§Ị thi chän ®éi tun häc sinh giái líp Năm học 2008 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau 2008 P = 2009 2008 2009 2008 2014 20082 4016 2009 Q= 2005.2007.2010.2011 10a 3b ab 0 2a b 5b a b a Bµi 2: BiÕt Chøng minh r»ng: 3a b 3a b Bµi 3: Chøng minh r»ng víi < 450, ta cã sin2 = 2sin cos · Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + 3(a + b + c) 2 Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: ab + 5b cb + 5c ac + 5a Hớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau P = 2009 2008 2009 2008 = 2008 =2 2005.2007.2010.2011 x 2008 2014 2008 4016 2009 Q= 2008 Đặt x = 2008, x x 2x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x x = x + Q = x x 1 x x = = 2009 Bµi 2: Ta cã 10a2 - 3b2 + ab = 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 2a - b = b = 2a 5a + 3b = 5a = -3b (loai) (2a - b)(5a + 3b) = 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a Víi b = 2a 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a µ µ 900; C Bµi 3: XÐt ABC cã A = KỴ trung · tuyến AM, đờng cao AH AMH Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = A B M H C a MC = m = c b h Ta cã sin = a ; cos = a ; sin2 = m c b 2bc 2ah 2h h a a m = sin2 Do ®ã 2sin cos = a a a A Bài 4: a/ Đặt AM = x (0 < x < c) x M B N 600 Q S= C P ax c - x 2c MN AM ax = MN = c Ta cã: BC AB c - x MQ = BM.sin60 = Suy diÖn tÝch cđa MNPQ lµ: = a x c - x 2c a+b a+b ab ab (a > 0, b > 0) 2 + Ta có bất đẳng thức: c2 x+ c-x x(c - x) = Dấu đẳng thức xảy khi: ¸p dơng, ta cã: c x = c-x x = S Suy ra: điểm cạnh AB a c2 ac ac c = S max = x= 2c VËy: hay M trung b/ Giả sử đà dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H' BC) E'F' BE' BF' F'G' = = = Ta cã: E'F'// EF F'G'// FG, nên: EF BE BF FG E'F' = F'G' Do E'F'G'H' hình vuông + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh A F E E' B F' H' H G' G AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông BH' = cotg60 = 3; + Ta cã: E'H' C BG' BH' + H'G' BH' cotgF'BC = = +1 = +1 F'G' F'G' E'H' Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F Vậy toán có nghiệm hình EF AE ax = EF = c ; + Đặt AE = x Ta cã BC AB (c - x) HE = c - x sinB = ax (c - x) c2 EF = EH = x= c 2a + c EFGH hình vuông, nên S = EF = Suy diện tích hình vuông EFGH là: Bài 5: Ta cã a2 + b2 - ab ≥ ab 3a c2 2a + c (a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b) a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a 19c3 - b 19a - c3 4c b; 4a - c ac + 5a T¬ng tù víi a, b, c > th×: cb + 5c Tõ ta có BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a 4b - a ab + 5b