Cđ8 số nguyên tố, hợp số

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ 8: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Số nguyên tố nghiên cứu từ nhiều kỉ trước công nguyên nhiều toán số nguyên tố chưa giải trọn vẹn 1) SÀNG ƠRATOSTEN (EURATOSTHENE) Làm để tìm tất số nguyên tố giới hạn đó, chẳng hạn từ đến 100 ? Ta làm sau: Trước hết xóa số Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa ) xóa tất bội mà lớn Các số 8, 9, 10 bị xóa Khơng cần xóa tiếp bội số lớn 10 kết luận khơng cịn hợp số Thật vậy, giả sử n hợp số chia hết cho số a lớn 10 n10 nên n phải chia hết cho số b nhỏ 10, n bị xóa Nhà toán học cổ Hi Lạp Ơratoxten (thế kỉ III trước công nguyên) người đưa cách Ông viết số giấy cỏ sậy căng khung dùi thủng hợp số vật tương tự sàng: hợp số sàng qua, số nguyên tố dược giữ lại Bảng số nguyên tố gọi sàng Ơratoxten Ví dụ: Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 100, nêu cách kiểm tra số nhỏ 10000 có số ngun tố khơng ? Xét toán với số 259, 353 Hướng dẫn giải Cho số n < 10000 (n>1) Nếu n chia hết cho số k (1 n 2n - có số nguyên tố Ta có mệnh đề sau: Nếu n >5 n 2n có số nguyên tố Ví dụ Cho số tự nhiên n > Chứng minh số n! - có ước nguyên tố lớn n Giải Gọi a = n! - Do n > nên a > Mọi số tự nhiên lớn có ước ngn tố Gọi p ước nguyên tố a ta chứng minh p > n Thật giả sử p n tích n chia hết cho p, ta có n! chia hết cho p, mà a chia hết cho p nên chia hết cho p, vơ lí 3) CƠNG THỨC CHO MỘT SỐ NGUN TỐ Ví dụ: a) Chứng minh số nguyên tố m lớn viết dạng 6n + 6n - ( n  N ) b) Có phải số có dạng 6n 1 ( n  N ) số nguyên tố hay không? Giải: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Mỗi số tự nhiên chia cho có số dư 0, 1, 2, 3, , Do số tự 6n  2,6n  1, 6n,6n 1,6n  2,6n  nhiên viết dạng Vì m số nguyên tố lớn nên m không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, m khơng có 6n  2,6n,6n  2,6n  m viết dạng 6n +1 6n - (ví dụ: 17 = - dạng 1, 19 = + 1) b) Khơng phải số có dạng 6n 1(n  N ) số nguyên tố Chẳng hạn + 1= 25 không số nguyên tố (đpcm) Liệu có cơng thức mà với giá trị tự nhiên chữ cho ta số nguyên tố khơng ? Cho đên nay, người ta chưa tìm thấy cơng thức Tuy nhiên có số biểu thức mà với nhiều giá trị chữ, biểu thức cho ta số nguyên tố Biểu thức 2n  29 cho ta giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ,28 Biểu thức n  n  41 Ơ_le (Euler 1707 - 1783) đưa cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 39 (cịn n = 40 402  40  41 40(40  1)  41 chia hết cho 41) Biểu thức n  79n  1601 cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 79 (cịn với n = 80 biểu thức 412) Số Phec-ma Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec- ma (Pierre de Fermat 1601 - 1665) xét biểu thức 2m +1 m = 2n với n = 0, 1, 2, 3, cho số nguyên tố + = 3, 2 + = 5, 24 + = 17, 28 + =257, 216 + = 65537 Với n = 5, số 32 + = 4294967297, Phec- ma cho số nguyên tố ông đưa giả thuyết: Biểu thức m + với m lũy thừa cho ta số nguyên tố Ý kiến đứng vững lâu Mãi đến năm 1732, Ơ- le bác bỏ giả thuyết 32 cách số  chia hết cho 641 Đây ví dụ điển hình chứng tỏ phép quy nạp khơng hồn tồn dẫn đến sai lầm Các số có dạng 2m + với m lũy thừa gọi số Phec- ma 4) BIỂU DIỄN MỘT SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Năm 1742 nhà toán học Đức Gôn_bách viết thư báo cho Ơ_le biết ông mạo hiểm đưa toán: số tự nhiên lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Ơ_ le trả lời theo ông, số chẵn lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Nếu chứng minh hai mệnh đề chứng minh mệnh đề cịn lại Trong 200 năm, nhà tốn học giới khơng giải tốn Gơn bách- Ơ le Đến năm 1937, nhà tốn học Liên Xơ Vinơgrađốp giải gần trọn vẹn tốn cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Cho đến tốn Gơnbách- Ơ le chưa chứng minh hồn tồn Ví dụ Cơng nhận mệnh đề nói Ơ le, chứng minh tốn Gơn bách File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải Cho số tự nhiên n > 5, ta chứng minh n viết dạng tổng số nguyên tố Xét hai trường hợp: a) Nếu n chẵn n = + m với m chẵn, m > b) Nếu n lẻ n = + m với m chẵn, m > Theo mệnh đề Ơ le, m chẵn, m > nên m viết dạng tổng số nguyên tố II SỐ NGUYÊN TỐ-HỢP SỐ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Số nguyên tố số tự nhiên lớn có ước dương Số ngun tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn nhất.Tất số nguyên tố lại số lẻ 2.Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước dương Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số không vượt a Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết Hai hay nhiều số gọi nguyên tố UCLN chúng Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Hệ Số a>1 khơng có ước ngun tố từ đến a a số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố vô hạn B.CÁC DẠNG TỐN Dạng sử dụng tính chất phép chia số nguyên i)Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n ii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n 1 iii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n 1 Bài 1Cho p số nguyên tố số 8p+1 8p-1 số nguyên tố, hỏi số nguyên tố thứ số nguyên tố hay hợp số? Hướng dẫn giải Với p =3 ta có 8p+1=25 hợp số, 8p-1 số nguyên tố p 3 Với ta có 8p-1,8p,8p+1 số nguyên tố liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Do p nguyên tố khác nên 8p không chia hết cho 3,do 8p-1 8p+1 có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số n n Bài Hai số   (n>2) đồng thời số nguyên tố không? Tại sao? Giải File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Trong số nguyên liên tiếp 2n  1, 2n , 2n  n có số chia hết cho 3, không n n chia hết cho 3,   có số chia hết cho lớn Vậy 2n  1, n  không đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Giải Ta có: p+(p+2)=2(p+1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ suy ra: p  12  2( p  1)4 * p, p+1, p+2 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p+2 không chia hết cho nên: p  13  2( p  1)3 ** Từ * và** suy ra: 2( p  1)12 (đpcm) Bài 4.Tìm số nguyên tố p cho p+10 p+14 số nguyên tố Giải Với p=3 p+3=13 p+14=17 số nguyên tố Với p>3 Nếu p 3k 1 p 3k  p  14 3k  153 ; p 3k  p  10 3k  93 ; p 3 p  10 p  14 số nguyên tố Vậy với Nếu Bài a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Hướng dẫn giải a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) giả sử p  p1  p2  p3  p4 với p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố Vì p1 , p2 số p  , suy p lẻ Trong hai số p1 , p2 phải có số chẵn, hai số nguyên tố nên p3 , p4 p2  p4 2 phải có số chẵn Chẳng hạn Khi đó: p  p1   p3   p4   p3 p , p  2, p1  Ta có 1 số nguyên tố lẻ liên tiếp nên p 3 p 5 Thử lại: 3  7  theo câu a) từ Bài Tìm số tự nhiên k để dãy: k  1, k  2, k  3, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Giải Với k=0 ta có dãy 1, 2,3, ,10 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Với k =1 ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 Với k=2 ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 k  1, k  2, k  3, , k  10 Với k 3 dãy chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên chia có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy số ngun tố Tóm lại k=1 dãy k  1, k  2, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Ta gọi p,q hai số tự nhiên liên tiếp, p q khơng có số ngun tố khác Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p  q  r số nguyên tố Giải p2 , q2 , r Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k 1 suy chia cho dư Khi Vậy p=3, q=5, r=7, p  q  r 3 p  q  r  nên p  q  r hợp số p  q  r 32  52  83 số nguyên tố Bài 8.Tìm số nguyên tố cho p q  q p r Giải Giả sử có số nguyên tố p, q, r cho p q  q p r Khi r  nên r số lẻ, suy p, q khơng tính chẵn lẻ Giả sử p=2 q số lẻ Khi ta có khơng chia hết cho q 1 2q  q r Nếu q q (mod 3) Mặt khác q lẻ nên  (mod 3), từ suy 2q  q 3  r 3 , vơ lí Vậy q=3, lúc r 23  32 17 số nguyên tố p 2, q 3, r 17 p 3, q 2, r 17 Vậy Bài a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 30 kết sao? b) Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố (n,30)=1 Hướng dẫn giải a) Giả sử p số nguyên tố p 30k  r với  r  30 Nếu r hợp số r có ước q  30  q 2;3;5 Nhưng với q =2; 3; q chia hết cho 2; 3; 5, vơ ngun tố lí.Vậy r=1 r số ngun tố Khi chia cho 60 kết khơng nữa, chẳng hạn p= 109= 60.1+ 49, 49 hợp số b) Số nguyên tố p chia cho 30 dư 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Với r=1, 11, 19, 29 p 1 (mod 30) Với r =7, 13, 17, 23 p 19 (mod 30) File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN p 1 Suy Giả sử Khi (mod 30) p1, p2 , pn số nguyên tố lớn q  p14  p2   pn n(mod 30)  q 30k  n số nguyên tố nên (n,30)=1 Bài 10 Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho abc  ab  bc  ca Hướng dẫn giải Vì a, b, c có vai trị nên giả sử a b c Khi ab  bc  ca 3bc  abc  3bc  a   a 2 (vì a số nguyên tố) Với a =2 ta có 2bc  2b  2c  bc  bc  2(b  c) 4c  b   b 2 b=3 Nếu b=2 4c   4c thõa với c số nguyên tố Nếu b=3 6c   5c  c   c 3 c 5 Vậy cặp số (a, b, c) cần tìm (2, 2, p), (2, 3, 3), (2, 3, 5) hoán vị chúng, với p số nguyên tố Bài 11 Cho dãy số nguyên dương a1 , a2 , , an xác định sau: a1 2 an a a a a  , ước nguyên tố lớn n  với n 2 Chứng minh ak 5 với k Hướng dẫn giải a 2, a2 3 Ta có , giả sử với n 3 mà có số ước nguyên tố lớn số m A 2.3.a3 an   A chia hết cho 2, cho Vậy xảy A 5 với m 2 , suy A  5m  14 Mà A  2.3.a3 an  không chia hết cho a 5 k  N * ước nguyên tố 5, tức k , a3, an  số lẻ, vơ lí Vậy A khơng có Bài 12 Tìm tất số nguyên tố p để p  p số nguyên tố Giải Với p=2 ta có p Với p=3 ta có p  p 22  22 4  p 2 3 17 Với p>3 ta có khơng số ngun tố số nguyên tố p  p ( p  1)  (2 p  1) Vì p lẻ p khơng chia hết p  13 p p  p hợp số  13 , Vậy, với p=3 p  p số nguyên tố File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Dạng áp dụng định lí fermat p p số nguyên tố (a,p)=1 a 1 (mod p) Bài 2n Nhà tốn học Pháp Fermat đưa công thức  để tìm số nguyên tố với n tự nhiên Hãy tính giá trị cơng thức n=4 Với giá trị chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối tổng chữ số lại b) Tổng bình phương chữ số số phương c) Hiệu tổng bình phương hai chữ số đầu cuối với tổng bình phương chữ số lại tổng chữ số số Giải Ta thay n= vào công thức Fermat được: 22  65537 số nguyên tố 2.Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối 6+7=13 tỏng ba chữ số lại 5+5+3=13 2 2 b) Tổng bình phương chữ số     36  25  25   49 144 số phương 144 12 2 c) Tổng bình phương hai chữ số đầu cuối  36  49 85 Tổng bình 52  52  32 25  25  59 Tổng chữ số phương ba chữ số lại     26 Ta nhận thấy 85  59 26 Hiệu tổng chữ số số nguyên tố 65537 Bài 10 n1 * Cho n  N , chứng minh rằng: n1  19 23  32 n1  hợp số Giải 10 n1 Ta chứng minh Ta có:  1923 với n 1 210 1(mod1)  210 n 1 2(mod 22)  210 n 1 22k  2,( k  N ) Theo định lý Fermat: 10 n 1 222 1(mod 23)  22 10 n1 Mặt khác: 10 n 1 222 k 2 4(mod 23)  22 10 n1  19  23 nên 22 n 1 Ta chứng minh: n 1  32  19 23  19 hợp số với n  N *  511 với n 1 Bài p Tìm số nguyên tố p cho  chia hết cho p File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Giải Giả sử p số nguyên tố thỏa: p  1p Theo định lý Fermat: p 2(mod p)  p  2p  (2 p  1)  (2 p  2) p  p 3 p Với p=3 ta có 1 93 Bài n Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh có vô số số tự nhiên n thỏa n.2  chia hết cho p Giải Ta có Ta có: p  1(mod p) , ta tìm n ( p  1) cho n.2n 1(mod p ) n.2n m( p  1).2m ( p  1) (mod p)  n.2n  m 1(mod p )  m kp  1, (k  N *) Vậy, với n (kp  1)( p  1), ( k  N *) n.2n  1p Bài p pk  Cho p số nguyên tố, chứng minh số  có ước nguyên tố có dạng Giải p Gọi q ước nguyên tố  q lẻ, nên theo định lí Fermat: 2q   1q  (2 p  1, 2q   1) 2( p ,q  1)  1q  q  1p Mặt khác: q-1 chẵn suy , (q  1, p ) 1 1q , vơ lí q  12 p  q 2 pk 1 Bài m Giả sử p số nguyên tố lẻ 9p  Chứng minh m hợp số lẻ không chia m hết cho 1 (mod m) Giải m Ta có: p  p 1 3p  p 1 a.b a ,b  4 , với a, b số nguyên lớn nên m hợp số p p Mà m 9     p lẻ nên m lẻ m 1 (mod 3).Theo định lí Fermat, ta có: p  9p 9p  9 p  98 p  m  1 p ( p,8) 1 nên m  12 p , đó: Vì m  12 nên m 9p   13  1 m (đpcm) 2p Bài File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN k 1, 2,3 chứa vơ hạn số lũy thừa Chứng minh dãy số 2003  23k với số nguyên tố Giải Giả sử tồn số nguyên tố p cho: 2003  23k  p n (1) Trong k,n số nguyên dương Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho số nguyên tố 23 nên (p,23)=1 Theo định lí nhỏ Fermat với số nguyên dương t p 22  chia hết cho 23, suy p 22t có dạng p 22t 1  23s p 22t n (1  23s ) p n  p n  23s p n 2003  23k  23s p n hay t 1, 2,3, 2003  23(k  sp n ) với Từ p 22t n Bài tốn giải đầy đủ ta tồn số nguyên tố p thõa mãn (1) Chẳng hạn: 12 Với p=2 có 2003  23.91 2 Với p=3 có 2003  23.8 3 Với p=4 có 2003  23.6 2141 23 Với p=2003 tồn k theo định lí Fermat thỏa mãn 2003  23k 2003 Bài Tìm bảy số ngun tố cho tích chúng tổng lũy thừa bậc sáu bảy số Giải: Gọi bảy số nguyên tố p1, p2, p13, ., p7 Ta có: p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7  p16  p26  p36  p46  p56  p66  p76 (*) Ta cần dùng định lí Fecma nhỏ: Nếu số ngun a khơng chia hết cho điều thơng qua việc biến đổi số nguyên) a 1(mod 7) (Có thể chứng minh trực tiếp a (7k  r ) 7t 1 với r thỏa mãn r 6 , t Giả sử bảy số nguyên tố có k số khác với k 7 Nếu k = 0, nghĩa bảy số ta có 7 7 7 = 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76 thỏa mãn (*) Nếu k = 7, nghĩa bảy số số nguyên tố khác vế trái (*) khơng chia hết cho 7, cịn vế phải (*) chia hết cho theo định lí Fec ma, điều không xảy Vậy xảy bảy số nguyên tố đề File word: Zalo_0946 513 000 10 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chứng minh: Xét ước số nguyên tố p = 4m + = 2(2m + 1) +1 Theo mệnh đề p ước số nguyên tố n = a + b2 p ước số chung a b p lẻ nên p có dạng p = 4m +  p 1 , mâu thuẫn Vì Ta thử vận dụng tính chất vào giải số phương trình nghiệm nguyên Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x  y 7 (1) Giải: Phương trình (1)  x   y  23  x  ( y  2)( y  y  4) (2) 2 Nếu y chẵn vế phải (2) chia hết cho  x lẻ, x 2t   x  4t  4t  không chia hết cho 4, mâu thuẫn Vậy y số lẻ, y 2k   y  y  4k  nên phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + (vì tích số dạng 4m + lại có dạng 4k + 1) Suy x  có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm ngun Bài x2  y2 Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) cho x  y số nguyên dương ước số 1995 Giải x2  y k x  y Giả sử nguyên dương k ước số 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n= 3.7.19 Các số nguyên tố 3, 7, 19 có dạng 2(2m + 1) + = 4m +3 d ( x, y ) x du, y dv với ( u , v) 1 Gọi ước chung lớn x, y Theo giả thiết x  y k ( x  y )  d (u  v ) k (u  v ) (1) Xét hai trường hợp: 1) k ước số n  k có ước số nguyên tố dạng 4m + 2 Áp dụng mệnh đề vào (1) u  v khơng chứa ước số nguyên tố k nên k ước 2 t (u  v ) u  v số d  d k t Từ (1) có , u  u  v u  v  u  (1) vô nghiệm 2) k=5m với m ước số m Lúc (1) trở thành m ước số d Suy d= m.t Từ ta có t (u  v ) 5(u  v) Từ (2) có d (u  v ) 5m(u  v) Lập luận (2) u  v 5(u  v) File word: Zalo_0946 513 000 15 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN A u  v  5(u  v ) 0 (3) Mặt khác A 4u  20u  25  4v  20v  25  50 (2u  5)  (2v  5)  50 12   50 0  A 0 Kết hợp với (3) phải có A= Điều xảy 2u  1 v=1, nghĩa u 3  v 1 u 2  v 1  x 3m   y m  x 2m   y m Từ A = (2) suy t 1  d m Các số x, y phải tìm m ước n = 3.7.19, nghĩa m lấy giá trị sau: 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399 Bài Tìm số nhỏ tập hợp số phương dạng 15a + 16b 16a -15b với a, b số nguyên dương Giải Giả sử 15a + 16b =m 16a -15b = n2 (1) với m, n số nguyên dương Khi đó: m  n4 (15a  16b)2  (16a  15b)2 (152 162 )(a  b2 ) 481(a  b ) hay m  n 13.37(a  b ) (2) Các số nguyên tố 13 37 có dạng Giả sử (3) p 22 k  với k lẻ (m, n) d  m du, n dv với (u,v) =1 (2) trở thành d (u  v ) 481(a  b ) 4 Vì (u,v) = nên u  v không chứa ước số nguyên tố 13 37 481 ước d 4 2  d 481.t Để cho m, n nhỏ nhất, ta lấy t = Lúc (3) trở thành 481 (u  v ) a  b (4) 2 4813 (u  v ) 31a  b Từ (1) có m  n 31b  a hay (5) 2 Có thể chọn u v 1 để m, n nhỏ nhất, lúc a = 31b a  b 481 Từ có b = 481 a = 31.481 suy m = n = 481 Bài Tìm số có chữ số mà có ước Giải Giả sử p q hai số nguyên tố khác nhau, pq có ước 1, p, q, pq số p q có ước 1, p, p2, q, pq, p2p Do số phải tìm có dạng pn Vì số pn có n + ước nên muốn có ước rõ ràng n = Số p4 số có chữ số p = File word: Zalo_0946 513 000 16 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Vậy số phải tìm 54 = 625 Bài Tìm số nguyên tố biết ba số hiệu lập phương hai số Giải 3 Gọi ba số nguyên tố a, b, c Ta có c a  b chẳng hạn Thế c (a  b)(a  ab  b ) Muốn c số nguyên tố a - b = 1, điều xảy số nguyên tố a = 3, b = Suy ra: c = 27 - = 19 Vậy ba số nguyên phải tìm 2; 3; 19 Bài Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ta lập hai dãy số = + 3; = + 5; 12 = + 7; 18 = + 11; 24 = 11 + 13; = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 = 7.11; 143 = 11.13; Có hay khơng số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Giải Trước hết ta nhận xét rằng: Ở dãy thứ số hạng theo thứ tự tổng hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 5) chẵn Ở dãy thứ hai số hạng theo thứ tự tích hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 6) lẻ Do ta kết luận rằng: khơng có số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Bài Tìm số nguyên tố p biết p + p +4 số nguyên tố Giải Do p 1 khơng phải số nguyên tố, nên p có dạng p = 3k Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Do p p + = + =5 số nguyên tố, p + =3 +4 =7 số nguyên tố Bài Có số có ba chữ số mà chữ số ước nguyên tố chúng? Giải Các ước nguyên tố có chữ số là: 2; 3; Nếu số phải tìm bắt đầu chữ số phải chia hết cho tận 2.Chữ số thứ hai phải 2, số 232 File word: Zalo_0946 513 000 17 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN khơng chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho số 272 không chia hết cho Vậy số phải tìm 222 Tương tự số phải tìm mà bắt đầu chữ số số 555 Bây bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho 3, chúng và Thử lại thấy có số 333 thích hợp Cuối bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho Thử lại thấy có hai số 777 735 thích hợp Tóm lại có số thỏa mãn là: 222; 333; 555; 735; 777 Bài Một xí nghiệp điện tử ngày giao cho cửa hàng số máy tivi Số máy số có ba chữ số mà tăng chữ số đầu lên n lần, giảm chữ số thứ hai thứ ba n lần số lớn gấp n lần số máy giao Tìm n số máy tivi giao Giải Giả sử số máy tivi giao abc 100a  10b  c Ta có: 100(a  n)  10(b  n)  (c  n) n(100a  10b  c) hay 100a  100n  10b  10n  c  n 100an  10bn  cn Từ ta được: 89n 100a  10b  c  n Nhưng 89 số nguyên tố nên n - phải n phải chia hết cho n-1 Trong hai trường hợp ta tìm n =2 abc 178 Vậy số máy tivi giao 178 Bài 10 Những số nguyên tố ước số có dạng 111 11? Giải Trước hết ta nhận xét số có dạng 111 11 khơng chia hết cho số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố khác Ta xét p + số sau: 1, 11, 111, 1111, ,111 11 hai số chia cho p có số dư giống nhau, hiệu chúng 11 1100 chia hết cho p số có dạng 111 11 có ước tất số nguyên tố trừ hai số nguyên tố Dạng Các toán hai số nguyên tố Hai số nguyên tố hai số có ước chung lớn Nói cách khác chúng có ước chung File word: Zalo_0946 513 000 18 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Bài Chứng minh rằng: a)Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố c) 2n + 3n + ( n  N ) hai số nhuyên tố Giải d  uc(n, n  1)  (n  1)  n d  1d  d 1 Vậy n n + hai số nguyên tố a)Gọi d  uc (2n  1, 2n  3)  (2n  3)  (2n  1)d  d  d   1, 2 b) Gọi Nhưng d 2 d ước số lẻ Vậy d=1 (2n  1,3n  1)  3(2n  1)  2(3n  1)d  1d  1d c) Gọi d  ƯC Bài Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a) a a+b b) a2 a+b c) ab a+b Giải (a, a  b)  (a  b)  a d  b d Ta lại có a d nên d  ƯC (a, b) , a) Gọi d  ƯC d = 1(vì a, b hai số nguyên tố nhau) Vậy (a, a + b) = b) Giả sử a2 a + b chia hết cho số nguyên tố d a chia hết cho d, b chia hết cho d Như a b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) = Vậy a2 a + b hai số nguyên tố c) Giả sử ab a + b chia hết cho số nguyên tố d Tồn hai thừa số a b, chẳng hạn a, chia hết cho d, b chia hết cho d, trái với (a, b) = Vậy (ab, a + b) = Bài Tìm số tự nhiên n để số 9n + 24 3n + số nguyên tố Giải Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d 9n  24  3(3n  4)d  12d  d   2;3 Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = d 2 d 3 Hiển nhiên d 3 3n + khơng chia hết cho Muốn d 2 phải có hai số 9n + 3n + không chia hết cho Ta thấy: File word: Zalo_0946 513 000 19 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9n + số lẻ  9n lẻ  n lẻ, 3n + số lẻ  3n lẻ  n lẻ Vậy điều kiện để (9n + 4, 3n + 4) = n số lẻ Phần tập tự luyện Dạng 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p +2, p + 6, p +8, p + 12, p + 14 Chứng minh n n2 + số nguyên tố n  số nguyên tố Chứng minh a, a + k, a + 2k ( k chia hết cho a, k  N * ) số nguyên tố lớn Chứng minh p số nguyên tố lớn (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư hợp số r Tìm r Một số nguyên tố p chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r khơng số nguyên tố 11 1211   n Chứng minh số n hợp số với n 1 Tìm n số cho 10101 0101 (n chữ số n + chữ số xen kẽ nhau) số nguyên tố Các số sau số nguyên tố hay hợp số a) A = 11 1(2001 chữ số 1); b) B = 11 (2000 chữ số 1); c) C = 1010101; d) D = 1112111; e) E = 1! + 2! + 3! + +100!; g) G = - 28; h) H= 311141111 Dạng 10 Cho n  N * ,chứng minh số sau hợp số: n1 3; n1 7 ; n2  13 a) A = 2 b) B = 2 c) C = 11 p số nguyên tố lớn 5, chứng minh File word: Zalo_0946 513 000 20 p 1 (mod 240) File word: Zalo_0946 513 000