PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1) 18x - 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x 3 : Cho biểu thức: A = x x 2 x x 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = 2 a b b c c a Tính giá trị biểu thức: A = 1 a 1 b 1 c 2 x y a b 2 2 2) (1,5 điểm) Cho x y a b Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) x x x 4 x b) (x2 – 5x + 6) x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB HẾT -PGD&ĐT THỌ XUÂN Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG Mơn: Tốn Lớp Câu Nội dung x 9x 25 18x3 - 25 = 2x 2 2 2 x x x 5 5 3 a(a + 2b) - b(2a + b) = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 7 49 11 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x 2 7 5 x = = 7 7 x x 2 2 7 7 x x Vậy A = a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: x 0 x 1 x x 1 x 1 x 0 x x 0 Với x 1 , ta có: x 1 x x2 ( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) A= 0,5 0,5 1,0 ( x 1) ( x 3)( x 1) 4( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1) = (6 x x x x 3).2 = =4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c + a)(c + b) n n n Nếu b – y = y b x a y a b x y b a x b x y a b y a Nếu x + a = y + b n Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 0,5 0,5 (b c)2 (c a ) 1 ( a b )( a c )( b a )( b c )( c a )( c b ) Do đó: A = Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = (b – y)[(x + a) – (y + b)] = b y 0 x a y b a b 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x 4 x 1.a) (1) Vế trái luôn không âm với x nên 4x x 0 x nên x + > 0, x + > 0, x + > x x 1, x x 3, x x Do đó: (1) x + + x + + x + = 4x x = Vậy x = (x2 – 5x + 6) x = (1) Điều kiện: – x ¿ ⇔ x≤1 1.b) (*) (1) ⇒ x2 – 5x + = √ 1−x = ⇒ (x – 2)(x – 3) = – x = ⇒ x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 y x 0 x 0 (vì (y + 2x – 3)2 3(x – 2)2 0) x 2 y Vậy x = 2; y = -1 2015 1945 1930 0,5 0,5 Đặt f(x) = x + x + x - x - x + cho x – Gọi thương chia f(x) cho x2 – Q(x), dư ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức với x nên: - Với x = ta được: f(1) = a + b a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = (2) Từ (1) (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm x + 3 + + 4− = Ta có: A = x2 + 3x + = x2 + 2x 2 x+ + 3 7 x + ≥0⇒ x + + ≥ 2 4 >0 Với x, ta có: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 () ( ) ( ) 0,25 ( ) 49 ⇒ A≥ = =12, 25 () 3 x+ =0 ⇔ x=− 2 Dấu “=” xảy Vậy minA = 12,25 x = - 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P trọng tâm ABD Theo câu 1) P là trọng tâm ABD 2 1 AP AO AC AC 3 0,5 0,5 0,5 CQ AC Tương tự, ta có: AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI hình bình hành AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB KMI có E, F trung điểm MI, MK EF đường trung bình KMI EF= KI KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE AF = AE Tứ giác ABFE hình bình hành EF = AB (5) Từ (4) (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động cạnh CD Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5