC 2 0,5 2 (1) x y x y 35 xy 60 x y 5 xy 3 xy Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0 xy - 3 xy 0 xy 4 (4,0 điểm) 0,5 x y x y 60 37 xy (1) a.(2,0 điểm) Bài 4: (2) xy 3 Do x, y Z => xy Z => xy 4 x y xy 3 - Nếu (vô nghiệm Z) x y 0 x 3 xy 4 x y x y 2 - Nếu 2 x y x y 0 x 4 x y 2 Vậy giá trị cần tìm x y 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 b.(2,0 điểm) V× x, y, z số nguyên nên x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 2 y y x 1 z 1 0 2 2 1,0 Mµ x y y 1 z 1 0 2 (*) x, y R 0,25 (*) x y y 1 z 1 0 2 2 y x 0 y 0 2 z 0 0,25 0,25 x 1 y 2 z 1 Kết luận: 0,25 1 (1) 9 a 2bc b 2ac c 2ab Đặt x = a 2bc ; y = b 2ac ; z = c 2ab Ta cã (1) Bài 5: (2,0 điểm) 0,25 0,25 x y z a b c 1 1 9 Víi x y z x + y + z ≤ vµ x , y, z > Áp dụng bất đẳng thức C«si cho ta cã: x y z 3 xyz đẳng thức xảy x = y = z 1 3 x y z xyz đẳng thức xảy 1 x y z . 9 => x y 1 9 x y z z 1 x y z Mµ x + y + z ≤ Bài 6: A B D 0,25 0,25 0,5 đẳng thức xảy x = y = z = 1/3 a = b = c = 1/3 (®pcm) (3,0 điểm) 0,25 C 0,25 Tam giác ABC có Aˆ Bˆ => BC > AC Trên cạnh CB lấy điểm D cho CA = CD Chứng minh được: Aˆ Aˆ Aˆ Dˆ Aˆ Bˆ Aˆ Aˆ Bˆ 2Aˆ Theo đề Aˆ Bˆ 2Cˆ => Aˆ Cˆ Đặt BC = a, AC = b, AB = c với a, b, c N , ta có: ˆ chung Tam giác ABC có Aˆ Cˆ (CMT); B => ABC DBA ( g g ) AB BC c a c a a b => BD AB a b c 0,5 0,5 (1) 0,5 Do cạnh tam giác ABC số tự nhiên liên tiếp a >b nên a – b = hoặc a – b = - Nếu a – b = a – c = => a = c + Thay vào (1) ta 0,5 c 2 c c c c 1 2 c 2 Khi a = 4, b = c 1 Ba số 2, 3, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác - Nếu a – b = a – c = = > a = c + Thay vào (1) ta được: c 2 c 2 c 1 c c 2 c 1 Vậy AB = 2, AC = 3, BC = c 2 (loại) c 3 0,5 0,5