ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN THI: TỐN LỚP Đề thi có 01 trang Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 x2 2x 2x2 1 Rút gọn biểu thức sau: A 2 2x 8 4x 2x x x x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x x 2013) 4( x x 2012) 4(2 x x 2013)( x x 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y3 Câu (2,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương 5x dư Chứng minh rằng: a(b c)(b c a ) c (a b)(a b c) b(a c)(a c b) Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh : 1 a (b c ) b (c a ) c (a b) -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Câu Câu Hướng dẫn giải Điểm (2.0 điểm) 0,25 Ta có x 2013x 2012 x 2013 x x 2013x 2013x 2013 (1.0 điểm) x x 1 x x 1 2013 x x 1 0.25 x x 1 x x 2013 0.25 2 Kết luận x 2013x 2012 x 2013 x x 1 x x 2013 x 0 x 2 0.25 0.25 ĐK: x2 2x 2x2 1 Ta có A 2 2x 8 4x 2x x x x x2 2x x2 x 2x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x ) x (2 x) 0.25 (1.0 điểm) x2 x ( x 1)( x 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x x x x x x( x 4)( x 1) x 2( x 4) x x ( x 4) 2x x 0 x 1 Vậy A với 2x x 2 0.25 Câu (2.0 điểm) a 2 x x 2013 Đặt: b x x 2012 0.25 Phương trình cho trở thành: (1.0 điểm) 0.25 0.25 a 4b2 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b Khi đó, ta có: x x 2013 2( x x 2012) x x 2013 2 x 10 x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm x 11 0.25 0.25 3 Ta có y x 2x 3x 2 x 4 3 xy (1) 0.25 15 (x 2) y 4x 9x 2x 16 3 y x2 (2) (1.0 điểm) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) 0.25 0.25 0.25 Câu (2,0 điểm) Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).( x) ax+b 0.25 Theo đề bài, ta có: (1.0 điểm) f (2) 24 f ( 2) 10 2a b 24 2a b 10 a b 17 0.25 Do đó: f ( x) ( x 4).( x) x+17 0.25 47 x 17 Ta có: a(b c)(b c a )2 c(a b)(a b c) b(a c)(a c b) 0 (1) xz a a b c x x y Đặt: b c a y b a c b z yz c Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) x Khi đó, ta có: (1.0 điểm) xz x y yz yz xz xy 2 y x ( x y )( x y ).z 2 2 xz x z yz z y 2 y x ( x y ) z 2 2 1 ( x z ) y ( z y ).x ( x y ).z 4 1 ( x y ).z ( x y ).z 0 VP(1) (đpcm) 4 VT(1) Câu 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3,0 điểm) E A B H F D (1.0 điểm) C M N Ta có DAM (cùng phụ BAH ) = ABF AB = AD ( gt) BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) ΔADM=ΔBAFADM = ΔADM=ΔBAFBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) 0.5 0.25 Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔADM=ΔBAFABH ΔADM=ΔBAFFAH (g.g) 0.25 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có HAB (cùng phụ ABH ) = HBC (1.0 điểm) ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH (c.g.c) 2 SΔADM=ΔBAFCBH S BC BC = ΔADM=ΔBAFCBH = = nên BC2 = (2AE)2 , mà (gt) S SΔADM=ΔBAFEAH AE ΔADM=ΔBAFEAH AE BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 0.25 0.25 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN = = CN MN AM MN 0.25 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (1.0 điểm) MN MC AB MC AD MC = = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.25 CN + CM MN AD AD CN CM = =1 + = + = MN MN AM AN MN MN 0.25 (Pytago) 2 1 AD AD + = AM AN AD AM AN (đpcm) 0.25 Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R x, y, z > ta có Câu 5: 1.0 điểm a2 b2 c a b c x y z xyz a b c Dấu “=” xảy x y z Thật vậy, với a, b R x, y > ta có a2 b2 a b x y x y Dấu “=” xảy a bx ay 2 (**) y b x x y xy a b (*) 0 (luôn đúng) a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a2 b2 c a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c Dấu “=” xảy x y z 1,0 điểm 0.50 1 2 1 Ta có: a b c2 a (b c) b (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 Mà 3 nên a b c Vậy 1 2 a b c ab ac bc ab ac bc 1 a (b c ) b (c a ) c (a b) 0.25 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c 1 2 1 1 1 Hay a b c ab ac bc ab ac bc a b c (Vì abc 1 ) 0.25 (đpcm) Điểm toàn (10,0 điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com