PHỊNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGƠ QUYỀN MÃ ĐỀ T-02-HSG9-NQ-PGDTM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (2 điểm) 1 a) Tìm f(3) với x ≠ ta có f x 5f x x b) Phân tích biểu thức M thành nhân tử với M = (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình x + 3 x - 3 x + x 1 y + 1 = 2 x y + x + y 3 xy b) Giải hệ phương trình Câu (2 điểm) a) Cho số nguyên dương a1; a2; ; a900 thỏa mãn 1 60 a1 a2 a 900 Chứng minh tồn hai số b) Giải phương trình nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = y2 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cân B có ABC 400 O trung điểm cạnh AC, kẻ OK vng góc với AB (K AB) Điểm E thay đổi cạnh AB, điểm F thay đổi cạnh BC cho khoảng cách từ O đến EF OK 200 < AOE < 900 a) Tính số đo góc EOF b) Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác COF c) Xác định vị trí điểm E để AE + CF nhỏ Câu (1 điểm) Cho số dương a, b, c Chứng minh a b c a b bc 1 b c a bc a b Hết PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN MÃ ĐỀ T-02-HSG9-NQ-PGDTM Câu điểm 2 điểm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Đáp án Điểm a ( điểm) 1 f x 5f x x Cho x = 3, x = ta 1 1 f 3 5f 9 f 3 5f 9 f 5f 3 5f 25f 9 86 24f (3) 43 f (3) 108 b (1 điểm) Chứng minh (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Áp dụng với x = a + b – c, y = b + c – a, z = a + c – b M = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Thay trở lại M = 24abc a) điểm x + 3 x - 3 x+9 Điều kiện x ≥ - Đặt x + a a a x = Ta 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm a x = x a a + x = x a = => x - a x + a + 1 0 x = a x + a + = x = a đươc phương trình x2 – x – = với x ≥ 37 37 ; x2 2 37 có x1 thỏa mãn x ≥ nghiệm x1 x + a + = phương trình x2 + x – = với x ≤ - nghiệm x1 33 33 ; x2 2 0,25 điểm có x 1 33 thỏa mãn – ≤ x ≤ - 0,25 điểm KL nghiệm x 1 y + 1 = 2 x y + x + y 3 xy b) điểm x 1 y + 1 = xy + x y = 2 x y + x + y 3 xy x y + x + y xy 3 0,25 điểm b + a = b = - a 2 a + a b 3 a + 2a 0 Đặt x + y = a, xy = b, ta có Giải hệ (a, b) = (2; 3), (- 4; 9) x + y = xy 3 - Với (a = 2; b = 3) ta hệ hệ vô nghiệm 0,25 điểm 0,25 điểm x + y = - hệ vô nghiệm xy 9 - Với (a = - 4; b = 9) ta hệ Vậy hệ phương trình vơ nghiệm a) điểm Giả sử ≤ a1 < a2 < a3 < … < a900 ta có ≥ i với i = 1; 2; … ;900 Mà 2 2 b b b b-1 0,25 điểm 0,25 điểm b b - với b ≥ Nên 0,25 điểm 0,25 điểm 1 1 1 a1 a2 a 900 900 2 2 1 900 899 900 60 Mâu thuẫn với 1 60 a1 a2 a 900 Vậy ta có đpcm b) điểm Đặt a = x2 + 4x phương trình trở thành y2 = a(a + 3) Nếu a > a2 + 2a + < a2 + 3a < a2 + 4a + (a + 1)2 < y2 < (a + 2)2 y2 nằm hai số phương liên tiếp (khơng xảy ra) a ≤ hay x2 + 4x – ≤ Giải bất phương trình nghiệm x - - Vì x nguyên nên x = - 4; - 3; - 2; - 1; Với x = - 4; - 3; - 1; tìm y = Với x = - tìm y = 2; -2 Vậy nghiệm nguyên phương trình (x; y) = (- 4; 0); (- 3; 0); (- 2; - 2); (- 2; 2); (- 1; 0); (0; 0) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm a) 1,5 điểm B F I E K H A 0,25 điểm C 700 Tính A Đặt EOA Tính AOK 20 EOK 200 KEO 900 EOK 900 200 1100 0,25 điểm Từ chứng minh C O Vẽ đường trịn (O; OK) Chứng minh (O; OK) tiếp xúc với EF BC, gọi tiếp điểm tương ứng I H OEF KEO 1100 AEF 2KEO 2200 2 C AEF EFC 3600 A 0,25 điểm 0,25 điểm 3600 700 700 2200 2 2 EFO 0,25 điểm EOF 1800 OEF OFE 0,25 điểm 1800 1100 700 b) 0,5 điểm Theo câu a) có EFO CFO AOE CFO C => AEO COF (g-g) Mặt khác A 0,25 điểm 0,25 điểm c) điểm Do AEO COF => AE AO AE.CF = OA CO CF 0,25 điểm Theo bất đẳng thức Cơ – si AE + CF 2 AE.CF = 2OA (không đổi) 0,25 điểm Dấu “=” xảy AE = CF EF // AC AOE OEF 1100 550 0,25 điểm Vậy để AE + CF đạt giá trị nhỏ 2OA E thuộc cạnh AB cho 0,25 điểm AOE 550 điểm 0,25 điểm VP + = a + 2b + c (1) b + c a + b VT + 1 b + c a + b a b c = 1 ab + bc + ca + b b c a 0,25 điểm a 2 b 2 c 2 VT + b + c a + b b c a 2 ab + bc + ca + b2 a b c ab bc ca 1.b (bunhia) c a b VT + 1 b + c a + b a + 2b + c 0,25 điểm 2 Vì a, b, c dương nên VT + 1 a + 2b + c (2) b + c a + b Từ (1) (2) => đpcm Lưu ý: Mọi cách giải cho điểm tối đa 0,25 điểm