UBND THÀNH PHỐ THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Bµi : (4.0 ®iĨm) Cho biĨu thøc : M = a) Rót gän M ( x −1 − x −x +1 x + ) ( 1−x x + 1+ x ) b) Tìm giá trị bé M Bài : (4.0 ®iĨm) a, C/minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 với n N* 2 b, Giải phơng trình: x +y +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên Bài : (5.0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy ®iĨm K cho BK = AC Gäi E lµ trung điểm BC; F trung điểm AK C/m rằng: EF song song với tia phân giác Ax cña gãc BAC x + y + z3 =( x + y ) −3 xy ( x + y ) + z Bµi : (4.0 ®iĨm) a, Chøng minh r»ng 1 + + =0 x y z b, Cho A= TÝnh yz xz xy + + x2 y2 z2 Bµi : (3.0 ®iĨm) Cho tam giác ABC vng A, (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E M trung điểm BE Tính số đo góc AHM Hết t LỜI GIẢI Bµi : 4 2 ( x 2−1 )( x2 + 1)−x +x −1 x −1−x + x −1 x −2 ( = ( x −x +1 )( x +1) x +1 x +1 a) M = x4+1-x2) = 3 2 b) BiÕn ®ỉi : M = - x +1 M bÐ nhÊt x +1 lín nhÊt ⇔ x2+1 bÐ nhÊt ⇔ x2 = ⇔ x = ⇒ M bÐ nhÊt = -2 Bµi : a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho ( tích số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho A =3B chia hết cho 2 x 1 x x 1 2012 2013 b, Ta cã: 2011 2 x 1 x x 1 1 1 ⇔ ⇔ 2011 2012 2013 2013 x 2013 x 2013 x ⇔ ⇔ 2011 2012 2013 x 2011 x 2012 x 2013 2011 2011 2012 2012 2013 2013 1 (2013 x)( ) 0 2011 2012 2013 ⇔ (2006 - x) = 1 0 (vì 2011 2012 2013 ) x = 2006 Bµi : 1) a) chứng minh ABM đồng dạng AB AM = AC AN Δ ⇒ b) Tõ c©u a suy ra: đồng dạng ABC AMN = ABC ( hai góc tơng 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( Ax lµ tia phân giác) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) Bài : x + y + z3 =( x + y ) −3 xy ( x + y ) + z a, Chứng minh Biến đổi vế phải đc ®iỊu ph¶i chøng minh b, Nhận xét: Nếu a+b +c=0 3 3 th× a b c 3abc Thật vậy: a3 +b3 +c =( a+b ) −3 ab ( a+b ) +c =−c −3 ab (−c ) +c =3 abc CAN (g-g) AMN ứng) (vì a+b +c=0 nên a+b=c ) 1 1 + 3+ 3= + + =0 xyz x y z x y z ⇒ Theo gi¶ thiÕt yz xz xy xyz xyz xyz 1 A= + + = + + =xyz + + =xyz × =3 xyz x y z x y z x y z ( Bài : Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) ) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn