Cđ11 đại lượng tỉ lệ thuận

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chương II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Chuyên đề 11 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Nếu đại lương y liên hệ với đại lượng x theo công thức y kx (với k số khác 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k Chú ý: * Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x x tỉ lệ thuận với y ta nói hai đại lượng tỷ lệ thuận với * Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) x tỉ lệ thuận với y theo hệ số k * Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 , y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 z tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1 k2 Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với thì: * Tỉ số hai giá trị tương ứng hai đại lượng không đổi: y1 y2 y3    k x1 x2 x3 * Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng kia: x1 y x y  ;  ; x2 y2 x3 y3 B Một số ví dụ Ví dụ 1: Dưới dây bảng giá trị tương ứng thời gian t (giờ) quãng đường s (km) chuyển động: Thời gian t (giờ) Quãng đường s (km) 0,8 20 1,2 30 1,5 37,5 2,5 62,5 100 a) Hai đại lượng quãng đường s (km) thời gian t (giờ) có phải hai đại lượng tỉ lệ thuận khơng? b) Tính qng đường ứng với thời gian 30 phút? c) Nếu quãng đường 90 km thời gian ?  Tìm cách giải: Dựa vào tính chất để kết luận: ta nhận thấy: 20 30 37,5 62,5 100     25 0,8 1, 1,5 2,5 Nghĩa tỉ số hai giá trị tương ứng hai đại lượng ln khơng đổi Từ tìm cơng thức tính s với t = 30 phút = 6,5 tính t với s = 90 km Giải a) Ta có: s 20 30 37,5 62,5 100      25 t 0,8 1, 1,5 2,5 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ta thấy tỉ số hai giá trị tương ứng hai đại lượng không đổi s 25  s 25t nên đại lượng t s tỉ lệ thuận với đại lượng t b) Với t = 6,5 (giờ) s 25.6,5 162,5  km  c) Với s 90  km  t 90 : 25 3, (giờ) = 36 phút  Chú ý: Đây tốn thể quan hệ ba đại lượng quãng đường (s), thời gian (t) vận tốc (v) động tử mà quan hệ s v.t Trong tốn chuyển động vận tốc v s t hai đại lượng tỉ lệ thuận (nếu thời gian t s v hai đại lượng tỉ lệ thuận) Ví dụ 2: Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau: Bảng I x y x y Bảng II -2 -3 -4 12 10 -6 18 -3 a) Trong bảng hai đại lượng y x tỉ lệ thuận với nhau? b) Trong trường hợp hai đại lượng tỉ lệ thuận, tìm x biết y  18 ; tìm y biết x 15  Tìm cách giải: a) Ta tìm tất tỷ số hai giá trị tương ứng cho y chúng không đổi y tỷ lệ thuận với x Cịn xét hai tỷ số hai cặp giá trị tương ứng hai đại lượng mà khác ta kết luận hai đại lượng không tỉ lệ thuận với b) Ta tìm hệ số tỷ lệ k, tìm cơng thức y kx tính số cần tìm Giải a) Trong bảng I ta có  ; nên y x không tỉ lệ thuận với b) Trong bảng II ta có 12 18       nên y x tỉ lệ thuận với Suy k  2 3 4 6 y  x + Với y  18  18  x  x   18  :   3 6 + Với x 15 y  3.15  y  45 Ví dụ 3: Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận với a) Biết hiệu hai giá trị x hiệu hai giá trị tương ứng y 12 Hỏi hai đại lượng y x liên hệ với công thức nào? b) Từ điền số thích hợp vào trống bảng sau: x -5 -2,5 File word: Zalo_0946 513 000  -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN y 18  Tìm cách giải: a) Biết hiệu hai giá trị x giả sử x1  x2 2 hiệu hai giá trị tương ứng y y1  y2 12 ta nghĩ đến sử dụng tính chất dãy tỉ số để tìm hệ số tỉ lệ k  y kx b) Từ công thức y kx  x  y : k tính số cần điền vào trống Giải a) Gọi hai giá trị x x1 x2 với x1  x2 2 hai giá trị tương ứng y y1 y2 Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận tính chất dãy tỉ số ta có: k y1 y2 y1  y2 12    6 x1 x2 x1  x2 Vậy công thức liên hệ y 6 x b) Từ công thức y 6 x  x  y : Kết số điền vào bảng sau: x -5 -2,5  y -30 -15 -3 12 2 3 18 Ví dụ 4: 15 lít dầu hỏa có khối lượng 12kg Hỏi thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng kg? (không kể khối lượng vỏ thùng) * Tìm cách giải: Đại lượng dung tích dầu hỏa (x) tỉ lệ thuận với khối lượng dầu hỏa (y) Đại lượng x có hai giá trị x1 15 (lít); x2 55 (lít) Đại lượng y có hai giá trị tương ứng y1 12 (kg) y2 giá trị cần tìm Dựa vào tính chất y1 y2  để tính khối lượng dầu cần tìm x1 x2 Giải Gọi khối lượng dầu cần tìm y2 kg;  y2   Do khối lượng dầu hỏa tỉ lệ thuận với dung tích nên ta có: 12 y2 12   y2 55 44  kg  15 55 15 Vậy thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng 44 kg Ví dụ 5: Cho y tỉ lệ thuận với x Biết hiệu hai lập phương hai giá trị y1 y2 1216 hiệu hai lập phương hai giá trị tương ứng x1 x2 19 a) Hãy viết công thức liên hệ y x File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 3 b) Tính y3  y4 biết x3 2 x4  3 yi y  y3 k  i   i3 k Hiệu hai lập phương hai giá trị y1  Tìm cách giải: Ta biết xi xi  xi  y2 y13  y23 1216 hiệu hai lập phương hai giá trị tương ứng x1 x2 x13  x23 19 Sử dụng tính chất dãy tỷ số ta có cách giải sau: Giải a) Theo đầu y tỉ lệ thuận với x nên k3  y1 y2  k Theo tính chất dãy tỉ số ta có: x1 x2 y13 y13 y13  y23 1216    64  43 3 19 x1 x1 x1  x2  k 4 Do ta có cơng thức y 4 x b) Với x3 2 y3 4.2 8 ; với x4  y4 4   3  12 Do y33  y43 83    12  512  1728  1216 Ví dụ 6: Một tơ chạy từ A lúc sáng đến B lúc Một xe máy chạy từ B vào lúc sáng đến A lúc 13 Hỏi hai xe gặp lúc giờ?  Tìm cách giải: Ta có thời gian tơ hết quãng đường AB - = xe tơ quãng đường AB Xe máy quãng đường BA hết 13 - = xe máy quãng đường AB Trong thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ thuận Nên gọi t thời gian hai xe gặp nhau; s1 quãng đường ô tô từ A đến chỗ gặp xe máy; v1 vận tốc ô tô; s2 quãng đường xe máy từ B đến chỗ gặp ô tô; v2 vận tốc xe máy Ta có s1 s2  t s1  s2 qng đường AB Từ có cách giải sau: v1 v2 Giải Coi quãng đường AB đơn vị quy ước  1 Thời gian ô tô hết quãng đường AB – = (giờ) vận tốc xe tơ v1  (quãng đường AB/giờ) Xe máy quãng đường BA hết 13 – = (giờ) vận tốc xe máy v2  (quãng đường AB/giờ) Gọi t thời gian hai xe phải để gặp File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN nhau; s1 quãng đường ô tô từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 quãng đường xe máy từ B đến chỗ gặp ô tô ta có s1  s2 1 Trong thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ thuận Do đó: t s1 s2 s1  s2 1      2 v1 v2 v1  v2 1 3 (giờ) = 40 phút  8 Vậy hai xe gặp lúc 40 phút  Chú ý: Ta có cách giải khác: Nếu gọi độ dài quãng đường AB a (km) vận tốc vận tốc xe tơ v1  a a (km/giờ); vận tốc xe máy v2  (km/giờ) Gọi t thời gian hai xe phải để gặp nhau; s1 quãng đường ô tô từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 quãng đường xe máy từ B đến chỗ gặp tơ, ta có: s1  s2 a Ta có: t s1 s2 s1  s2 a      2 v1 v2 v1  v2 a a 3.a 3 (giờ) = 40 phút  8  ,C  tỉ lệ với 2,3,5 Tính số đo góc Ví dụ 7: Cho ABC có số đo góc A, B ABC  ,C  tỉ lệ với 2,3,5 nghĩa  C  180 số đo góc A, B  Tìm cách giải: Ta có: A  B A B   C   Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có cách giải sau: Giải Ta có: A B   A  B  C  C 180     18 35 10  3.18 54 ; C 5.18 90 Suy A 2.18 36 ; B  Chú ý: Bài toán thuộc dạng chia số thành phần tỉ lệ thuận với số cho trước Phương pháp chung để giải tốn dạng là: Giả sử phải chia số t thành n phần t1 , t2 , , tn tỉ lệ thuận với số a1 , a2 , , an (khác 0) với n  ; n  ta làm sau: t t  t   tn t1 t t    n   k a1 a2 an a1  a2   an a2   an Từ có t1 ka1 ; t2 ka2 ; ; tn kan Ví dụ 8: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D tham gia lao động trồng Số lớp trồng tỉ lệ với 5; 4; 3; Biết lần số lớp 7A trồng cộng với lần số lớp 7B trồng nhiều ba lần tổng số 7C 7D trồng 520 Tìm số lớp trồng File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  Tìm cách giải: Nếu số lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng x, y, z, t ta có x  y   z  t  520 Mặt khác x y z t x z y 3t        25 16 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta tìm hệ số tỉ lệ Từ tìm x; y; z; t Giải  Gọi số lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng là: x, y , z, t  x, y , z, t  N  x y z t x z y 3t        k 25 16 Theo tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: x y z t x z y 3t x  y   y  t  520 k           20 25 16 25  16     26 Suy x 5k 100; y 4k 80; z 3k 60; t 2k 40 Vậy số lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng là: 100 cây; 80 cây; 60 cây; 40 Ví dụ 9: a) Một số A chia làm phần a, b, c, d biết a b tỉ lệ với 6; b c tỉ lệ với 9; c d tỉ lệ với và c d 27 Tìm A? b) Một số B chia làm năm phần x; y; z ; t ; u biết x : y : z : t : u  : : : : x 135  z  Tìm B?  Tìm cách giải: a) a b tỉ lệ với nghĩa b c tỉ lệ với nghĩa a a b  ; hay  ; b 6 b b c  hay  c 9 Để lập thành dãy tỉ số nhau, ta nhận thấy BCNN  6;8  24 ta biến đổi a 20 a b     ; b 24 20 24 Tương tự b 24 b c a b c       từ suy c 27 24 27 20 24 27 Tiếp tục với c d ta lập dãy tỉ số 30 40 45 48 50 : : : b) Từ x : y : z : t : u  : : : :  : 60 60 60 60 60 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 30 : 40 : 45 : 48 : 50 x 135  z   x  z 540 Ta áp dụng tính chất dãy tỉ số Giải a) Theo ra, ta có: a 20 a b     b 24 20 24 b 24 b c     c 27 24 27 Do b)  2 c 27 c d     d 18 27 18 Từ (1); (2); (3) suy ra:  1  3 a b c d c d 27      3 20 24 27 18 27  18 a b c d a b c d A      3  A 267 20 24 27 18 20  24  27  18 89 x 135  z   x  z 540 3 30 40 45 48 50 : : : Ta có x : y : z : t : u  : : : :  : 60 60 60 60 60 30 : 40 : 45 : 48 : 50 Do x y z t z 3x z 3x  z 540         2 30 40 45 48 50 90 180 90  180 270  x 60; y 80; z 90; t 96; u 100 Vậy B 60  80  90  96  100 426 C Bài tập vận dụng 11.1 Dưới dây bảng giá trị tương ứng thể tích V  cm  với khối lượng m (g) sắt: Thể tích V  cm  2,4 Khối lượng m (g) 15,7 18,84 31,4 39,25 47,1 a) Chứng tỏ hai đại lượng khối lượng m (g) thể tích V  cm  hai đại lượng tỉ lệ thuận Viết cơng thức? b) Tính khối lượng 3cm3 sắt c) Một khối lượng 125,6 g sắt tích bao nhiêu? 11.2 Cùng suất lao động số lượng sản phẩm K (chiếc áo) thời gian t (ngày) xưởng may hai đại lượng tỉ lệ thuận Hãy điền vào ô trống số thích hợp bảng sau: Thời gian t (ngày) Số lượng K (chiếc áo) 360 720 15 1440 11.3 Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Bảng I x y -3 -6 -2 -1 2,5 10 Bảng II x y -3 -1,5 -2 -1 2,5 a) Trong bảng hai đại lượng y x tỉ lệ thuận với nhau? b) Trong trường hợp có tương quan tỉ lệ thuận, tìm x biết y  60 ; tìm y biết x 0,8 11.4 Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận với a) Biết tổng hai giá trị x 673 tổng hai giá trị tương ứng y 2019 Hỏi hai đại lượng x y liên hệ với công thức nào? b) Từ điền số thích hợp vào trống bảng sau (với a 0 ): x -3 y  a 3 -3 -3b 11.5 Cho x tỉ lệ thuận với y theo hệ số k1 ; y tỷ lệ thuận với z theo hệ số k2 ; z tỉ lệ thuận với t theo hệ số k3 Chứng minh x tỉ lệ thuận với t Tìm hệ số tỉ lệ t với x 11.6 Một đoạn dây đồng dài 2,5 m có khối lượng 8,4 kg Hỏi 80 m dây đồng nặng kg? 11.7 Một ruộng hình chữ nhật có cạnh tỉ lệ với Biết chiều dài chiều rộng 18m a) Tìm diện tích ruộng hình chữ nhật b) Người ta trồng lúa ruộng đó, biết 25m thu hoạch 20kg thóc Hỏi ruộng thu hoạch kg thóc? 11.8 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận; x1 x2 hai giá trị khác x y1 y2 giá trị tương ứng y a) Tìm x1 biết x2 5; y1  2 y2  ; b) Tính x2 y2 biết y2  x2  8; x1  6, 2; y1 3,8 11.9* Cho x; y; z tỉ lệ thuận với 3; 4;5 Tính giá trị biểu thức:  xyz A 2018  x  y   y  z   504,5     11.10* Cho 24a  30b; 40c  24a; 30b  40c tỉ lệ thuận a  b  c 2016 Tìm a; b; c File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 với 2018; 2019; 2020 Biết TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 11.11 Cho y tỉ lệ thuận với x Biết hiệu hai bình phương hai giá trị y1 y2 128 hiệu hai bình phương hai giá trị tương ứng x1 x2 a) Hãy viết công thức liên hệ y x; 2 b) Tính y3  y4 biết x3 3 x4  11.12* Hai ô tô khởi hành lúc từ M N cách 55 km đến P lúc (ba địa điểm M, N, P nằm đường thẳng) Vận tốc ô tô từ M 50km/h, vận tốc ô tô từ N 60km/h Tính quãng đường mà hai ô tô 11.13* Cùng lúc sáng ô tô chạy từ A đến B lúc 30 phút, xe đạp điện chạy từ B đến A lúc 10 Một xe đạp khởi hành từ A lúc đến B lúc 12 Hỏi: a) Xe ô tô xe đạp điện gặp lúc giờ? b) Xe ô tô gặp xe đạp lúc giờ? 11.14 Lúc sáng quãng đường AB dài 93km, người xe máy thứ từ A đến B có vận tốc vận tốc người xe máy thứ hai từ B đến A Đến lúc gặp thời gian người xe máy thứ thời gian người xe máy thứ hai Tính quãng đường người từ lúc khởi hành đến lúc gặp 11.15 Một ca nô nước yên lặng có vận tốc 30km/h Với thời gian ca nơ xi dịng 99km ca nơ ngược dòng km biết cụm bèo trơi dịng sơ ng 9km 11.16 Một ô tô khách ô tô tải khởi hành lúc sáng từ hai đầu quãng đường AB dài 100km Ơ tơ khách từ A đến B với vận tốc 750m/phút Ơ tơ tải từ B đến A sau 70km Gọi M trung điểm AB a) Hỏi đến tơ tải cách M khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M? b) Nếu tiếp với vận tốc sau tơ khách đến B? 11.17 Ba tổ sản xuất xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm với suất lao động cơng nhân sau Tổ có 12 người ngày sản xuất 540 sản phẩm Tổ hai có 18 người ngày; tổ ba có 10 người làm ngày Hỏi tổ hai ba tổ sản xuất sản phẩm? 11.18 Một số dương A chia làm bốn phần dương tỉ lệ với phương bốn phần 23716 Tìm số A File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 ; ; ; tổng bình TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 11.19* Bốn túi đường có tổng cộng 375 kg Lần thứ người ta lấy 1kg túi thứ nhất; 2kg túi thứ hai; 3kg túi thứ ba; 4kg túi thứ tư Lần thứ hai người ta lấy tiếp túi thứ nhất, số kg đường lại 1 số kg đường lại túi thứ hai; số kg đường lại túi thứ ba, số kg đường cịn lại túi thứ tư số kg đường lại sau lần lấy thứ hai bốn túi nhau.Tìm số kg đường túi lúc đầu 11.20 Cho ba số x, y, z tỉ lệ thuận với 2009; 2010; 2011 a) Chứng minh  x  z  8  x  y  b) Cho biết  y  z ; x y z   Tính x, y, z 26 2012 (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2011 -2012) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 11.1 a) Ta nhận thấy: m 15, 18,84 31, 39, 25 47,1      7,85  g / cm3  V 2, 4 nghĩa tỉ số hai giá trị tương ứng hai đại lượng không đổi nên hai đại lượng tỉ lệ thuận với Từ m 7,85.V b) Với V 3  cm  m 7,85.3 23,55  g  c) Với m 125,  g  V 125, : 7,85 16  cm  11.2 Ta có k  720 180 (chiếc áo/ngày)  K kt t  K : k Ta có Thời gian t (ngày) Số lượng K (chiếc áo) 360 720 900 1440 15 2700 11.3 a) Trong bảng I hai giá trị tương ứng hai đại lượng  2,5  ta kết luận hai đại lượng 3 không tỉ lệ thuận với Trong bảng II tất tỷ số hai giá trị tương ứng cho y x không đổi  1,5  1 2,5     0,5 nên ta có y tỷ lệ thuận với x 3 2 b) Trong bảng II ta suy k 0,5 y 0,5 x Với y  60  60 0,5 x  x   60  : 0,5  120 File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Với x 0,8 y 0,8.0,5  y 0, 11.4 a) Biết tổng hai giá trị x giả sử x1  x2  673 tổng hai giá trị tương ứng y y1  y2 2019 Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận tính chất dãy tỉ số ta có: k y1 y2 y1  y2 2019     x1 x2 x1  x2  673 Vậy công thức liên hệ y  x b) Từ công thức y  3x  x  y :   3 Kết điền số: x -3 -2 y   b a 3 -3 -6 -3b a 11.5 Ta có x k1 y; y k2 z; z k3 t  x k1k k3t Nghĩa x tỉ lệ thuận với t theo hệ số k1k2 k3 Do t tỉ lệ thuận với x theo hệ số k1 k2 k3 11.6 Gọi khối lượng dây đồng cần tìm y2 Do khối lượng dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài nên ta có: 8, 2,5   y2  8, : 80  : 2,5 268,8 y2 80 Vậy 80m dây đồng nặng 268,8 kg 11.7 a) Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m), chiều rộng y (m)  x, y   x  y 18 Ta có x y x  y 18    6  x 48; y 15 8 Diện tích ruộng 48.15 720  m  b) Số thóc thu hoạch số m ruộng hai đại lượng tỷ lệ thuận Do gọi số thóc thu hoạch x kg  x   Ta có: 25 20   x 720.20 : 25 576  kg  720 x 11.8 File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  y1 y2 y1 x2   x1    a) x1 x2 y2 b) y2 x2 y2  x2 8     0,8 y1 x1 y1  x1 3,8  6, Vậy: x2   0,8    6,  4,96 y2   0,8  3,8  3, 04 x y z 11.9* Do x; y; z tỉ lệ thuận với 3; 4;5 nên ta đặt   k  x 3k ; y 4k ; z 5k Ta có:  3k  4k  5k  A 2018  3k  4k   4k  5k   504,5      12k  2018   k    k   504,5     2 2018k  504,5.4k  2018k  2018k 0 11.10* 24a  30b; 40c  24 a; 30b  40c tỉ lệ thuận với 2018; 2019; 2020 nên: 24a  30b 40c  24a 30b  40c 24a  30b  40c  24a  30b  40c    0 2018 2019 2020 2018  2019  2020 Do 24a  30b 0  4a 5b hay 40c  24a 0  5c 3a hay Từ (1) (2) suy ra: a c  a b   1  2 a b c a  b  c 2016     168 54 3 12 Vậy a 840; b 672; c 504 11.11 yi y  y2 k  i   i2 k Ta có: y12  y22 128 x12  x22 8 Theo đầu y tỉ a) Ta biết xi xi  xi  lệ thuận với x nên y1 y2  k x1 x2 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: k2  y12 y12 y12  y22 128    16  4  2 x1 x1 x1  x2  k  k 4 Do ta có cơng thức y  x y 4 x File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN b) Với x3 3 y3 4.3 12; Với x4  y4 4    32 2 Do y32  y42  12    32  144  1024  880 11.12* Gọi quãng đường hai xe S M S N Có hai trường hợp xảy ra: 1) Địa điểm P nằm M N Do thời gian hai xe nên quãng đường vận tốc hai xe tỉ lệ thuận Ta có: SM S N SM  S N 55    0,5 50 60 50  60 110 Vậy S M 0,5.50 25  km  ; S N 0,5.60 30  km  2) Địa điểm P không nằm M N * Trường hợp N nằm M P khơng xảy người từ N đến trước người từ M * Trường hợp M nằm N P Tương tự 1) ta có: S M S N S M  S N 55    5,5 50 60 60  50 10 Do S M 5,5.50 275  km  ; S N 5,5.60 330  km  11.13* a) Gọi quãng đường AB dài a km  a   Thời gian ô tô hết quãng đường AB 30 phút = 3 2a vận tốc xe tô v1 a :  2 (km/giờ) a Xe đạp điện quãng đường BA hết vận tốc xe đạp điện là: v2  (km/giờ) Gọi t1 thời gian hai xe ô tô xe đạp điện gặp nhau; s1 quãng đường ô tô từ A đến chỗ gặp xe đạp điện; s2 quãng đường xe đạp điện từ B đến chỗ gặp ô tô  t1 ; s1 ; s2   ta có: s1  s2 a Trong thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ thuận Do đó: t1  s1 s2 s1  s2 a a     1 v1 v2 v1  v2 2a a a  3 Vậy hai xe gặp lúc File word: Zalo_0946 513 000 13 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN b) Gọi t2 thời gian xe tô khởi hành từ A đến lúc gặp xe đạp; s3 quãng đường ô tô từ A đến chỗ gặp xe đạp, vận tốc ô tô v3 v1 ; s4 quãng đường xe đạp từ A lúc đến chỗ gặp ô tô  t2 ; s3 ; s4  0 a a Vận tốc xe đạp v4  km/giờ Lúc xe đạp cách xe ô tô quãng đường km Trong 6 thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ thuận Do t2  a s3 s4 s3  s4 a      (giờ) = 20 phút v3 v4 v3  v4 2a a 3a  Ơ tơ xe đạp gặp lúc 20 phút  Chú ý: Bài tốn giải theo cách coi đoạn đường AB đơn vị quy ước  1 Thì t1  s1 s2 s1  s2    1 (giờ) v1 v2 v1  v2  3 s3 s4 s3  s4 t2      (giờ) , Bạn đọc tự giải v3 v4 v3  v4  11.14 Gọi v1 , v2 vận tốc; t1 , t2 thời gian đi; s1 , s2 quãng đường xe máy thứ xe máy thứ hai từ lúc khởi hành đến lúc gặp 15 15 Ta có: v1  v2 ; t1  t2 nên v1t1  v2 t2 hay s1  s2 4 16 16 Ta có s1 s2 s1  s2 93    3 15 16 15  16 31  s1 45  km  s2 48  km  11.15 Vận tốc trơi bèo vận tốc dòng nước : 3 (km/giờ) Gọi x km qng đường ca nơ ngược dịng  x   Vận tốc ca nô xi dịng 30 + = 33 (km/h); Vận tốc ca nơ ngược dịng 30 – = 27 (km/h) Cùng thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ thuận Do ta có 33 99 99.27   x 81 km  27 x 33 11.16 Nửa quãng đường AB dài 50km; Vận tốc ô tô khách 750m/phút = 45km/giờ Vận tốc ô tô tải 70 : = 35 (km/giờ) File word: Zalo_0946 513 000 14 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN a) Gọi qng đường tơ khách ô tô tải s1 s2 t thời gian xe Trong thời gian quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc đó: Ta có: t  s1 s2  t v1 v2 50  a 50  3a 150  3a 150  3a  50  3a    1 45 35 135 135  35 Vậy thời điểm mà ô tô tải cách M khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M + = (sáng) b) Thời gian ô tô khách tiếp đến B là:  100  45.1 : 45 1 (giờ)  11.17 Gọi x số sản phẩm tổ hai làm; y số sản phẩm tổ ba làm  x; y    Tổ có 12 người làm ngày 12.9 = 108 ngày cơng Tổ hai có 18 người làm ngày 18.8 = 144 ngày công Tổ ba có 10 người làm ngày 10.4 = 40 ngày cơng Cùng suất lao động số sản phẩm làm tỷ lệ thuận với số ngày công Do đó: 108 540 540.144   x 720 (sản phẩm) 144 x 108 108 540 540.40   y 200 (sản phẩm) 40 y 108 11.18 Gọi bốn phần A x; y; z; t  x; y; z; t   A  x  y  z  t x : y : z : t  : : : 30 : 40 : 45 : 48 Vậy  x y z t    30 40 45 48 x2 y2 z2 t2 x2  y2  z  t 27316      4  2  900 1600 2025 2304 900  1600  2025  2304 6829  x 60; y 80; z 90; t 96 A 60  80  90  96 326 11.19* Gọi số kg đường bốn túi lúc đầu là: x  1; y  2; z  3; t   x, y , z , t   Sau lấy lần thứ số kg đường túi cịn lại x; y; z; t tổng số kg đường lại túi 375       365  kg  Sau lấy lần thứ hai số kg đường túi cịn lại là: x; y; z; t Ta có: x y z t 12 x 12 y 12 z 12t 12  x  y  z  t  12.365          60 15 16 18 24 73 73 File word: Zalo_0946 513 000 15 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Suy x 75; y 80; z 90; t 120 Số kg đường túi lúc đầu là: + Túi thứ nhất: 75  76  kg  + Túi thứ hai: 80  82  kg  + Túi thứ ba: 90  93  kg  + Túi thứ tư: 120  124  kg  11.20 a) Ta có: x y z x z x y y z      2009 2010 2011 2 1 1 Với ba tỉ số nhau, lập phương tỉ số thứ bình phương tỉ số thứ hai nhân với tỷ số thứ ba nên:  x z  x y      2   1    x  z  8  x  y  b)  x  z  x  y  y  z  y z    8 1  1   y  z x y z x  13 y z 52 z      x  13 y  26 2012 52 2012 2012  1 x y z 2x 13 y x  13 y z       2009 2010 2011 2.2009 13.2010 2.2009  13.2010 2011 Từ (1) (2)  52 z z   z 0 2012  2.2009  13.2010  2011 Ta suy x  y  x 0 File word: Zalo_0946 513 000 16 -File word: Zalo_0946 513 000  2