TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
NGUYỄN TẤN TUÂN
PHÂN TÍCH TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG ĐA CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Mã số ngành: 8580201
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trang 2CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1: TS Thái Sơn Chữ ký:
Cán bộ hướng dẫn 2: TS Trần Minh Thi Chữ ký:
Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS Đỗ Nguyễn Văn Vương Chữ ký:
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Liêu Xuân Quí Chữ ký:
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 13 tháng 07 năm 2023
Thành phần Hội đồng đánh giá Đề cương luận văn thạc sĩ gồm: 1 PGS TS Đào Đình Nhân - Chủ tịch
2 PGS TS Ngô Hữu Cường - Ủy viên 3 TS Nguyễn Hồng Ân - Thư ký 4 PGS TS Đỗ Nguyễn Văn Vương - Phản biện 1 5 TS Liêu Xuân Quí - Phản biện 2
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG
Trang 3
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN TẤN TUÂN MSHV: 2070272
Ngày, tháng, năm sinh: 06/01/1997 Nơi sinh: Bà Rịa Vũng Tàu Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Mã số: 8580201
I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích tấm phân lớp chức năng đa chiều có bề dày thay đổi
bằng phương pháp đẳng hình học (Analysis of variable thickness multi-directional functionlly graded plates based on isogeometric analysis)
II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1 Tìm hiểu các kết quả nghiên cứu đã được thực hiện về tấm có bề dày thay đổi và tấm phân lớp chức năng đa chiều
2 Xây dựng mơ hình tính tốn cho bài toán tĩnh, dao động tự do và bài toán tải trọng thay đổi theo thời gian cho tấm phân lớp chức năng đa chiều dựa trên lý thuyết cơ học vật rắn và lý thuyết tấm bậc ba của Reddy
3 Phát triển chương trình tính dựa trên phương pháp đẳng hình học (Isogeometric Analysis) để giải các bài toán tấm
4 Khảo sát độ tin cậy của thuật tốn, khảo sát sự ảnh hưởng của các thơng số vật liệu và hình học đến ứng xử cơ học của tấm phân lớp chức năng đa chiều có bề dày thay đổi
III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 01/07/2022
IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 01/07/2023
V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Thái Sơn, TS Trần Minh Thi
Tp HCM, ngày 01 tháng 07 năm 2023
TS Thái Sơn TS Trần Minh Thi
TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
(Họ tên và chữ ký)ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Sau hơn bốn năm học tập ở môi trường đại học và hai năm ở môi trường cao học tại trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM, giờ đây đã đến lúc em chuẩn bị cho bài báo cáo cuối cùng trong chương trình học Và thật tình cờ, cũng thật sự may mắn khi được em được TS Thái Sơn và TS Trần Minh Thi hướng dẫn
Qua các buổi học với Thầy, ngoài kiến thức ra thì khoảng thời gian nói chuyện và trao đổi với Thầy, em mới thấy được những lỗ hỏng trong kiến thức của mình ngày càng lộ rõ và Thầy là người hướng dẫn và chia sẽ cho em những kiến thức đó Thầy thực sự nhiệt huyết với nghề cùng với nguồn năng lượng mà thầy gửi đi giúp em có động lực hơn trong việc học tập và nghiên cứu
Ngoài học được những kiến thức từ Thầy, em còn học được cách mà Thầy tư duy hay đánh giá một vấn đề rất hay từ đó giúp em cải thiện bản thân mình hơn và ngày càng hồn thiện bản thân mình
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Sơn và Thầy Thi! Em chúc Thầy có thật nhiều sức khỏe để ngày qua ngày lan tỏa được nguồn năng lượng nhiệt huyết và đặc biệt là kiến thức đến các bạn trẻ!
Tp Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 07 năm 2023
Trang 5
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trang 6ABSTRACT
Trang 7LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các nội dung trong luận văn thạc sĩ do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Thái Sơn và TS Trần Minh Thi Các số liệu, kết quả nếu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác
Tp Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 07 năm 2023 HỌC VIÊN CAO HỌC
Trang 8MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i
LỜI CẢM ƠN ii
LỜI CAM ĐOAN v
MỤC LỤC vi
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ix
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT x
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU 1
1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 1
1.1.1 Đặt vấn đề 1
1.1.2 Tình hình nghiên cứu 2
1.1.3 Cách chế tạo vật liệu FGMs 4
1.1.4 Ứng dụng của FGMs 4
1.2 Mục tiêu và sự cần thiết của nghiên cứu 6
1.3 Nội dung nghiên cứu 6
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7
2.1 Đặc trưng vật liệu của MFGPs 7
2.2 Lý thuyết tấm bậc ba của Reddy và phương trình chủ đạo 10
2.3 Hàm nội suy NURBS dựa trên phương pháp IGAS 14
2.3.2 Bài toán tĩnh 16
2.3.3 Bài toán dao động tự do 16
2.3.4 Bài toán tấm dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian 17
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ 19
3.1 Bài tốn uốn tĩnh 19
3.1.2 Ví dụ kiểm chứng 19
3.2 Bài toán động 22
3.2.1 Xác minh 22
3.3 Khảo sát thông số 24
3.3.1 Bài toán tĩnh 24
3.3.2 Bài toán dao động của tấm dưới tác dụng của tải trọng động 37
Trang 94.1 Bài toán tĩnh 45
4.2 Bài toán động 46
4.3 Hướng phát triển 47
Trang 10DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH
Hình 1.1 Hình dạng tấm có bề dày thay đổi 1
Hình 1.2 Một số ứng dụng của tấm phân lớp chức năng [nguồn: Internet] 5
Hình 1.3 Một số ứng dụng trong cấu trúc vi mơ [nguồn: Internet] 5
Hình 2.1 Tấm hình trịn có bề dày thay đổi 9
Hình 2.2 Tấm chữ nhật có bề dày thay đổi 9
Hình 3.1 So sánh độ võng của tấm hình vng có bề dày thay đổi 23
Hình 3.2 Tải trọng động hình sin 38
Hình 3.3 Ảnh hưởng của các chỉ số gradient (n nx, y, nz) trong ứng xử động của tấm MFGPs hình vng (a=1m, SSSS, a/hmin = 50, hmax/ hmin=1.5) 39
Hình 3.4 Ảnh hưởng của điều kiện biên của ứng xử động của tấm MFGPs hình vng (a=1m, SSSS, a/hmin = 20, hmax/ hmin=1.2, nx=0.1, ny=0.1, nz=2) 40
Hình 3.5 Ảnh hưởng của tỷ số a h/ min trong ứng xử động của tấm MFGPs hình vng 40
(a=1 m, SSSS, hmax /hmin =1.2, nx=ny =0.2, 0.5nz = ) 40
Hình 3.6 Ảnh hưởng của tỷ số hmax /hmin trong ứng xử động của tấm MFGPs hình vng 41
(a=1 m, SSSS, a h/ min=50, nx =ny =0.2, 1.5nz = ) 41
Hình 3.7 Ảnh hưởng của các chỉ số gradient (n nz, r) trong ứng xử động của tấm MFGPs hình trịn (R=1m, Sr, R/hmin=10, hmax/ hmin=1.2) 42
Hình 3.8 Ảnh hưởng của điều kiện biên của ứng xử động của tấm MFGPs hình trịn 43
(R=1m,R h/ min =10,hmax/hmin=1.2, n =0.2, rn =0.2) 43zHình 3.9 Ảnh hưởng của tỷ số hmax /hmin trong ứng xử động của tấm MFGPs hình tròn 43
Trang 11DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Trang 12DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt
CAD (Computer-Aided Design) Thiết kế hỗ trợ bằng máy tính CCCC (Clamped boundary) Điều kiện biên ngàm tại biên
Cr (Clamped boundary) Điều kiện biên ngàm tại biên
FEM (Finite Element method) Phương pháp phần tử hữu hạn FGMs (Functionally Graded Materials) Vật liệu phân lớp chức năng IGA (Isogeometric Analysis) Phân tích đẳng hình học MFGPs (Multi-directionally Functionally Graded Plates) Tấm phân lớp chức năng đa chiều
NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) Hàm nội suy NURBS SCSC (Simply and Clamped boundary) Điều kiện biên tựa, ngàm SFSF (Simply and Free boundary) Điều kiện biên tựa, tự do SSSS (Simply supported boundary) Điều kiện biên tựa
Trang 13CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU
1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu
1.1.1 Đặt vấn đề
Trong thực tế, kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi được sử dụng khá phổ biến và rộng rãi trọng nhiều lĩnh vực nhờ một số các đặc tính cơ học của chúng [1], [2] Để hiểu rõ về các đặc tính cơ học này, rất nhiều những nghiên cứu đã được thực hiện bởi các nhà nghiên cứu [3]–[5]
Hình 1.1 Hình dạng tấm có bề dày thay đổi
Trong lĩnh vực khoa học vật liệu, Vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) được xem là một dạng của vật liệu Composite Loại vật liệu này được phát triển bởi các nhà khoa học Nhật Bản vào cuối những năm 80 của thế kỷ trước, nó đã khắc phục được những hạn chế của vật liệu Composite truyền thống như giảm ứng suất dư, ứng suất nhiệt và ứng suất tập trung [6] Thành phần vật liệu thường là gốm và kim loại Nhờ có những đặc tính nổi bật, một số lượng lớn các nghiên cứu đã được dành ra để tìm hiểu và phân tích ứng xử cơ học của dầm, cột, tấm và vỏ được làm từ FGMs [7], [8]
Việc kết hợp loại vật liệu FGMs vào kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi cũng đã được thực hiện bởi nhiều nhà nghiên cứu [9]–[12] nhằm tìm hiểu về ứng xử cơ học của loại vật liệu này trong kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi từ đó có thể ứng dụng chúng vào các lĩnh vực đời sống một cách tốt nhất
Trang 14cấu thành mà chưa tìm hiểu ứng xử cơ học của chúng khi các thành phân vật liệu này biến đổi theo khơng gian trong trong tồn bộ miền của tấm
Do đó, mục tiêu chính của nghiên cứu này là khảo sát các ứng xử cơ học của tấm FGMs có bề dày thay đổi dưới tác động của tải trọng tĩnh và tải trọng thay đổi theo thời gian, trong đó các thành phần vật liệu có xét đến sự thay đổi về mặt khơng gian trong miền của tấm Về vấn đề này, lý thuyết tấm bậc ba được sử dụng để biểu diễn các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị Các phương trình chủ đạo được phát triển dựa trên định lý Hamilton và phương pháp Phân tích đẳng hình học (IGA) được sử dụng như một phương pháp số để giải phương trình chính tắc
Nhiều ví dụ số khác nhau được thực hiện để xác nhận tính chính xác của phương pháp được đề xuất Các nghiên cứu tham số cũng được thực hiện để khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học và vật liệu Các kết quả thu được có thể dùng làm giải pháp chuẩn cho các cuộc điều tra trong tương lai
1.1.2 Tình hình nghiên cứu
Do có tính ứng dụng cao trong các một số lĩnh vực thực tế mà một số lượng lớn
các nghiên cứu đã được dành để nghiên cứu ứng xử cơ học của tấm có bề dày thay
đổi nói chung và tấm FGMs có bề dày thay đổi nói riêng
Tình hình nghiên cứu trong nước
Trang 15Tình hình nghiên cứu quốc tế
Một trong những nghiên cứu đầu tiên về phân tích uốn tuyến tính của tấm có bề dày thay đổi được thực hiện bởi Wang [17] Zenkour [18] trình bày các giải pháp phân tích cho bài tốn uốn tĩnh của các tấm hình chữ nhật với chiều dày thay đổi bằng cách sử dụng phương pháp tham số nhỏ Các nghiên cứu đáng chú ý khác về ứng xử uốn cong tuyến tính của các tấm có bề dày thay đổi đã được công bố gần đây là nghiên cứu của Kim và Pekoz [19], Zenkour [20], và Yekkalam Tash và Navayi Neya [21] Cheung và Zhou cũng nghiên cứu dao động tự do của các tấm Mindlin hình chữ nhật có bề dày thay đổi theo một hoặc hai hướng bằng cách sử dụng phương pháp Rayleigh – Ritz Manna [22] đã tiến hành một nghiên cứu về phân tích dao động tự do của các tấm hình chữ nhật đẳng hướng có bề dày thay đổi tuyến tính theo một hướng Tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tam giác bậc cao, trong khi lý thuyết biến dạng tấm bậc nhất được sử dụng để bao gồm ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang Gupta và cộng sự [23] đã nghiên cứu phân tích ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến ứng xử dao động của tấm vi mô bị nứt một phần với chiều dày không đồng nhất
Alipour và cộng sự [24] đã tiến hành một cuộc điều tra về ứng xử dao động tự do của các tấm trịn FGMs có bề dày thay đổi nằm trên nền đàn hồi, kết quả trong nghiên cứu này thu được đối với các điều kiện biên được ngàm, tự do và tựa đơn Phân tích dao động tự do của các tấm mỏng có bề dày thay đổi theo hình trịn và hình khun được phân loại theo chức năng xuyên tâm nằm trên nền đàn hồi Pasternak được thực hiện bởi Hosseini-Hashemi và cộng sự [25] Sự dao động tự do của một tấm hình trịn FGMs có bề dày thay đổi được nghiên cứu bởi Shojaeefard và cộng sự [26] Chen và cộng sự [27] đã phân tích các ứng xử dao động của các tấm hình bình hành có bề dày thay đổi với các vật liệu xốp được phân lớp chức năng trong mặt phẳng Bằng cách áp dụng phương pháp phân tích đẳng tích, Zhong và cộng sự [28] đã khảo sát dao động tự do của các tấm hình trịn, hình elip và hình cung của tấm FGMs có bề dày thay đổi
Trang 16tích dao động tự do của tấm FGM có bề dày thay đổi tuyến tính cũng được phát triển bởi Kumar và cộng sự [31] bằng cách sử dụng phương pháp của Galerkin-Vlasov
1.1.3 Cách chế tạo vật liệu FGMs
Vật liệu chức năng (FGMs) là một loại Composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp trong các loại Composite lớp Sự thay đổi dần dần các đặc tính của vật liệu sẽ làm giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư Vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, gốm, Ni, Cr, Co, Al…) phân bố trong không gian khối vật liệu theo một trật tự nhất định
Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất, các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dể tạo ra các kết cấu dạng tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo tính ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động [32]
Chế tạo vật liệu chức năng
Phụ thuộc vào nhu cầu cụ thể của các đặc tính cơ học của vật liệu và điệu kiện cơng nghệ hiên có mà lựa chọn công nghệ chế tạo vật liệu FGMs phù hợp Để chế tạo vật liệu FGMs có nhiều phương pháp khác nhau: Phun phủ nhiệt, Lắng đọng hóa học, Luyện kim bột – biến dạng tạo hình [33], Lắng động vật lý, Tổng hợp nhiệt độ cao [34], [35]
1.1.4 Ứng dụng của FGMs
Trang 17Hình 1.2 Một số ứng dụng của tấm phân lớp chức năng [nguồn: Internet]
Ngoài ra, việc áp dụng FGM cho các cấu trúc vi mô trong các công nghệ cao được nghiên cứu ngày càng nhiều trong vài năm qua Các cấu trúc vi mô, bao gồm các chùm tia vi mô Và các tấm vi mô là các thành phần cơ bản trong cảm biến sinh học, kính hiển vi lực nguyên tử, các hệ thống cơ điện tử vi mơ và nano Vì vậy, ứng xử cơ học của những cấu trúc quy mô nhỏ đó cần được nghiên cứu tồn diện để thiết kế phù hợp cho những ứng dụng đắt tiền đó
Trang 181.2 Mục tiêu và sự cần thiết của nghiên cứu
Có thể thấy rằng nghiên cứu về ứng xửcủa các tấm MFGPs có chiều dày thay đổi chưa được nghiên cứu một cách toàn diện Do đó, mục đích chính của nghiên cứu này là khảo sát ứng xử của tấm MFGPs, trong đó các tấm có bề dày thay đổi có dạng hình học hình chữ nhật và hình trịn được xem xét Kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào khối kiến thức trong lĩnh vực cơ học kết cấu và khoa học vật liệu nói chung
Phương pháp IGA [36] được biết đến rộng rãi như một phương pháp phần tử hữu hạn nâng cao, được sử dụng để giải phương trình chính tắc Việc áp dụng phương pháp IGA vào nghiên cứu này nhằm phát triển một công cụ số để giải quyết các bài tốn tấm có chiều dày thay đổi
1.3 Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu này tìm hiểu ứng xử tĩnh và động của tấm được làm bằng vật liệu chức năng đa chiều (MFGPs) có bề dày thay đổi Lý thuyết tấm bậc ba được sử dụng để mô tả quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng Các đặc trưng vật liệu của MFGPs được giả định thay đổi theo các hướng trong khơng gian trong thể tích của tấm, các đặc trưng vật liệu hiệu quả được mô tả theo quy luật hàm mũ Các phương trình chủ đạo được xây dựng dựa trên định luật Hamilton và phân tích đẳng hình học (IGA) được sử dụng như một cơng cụ số để rời rạc hóa phương trình chủ đạo Một số ví dụ số được thực hiên để xác minh tính chính xác của phương pháp đề xuất và nghiên cứu ảnh hưởng của các thơng số hình học cũng như vật liệu đối với ứng xử của các tấm MFGPs Nội dung nghiên cứu bao gồm:
- Tìm hiểu các kết quả nghiên cứu đã được thực hiện về tấm có bề dày thay đổi và Vật liệu phân lớp chức năng
- Xây dựng mô hình tính tốn cho bài tốn tĩnh và bài tốn động cho tấm phân lớp chức năng đa chiều dựa trên lý thuyết cơ học vật rắn và lý thuyết tấm bậc ba
- Phát triển chương trình tính dựa trên phương pháp đẳng hình học (Isogeometric Analysis) để giải các bài toán tấm
Trang 19CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Đặc trưng vật liệu của MFGPs
Trong Hình 2.1và Hình 2.2, các hình học của các tấm MFGPs hình trịn và hình chữ nhật có bề dày thay đổi và tọa độ Cartesian tương ứng được mô tả Đối với các tấm hình chữ nhật, chiều dài bên trong hướng x là a và chiều dài bên theo hướng y là
b, gốc tọa độ của hệ thống tọa độ Descartes nằm ở một góc của các tấm Đối với các tấm trịn có bán kính R, hệ tọa độ Descartes nằm ở trung tâm của tấm
Trong nghiên cứu này, các MFGPs được giả định bao gồm hai thành phần vật liệu riêng biệt, tức là thành phần gốm và kim loại Các đặc tính vật liệu của MGFM được tính tốn bằng mơ hình hỗn hợp (hay cịn gọi là mơ hình Voigt) trong tọa độ Descartes xác định như sau:
( , , )( , , )( , , )
c cm m
x y zx y zx y z
P =P V +P V (2.1)
trong đó ( , , )P x y z là một đặc trưng của vật liệu, chẳng hạn như Modun đàn hồi ( , , )
E x y z , hệ số Poisson ( , , )ν x y z , khối lượng riêng ( , , )ρ x y z , c và m biểu thị vật liệu gốm và kim loại tương ứng V x y zc( , , ) và V x y zm( , , ) là thể tích của vật liệu gốm và kim loại trong hệ tọa độ Descartes với V x y zc( , , )+V x y zm( , , )=1 Đối với các tấm hình trịn và hình chữ nhật có tọa độ Descartes cho trước như được mơ tả trong Hình 2.1 và Hình 2.2, các biểu thức tốn học cho phần thể tích gốm được đưa ra như sau:
Trang 20Dạng 3 1( , ) 2znccxcyzVV Vh x y = + (2.4) 2 20 02 2;2 22 22 2xyxynncxncynxaybxxabVVxaybxaxbab ≤ < ≤ < = = − ≤ ≤ − ≤ ≤ (2.5)
trong đó , ,n n n là chxyzỉ số gia tăng thành phần kim loại trong miền thể tích tấm; a, b
lần lượt là kích thước các cạnh của tấm hình chữ nhật; ( , )h x y là chiều cao tại tọa độ
(x,y) của tấm và được xác định bằng: h x y( , )=z x yt( , )−z x yb( , ); zt và zb được xác định trong cơng thức (2.9) đến (2.11) • Tấm hình trịn 11( , ) 2zrnncrzVRh x y = − + (2.6)
trong đó nr và nr là chỉ số gia tăng thành phần kim loại trong miền thể tích tấm; R là bán kính của tấm hình trịn; ( , )h x y là chiều cao tại tọa độ (x,y) của tấm và được xác
định bằng: h x y( , )= z x yt( , )−z x yb( , ); zt và zbđược xác định trong cơng thức 2.8 • Các giá trị của các đặc trưng vật liệu được tính tốn như sau
()()()( , , )( , , )( , , )cmcmcmcmcmcmE x y zEEVEv x y zvvVvx y zVρ ρ ρ ρ= − += − += − +(2.7)
trong đó E(x, y, z), v(x,y,z), p là các đặc trưng của vật liệu cụ thể lần lượt là module đàn hồi, hệ số Poison, và khối lượng riêng của vật liệu Chữ c là đại diện cho vật liệu
Trang 21Hình 2.1 Tấm hình trịn có bề dày thay đổi
a Thay đổi đối xứng theo hai hướng
Trang 22Biểu thức cho tọa độ của bề mặt trên zt và bề mặt đáy zb cho từng mơ hình trên được cho như sau
• Cho tấm hình trịn
Dạng cong lõm không đối xứng
()2minminmaxmin( , ) ; ( , )2 2tbhhrz x yz x yhhR = = − − − (2.8)
trong đó hmin và hmaxlần lượt là chiều dày nhỏ nhất và chiều dày lớn nhất của tấm hình
trịn; R là bán kính của tấm hình trịn
• Cho tấm hình chữ nhật
Dạng thay đổi bề dày theo cả hai hướng đối xứng
max( , ) ( , ) 12tbxyxyhxyx yz x yz x ykkk kaba b = − = − − + (2.9) ()0 1 yx y ; max0; min0 1 xyxyhhhh hhkkk kba b = − + = = − − + (2.10)
Dạng hình cong lồi khơng đối xứng
() 2minminmaxmin( , ) ; ( , ) 42 2tbhhxxz x yz x yhhaa = = − − − − (2.11)
trong đó kxvà ky (0<k kx, y < là các hệ số gia tăng bề dày theo hướng x, y tương ứng; 1)
min
h và hmaxlần lượt là chiều dày nhỏ nhất và chiều dày lớn nhất của tấm hình chữ nhật;
a, b lần lượt là chiều dài các cạnh của tấm hình chữ nhật
2.2 Lý thuyết tấm bậc ba của Reddy và phương trình chủ đạo
Trang 23123( ) ( )( ) ( )xywuuf zg zxwuvf zg zyuw∂θ∂∂θ∂= + −= + −=(2.12)
trong đó u, v và w là các vector chuyển vị của một điểm bất kì trong mặt phẳng tham
chiếu (mặt phẳng mà hệ toạ độ Descartes được đặt trên đó), θx và θy là biến dạng góc,
và 33224 4( ) ; ( )3 ( , ) 3 ( , )zzf zzg zh x yh x y
= − = Các quan hệ biến dạng chuyển vị được biểu
thị như sau: 0 f z( ) 1 g z( ) 2ε ε= + ε + ε (2.13) ()12( ) 1 ( )f zg zγ = ′ γ + − ′ γ (2.14) trong đó 22201222; ; ;2xxxyyyxyyxwuxxxvwyyyuvwyxyxx y∂θ ∂∂∂ ∂∂ε∂θ∂ ∂ε ε ε ε ε∂ ∂ ∂γ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = = = − + + − (2.15) ( )(1 ( ))xzxyzywxfzg zwyγ θγ θ∂ ∂ ′ ′= + − ∂ ∂ (2.16)
Phương trình cấu thành cho bài toán tấm được đưa ra bởi
Trang 24Bằng cách sử dụng định lý Hamilton, phương trình chuyển động có thể được viết như sau: ()210ettT − U − W dt =∫ δ δ δ (2.19)
trong đó T là động năng, U là thế năng biến dạng đàn hồi, W là công the ực hiện bởi ngoại lực tác động Cụ thể được xác định như sau
iiVT =∫ u u dV δ ρ δ (2.20) ijijVU =∫ dVδ σ δε (2.21) ΓΓˆeiiW = −∫t u dδ δ (2.22) trong đó V là thể tích của tấm, ˆi
t là ngoại lực tác động lên diện tích tấm Γ và dấu chấm biểu thị đạo hàm theo thời gian Thay thế biểu thức (2.13), (2.14) và (2.20) đến (2.22) vào biểu thức (2.19) và rút gọn các phương trình được trình bày như sau
+ Phân tích uốn tĩnh tuyến tính ˆˆT ˆdq wdδ δΩΩΩ = Ω∫ ε Dε ∫ (2.23) + Dao động tự do ˆˆT ˆddδ δΩΩΩ = Ω∫ ε Dε ∫um u (2.24) + Phương trình chuyển động Ω ˆT ˆ ˆ Ω Ω T Ω Ω ( ) Ωd + d = q twd∫ δε εD ∫ δu mu ∫ δ (2.25)
Trang 262.3 Hàm nội suy NURBS dựa trên phương pháp IGAS
Phương pháp phân tích đẳng hình học (IGA) là một kỹ thuật mới được tạo ra bởi Hughes và cộng sự [36] để tập hợp Thiết kế có sự hỗ trợ của Máy tính (CAD) và Phân tích Phần tử Hữu hạn (FEA) Một điểm nổi bật của IGA so với Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) truyền thống là sự biểu diễn nâng cao của khơng gian tính toán bằng cách sử dụng hàm cơ sở Non-Uniform Rational B-spline (NURBS) không đồng nhất
Trong sự phát triển của mơ hình IGA, thành phần cơ bản là vectơ nút Ξ, được định nghĩa là một tập hợp các số không giảm
{ξ ξ ξ1, 2, 3, ,ξi, ,ξn p+ +1},ξ ξii+1
Ξ = ≤ (2.31)
trong đó ξi là nút thứ i trong không gian tham số Các hàm cơ sở B-spline được phát triển theo cách đệ quy, bắt đầu bằng p = 0
( ) 1,010iiiN ≤ < += ξ ξ ξξ (2.32) và đối với p≥1 thì ( ) 1 ( ),,1,111i pii pi pi pi pii piNξ ξNξξNξξξξξξ+ +−−++ ++−−=+−− (2.33)
Đối với các bài toán 2 chiều (2D), các hàm cơ sở 2D NURBS được xây dựng dựa trên các tích số của hàm cơ sở B-spline hai hoặc đơn biến (Ni p, (ξ)và Mi q, (η)) như sau:
()( )(( ))( )( )( )( ),,,,,,,ˆˆˆ ˆˆ 1 ˆ1 , , ,,,i pi qiji pi qi jp qi jnmi pj qi jijNMwNMwRWNMwξ η ξ ηξ ηξ η = = ξ η= =∑ ∑ (2.34)
trong đó p và q là các bậc của hàm B-spline; i, j là các chỉ số, ξ η, là các biến của hàm tương ứng
Bằng cách sử dụng các hàm cơ sở NURBS làm hàm nội suy, các biến chuyển vị có thể được nội suy như
Trang 27trong đó u={uv θx θyw}T;di ={uivi θxi θyiwi}T Thay thế công thức (2.35) vào cơng thức (2.27), vector biến dạng có thể được suy ra như sau
Trang 2820 0 0 00 0 0 0ccRxRyγ∂ ∂ =∂ ∂ B (2.41)
trong công thức (2.39), đạo hàm bậc hai của hàm nội suy được yêu cầu để xây dựng ma trậnBε2, nói cách khác hàm nội suy phải đáp ứng các yêu cầu liên tục 2
C Yêu cầu này được xử lý hiệu quả dựa trên khái niệm IGA Sau đó, hệ phương trình cho uốn tuyến tính được phát triển từ phương trình (2.23) Và có thể được trình bày như sau
2.3.2 Bài tốn tĩnh
Phương trình được đưa ra như sau
l = q
K df (2.42)
2.3.3 Bài toán dao động tự do
Đối với phân tích dao động tự do, các dao động điều hòa được giả định và do đó phương trình hệ thống có thể được phát triển như sau:
( 2 )
l −ω =
KM d0 (2.43)
Trang 291 12233ˆ ; ˆTmmTmTmmmTmm = = RRRRRRRR(2.48) 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0cmccRRR = R (2.49) 20 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0cmcRR = R (2.50) ,3,0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0c xmc yRR− = − R (2.51)
2.3.4 Bài toán tấm dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian
Phương trình chuyển động được suy ra bằng cách thế công thức (2.35) vào (2.25)
( )
+=
Md Kdq t (2.52)
trong đó vectơ lực phân bố f được viết dưới dạng:
{}
Ω ( , ) 0 0 0 0 T Ω
q =∫ q x yRd
f (2.53)
Trong nghiên cứu này, ma trận cản tỷ lệ các bài toán động lực học được mơ hình hóa dựa trên giảm chấn Rayleigh, do đó ma trận cản được tính bằng:
01
aa
= +
CMK (2.54)
trong đó các hệ sốa0vàa1có thể được xác định từ các tỷ số giảm chấn quy định ζi và
j
ζ cho các chế độ rung thứ i và thứ j, tương ứng Ở đây, giả thiết rằng chế độ dao động thứ nhất và thứ hai có cùng tỷ số tắt dần ζ1 =ζ2= ζ , do đó các hệ số a0vàa1 có thể được tính bằng: 10121122;a ζ a ω ω aω ω= =+ (2.55)
Trang 30Do đó, phương trình hệ thống kết hợp ma trận giảm chấn được viết như sau:
( )t
++=
Md Cd Kdq (2.56)
Để giải bài toán tấm dưới tải trọng thay đổi theo thời gian như được mô tả trong phương trình (2.56), phương pháp gia tốc trung bình của Newmark [38] được sử dụng
Quy trình chung để giải quyết bài tốn động được tóm tắt như sau • Tính tốn ban đầu:
1 Đặt điều kiện ban đầu: d0 =0 và d0 =0
2 1()0000−= − −dMfCdKd 3 Chọn Δt4 ˆ 1 2 ,Δt (Δ )tγβ β= + +KKCM trong đó 1 / 4β= và γ=1 / 25 11;Δ1Δt2t2γγββββ=+=+−aMCbMC
Trang 31CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ 3.1 Bài tốn uốn tĩnh
Ở phần này bài toán tĩnh sẽ được kiểm chứng bằng việc so sánh kết quả của nghiên cứu này so với một số kết quả của các nghiên cứu đã được công bố để đảm bảo rằng việc xác minh có độ tin cậy lớn và chính xác, từ đó những ví dụ số sẽ được khảo sát thêm
Việc khảo sát độ võng của các tấm đã được đề cập trong Mục 2.2, với sự đa dạng của các thông số sẽ cho ra các nhận xét và kết luận về ứng xử của tấm, và ảnh hưởng của các thông số sẽ đến khả năng chịu uốn của tấm sẽ như thế nào
3.1.2 Ví dụ kiểm chứng
Trong phần này, tính chính xác của phương pháp đề xuất được xác nhận bằng cách xem lại một số ví dụ số liên quan đến các tấm có bề dày thay đổi và các tấm MFGPs đã được xuất bản trong tài liệu Trong ví dụ xác nhận đầu tiên, vấn đề dao động tự do của một tấm hình vng đẳng hướng được xem xét Các giải pháp tham chiếu được phát triển bởi Shufrin và Eisenberger [39] dựa trên phương pháp Kantorovich mở rộng, Mizusawa [40] bằng phương pháp dải spline, và Bacciocchi và cộng sự [41] bằng phương pháp cầu phương vi phân Giả thiết rằng bề dày của tấm hình vng có biên tựa bởi điều kiện biên SSSS và nó có sự thay đổi tuyến tính theo hướng x, trong đó biên dạng bề dày được cho bởi quan hệ sau
0( ) 12xh xha = − (3.1) 0( , ) ( , ) 12 2tbhxz x yz x ya = − = − (3.2)
Các điều kiện biên của tựa đơn là
�u=θx = =w 0 tại 𝑦𝑦 = 0 và 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏
0
y
v=θ =w= tại 𝑥𝑥 = 0 và 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (3.3) Các tần số được biểu thị theo yếu tố không thứ nguyên
Trang 32trong đó ρ là mật độ vật chất, E là môđun của Young và ν là tỷ số Poisson được lấy
bằng 0,3 Trong Bảng 3.1, các kết quả của tần số riêng của tấm thu được từ phương pháp tiếp cận hiện tại được so sánh với các kết quả được tham chiếu Có thể thấy rằng mơ hình số mơ hình được đề xuất dựa trên IGA mang lại các giải pháp thỏa thuận tốt với các phương pháp tiếp cận Cần lưu ý rằng các giải pháp hiện tại thu được từ một
lưới 12x12 với các hàm cơ sở lập phương (p = q = 3) Kích thước lưới này thu được từ
một nghiên cứu hội tụ, được bỏ qua cho mục đích ngắn gọn và lưới sẽ được sử dụng từ đó
Bảng 3.1 So sánh tần số dao động tự do của tấm hình vng tựa đơn
h0/a Những nghiên cứu Mode
1 2 3 4 5 6 7 8
0.1
Shufrin and Eisenberger [39] 1.4504 3.4743 3.5058 5.4838 6.5345 6.7038 8.5303 8.5921 Mizusawa [40] 1.4504 3.4743 3.5058 5.4840 6.5347 6.7039 8.5302 - Bacciocchi et al [41] 1.4507 3.4758 3.5074 5.4876 6.5394 6.7093 8.5390 8.6009 Nghiên cứu này 1.4507 3.4759 3.5075 5.4880 6.5401 6.7101 8.5406 8.6026 0.2
Shufrin and Eisenberger [39] 1.3738 3.1096 3.1276 4.6613 5.4883 5.5657 6.8435 6.8725 Mizusawa [40] 1.3738 3.1096 3.1276 4.6613 5.4881 5.5656 6.8437 6.8726 Bacciocchi et al [41] 1.3747 3.1139 3.1320 4.6703 5.4996 5.5778 6.8607 6.8900 Nghiên cứu này 1.3749 3.1150 3.1331 4.6741 5.5049 5.5841 6.8722 6.9019 0.4
Shufrin and Eisenberger [39] 1.1664 2.3603 2.3637 3.2845 3.7942 3.8050 4.5043 4.5105 Mizusawa [40] 1.1665 2.3603 2.3637 3.2845 3.7942 3.8050 4.5043 4.5105 Bacciocchi et al [41] 1.1687 2.3675 2.3710 3.2969 3.8093 3.8204 4.5241 4.5304 Nghiên cứu này 1.1696 2.3744 2.3782 3.3157 3.8352 3.8488 4.5708 4.5772
Trong ví dụ xác nhận thứ hai, sự dao động tự do của tấm MFGPs vuông với sự phân cấp không gian của thành phần vật chất được xem lại Vấn đề đầu tiên được giải quyết bởi Thai [42] bằng cách sử dụng phương pháp IGA 3D để giải quyết các vấn đề về độ đàn hồi nói chung Giả thiết rằng tấm có chiều dài cạnh a, chiều dày
h =a/10 và được ngàm ở bốn cạnh với điều kiện biên CCCC
0 xywuvwn∂θ θ∂
= = == == tại tất cả các biên của cạnh (3.5)
Tấm được làm từ Al O2 3 (gốm) và Al (kim loại), trong đó Ec =380 GPa, Em =70 GPa
Trang 334 4 11 12xyznnncxxyyzVaabbh = − − + (3.6)
trong đó n n nx, y, zlà các chỉ số gradient theo ba hướng không gian Tần số tự nhiên không thứ nguyên được cho bởi
22ccahEρωω = (3.7)
Như có thể thấy trong Bảng 3.2, kết quả thu được từ cách tiếp cận hiện tại phù hợp tốt với kết quả thu được từ cách tiếp cận IGA 3D
Bảng 3.2 So sánh tần số dao động tự do của tấm MFGPs có điều kiện biên ngàm
n = nx = ny = nz0 1 2 100 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này ω 1 10.6742 10.6010 6.6877 6.6345 6.1573 6.1113 5.4296 5.3976 ω 2 21.3315 21.1995 13.7138 13.6358 12.4436 12.3641 10.8477 10.7815 ω 3 30.8881 30.7316 19.7475 19.6792 17.8457 17.7577 15.7096 15.6381 ω 4 37.2134 36.9999 24.3297 24.2598 21.8867 21.7719 18.9272 18.8304
Trong ví dụ xác nhận thứ ba, bài toán uốn của tấm đẳng hướng (E=1 GPa, ν=0,3) với chiều dày thay đổi được xem xét lại Giả thiết rằng tấm hình chữ nhật có bề dày khơng đều h( )x dọc theo phương x Tấm chịu tải trọng phân bố đều và điều kiện biên là CSCS (được ngàm tại x=0 và x=a, được kê đơn giản tại y=0 và y=a, đảo ngược thứ tự
x, y trong nghiên cứu tham chiếu [20]) Giả thiết rằngh0 =0, 001a=hmin, hmax =1, 2hmin
Bề dày của các tấm được biểu thị bằng
202( ) 1 x 1h xhaλ = + − (3.8)
trong đó λ là hệ số đại diện cho sự thay đổi bề dày của tấm Đối với λ=2, tọa độ của
mặt trên và mặt dưới của tấm được cho bởi
() 2
minmin
maxmaxmin
Trang 34Chi tiết về điều kiện biên CSCS được cung cấp bởi
� u=θx = =w 0 tại 𝑦𝑦 = 0 và 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏
0
xy
u= =v θ =θ =w= tại 𝑥𝑥 = 0 và 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (3.10)
Bảng 3.3 So sánh ứng xử uốn của tấm đẳng hướng với bề dày thay đổi
a/b
λ= 0 λ= 2
Zenkour [20] Nghiên cứu
này Zenkour [20] Nghiên cứu này 1.0 1.9171 1.9155 1.5585 1.5364 1.2 3.1944 3.1928 2.6498 2.6230 1.4 4.6128 4.6145 3.9040 3.8789 1.6 6.0221 6.0296 5.1934 5.1754 1.8 7.3171 7.3319 6.4173 6.4090 2.0 8.4450 8.4665 7.5160 7.5172
Như thể hiện trong Bảng 3.3, các kết quả uốn thu được từ cách tiếp cận hiện tại và cách tiếp cận được tham chiếu rất phù hợp với nhau Các đại lượng khơng thứ ngun được tính như sau
()3300042010, ;2 2 12 1Da bEhwwDq bv = =− (3.11) 3.2 Bài toán động 3.2.1 Xác minh
Trong phần này, hai ví dụ số khác nhau được trình bày để xác nhận tính chính xác của cách tiếp cận được đề xuất về phân tích động lực học của kết cấu tấm
Trong ví dụ đầu tiên, vấn đề dao động tự do của tấm MFGPs vuông với bề dày đồng nhất được xem xét lại Tấm được làm từ Al O2 3 (Ec =380 GPa, 3
3800 /cp = kg m , mE =70 GPa, 32707 /m
p = kg m , và νc =νm =0,3) Tấm có chiều dài cạnh a, chiều dày
h=a/10 và có biên tựa:
�u =θx = =w 0 tại 𝑦𝑦 = 0 và 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏
0
y
v=θ =w= tại 𝑥𝑥 = 0 và 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (3.12) phần thể tích gốm thay đổi theo khơng gian được trình bày như sau
Trang 35Như được trình bày trong Bảng 3.4, các kết quả thu được từ cách tiếp cận hiện tại rất phù hợp với nghiên cứu của Thái [42], kết quả thu được bằng cách sử dụng các giải pháp đàn hồi dựa trên cách tiếp cận IGA 3D Các tần số tự nhiên không thứ nguyên được xác định bởi 22ccahEρωω= (3.14)
Bảng 3.4 So sánh tần số dao động tự do của tấm MFGPs hình vng biên tựa đơn
n= nx=nj=n n=0 n= 1 n=2 n=100 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này 3D IGA [42] Nghiên cứu này ω15.9219 5.9199 3.943 3.9415 3.568 3.5666 3.0122 3.0137 ω214.6199 14.6073 9.7323 9.7234 8.6701 8.6631 7.4346 7.4285 ω323.1084 23.0778 14.9711 14.9502 13.367 13.3501 11.7526 11.7424 ω428.6674 28.6133 19.1597 19.1228 16.9738 16.944 14.5803 14.5611
Trong ví dụ xác nhận thứ hai, vấn đề động của một tấm đẳng hướng vuông được giải quyết trong [43] bởi Lei và cộng sự và Kant và cộng sự [44] đã xem lại Tấm hình vng có chiều dài cạnh a=0,25m, bề dày h=0,05m Tính chất vật liệu của nó là
2
2,1 1010 /
E =× N m , ν=0,25 và 3
800 /kg m
ρ = Tấm được đỡ đơn giản với điều kiện biên SSSS và chịu tải trọng động phân bố đồng đều đột ngột với 52
( )0,1 10 /
q t =× N m
(tải trọng không thay đổi theo thời gian) Như được mô tả trong Hình 3.1, các kết quả thu được từ cách tiếp cận được đề xuất phù hợp tốt với nghiên cứu tham khảo
Trang 363.3 Khảo sát thơng số 3.3.1 Bài tốn tĩnh
Trong phần này, các khảo sát tham số được thực hiện để nghiên cứu ảnh hưởng của các thơng số hình học và vật liệu lên ứng xử uốn thẳng và dao động tự do của các tấm MFGPs có bề dày thay đổi Để chứng minh tính hiệu quả của phương pháp IGA trong khía cạnh mơ hình hóa, các tấm hình trịn cũng được nghiên cứu cùng với các tấm hình chữ nhật Cả hai tấm hình chữ nhật và hình tròn được giả định được làm từ Al O2 3
(Ec =380 GPa, 33800 /cp = kg m ,Em =70 GPa , 32707 /mp = kg m , νc =νm =0,3) Đối
với các tấm hình chữ nhật có độ dài cạnh a (dọc theo hướng x) và b (theo hướng y), sự phân bố trong không gian của phần thể tích gốm được cho bởi phương trình (3.15)
4 4 11 1( , ) 2zxynnncxxyyzVaabbh x y = − − + (3.15)
trong đó n n nx, y, zlà các chỉ số phần thể tích Tọa độ của mặt trên và mặt dưới của tấm tuân theo biểu thức trong Công thức (3.9) và các kết quả không thứ nguyên được biểu thị bằng Công thức (3.16) ()3320min0420min10, ; ;2 2 12 1ccccDa bE hawwDq avhEρωω = = =− (3.16)
Đối với tấm trịn có bán kính R, sự biến thiên trong không gian của phần thể tích gốm được biểu thị bằng 11( , ) 2zrnncrzVRh x y = − + (3.17)
trong đó tọa độ của bề mặt trên cùng và dưới cùng được đưa ra như sau Dạng cong lõm không đối xứng
()2minminmaxmin( , ) ; ( , )2 2tbhhrz x yz x yhhR = = − − − (3.18)
Các đại lượng khơng thứ ngun cho các tấm trịn được cho bởi
Trang 37Hai điều kiện biên đối với các tấm tròn đơn giản là các ranh giới được hỗ trợ (Sr) và được ngàm chặt (Cr) Biểu thức cho chúng được đưa ra trong Công thức (3.21) và (3.22) 0u= = =vw tại biên (3.20) 0xywuvwn∂θ θ∂= = == == tại biên (3.21)
Bảng 3.5 Kết quả uốn tĩnh của tấm MFGPs cong lồi khơng đối xứng hình chữ nhật điều kiện biên SSSS (hmin =a/10, a=1m)
Trang 38a/b=1 a/b=1/2 nxnxhmax/hminnzny 0 0.5 1 2 10 0 0.5 1 2 10 2 1.734 1.898 2.042 2.258 2.929 0.227 0.253 0.277 0.316 0.439 10 2.480 2.615 2.728 2.892 3.383 0.308 0.331 0.352 0.385 0.484 1 0 1.651 1.859 2.029 2.272 2.983 0.240 0.269 0.295 0.335 0.457 0.5 1.811 2.002 2.159 2.385 3.057 0.254 0.282 0.307 0.345 0.462 1 1.940 2.119 2.267 2.482 3.122 0.266 0.293 0.317 0.354 0.467 2 2.135 2.300 2.436 2.634 3.225 0.285 0.311 0.334 0.368 0.476 10 2.822 2.946 3.045 3.186 3.599 0.362 0.384 0.403 0.430 0.514 2 0 2.124 2.324 2.477 2.690 3.295 0.309 0.336 0.359 0.392 0.494 0.5 2.280 2.459 2.598 2.793 3.357 0.322 0.348 0.369 0.401 0.498 1 2.400 2.566 2.694 2.877 3.410 0.333 0.358 0.378 0.409 0.502 2 2.576 2.725 2.840 3.006 3.492 0.350 0.374 0.393 0.422 0.510 10 3.161 3.264 3.343 3.456 3.787 0.417 0.436 0.451 0.474 0.541 10 0 2.866 3.025 3.139 3.298 3.730 0.414 0.435 0.451 0.475 0.546 0.5 3.005 3.140 3.240 3.380 3.773 0.426 0.445 0.460 0.483 0.550 1 3.104 3.224 3.313 3.441 3.807 0.436 0.454 0.468 0.489 0.553 2 3.241 3.343 3.420 3.532 3.859 0.450 0.466 0.479 0.499 0.558 10 3.655 3.715 3.762 3.831 4.041 0.502 0.514 0.523 0.537 0.581
Bảng 3.6 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lõm khơng đối xứng hình chữ nhật điều kiện biên SSSS (hmin =a/10, a=1m)
Trang 39a/b=1 a/b=1/2 nxnxhmax/hminnzny 0 0.5 1 2 10 0 0.5 1 2 10 0.5 26.431 27.624 28.501 29.747 33.419 4.073 4.238 4.367 4.562 5.198 1 27.460 28.501 29.278 30.397 33.783 4.189 4.338 4.456 4.637 5.239 2 28.893 29.747 30.397 31.355 34.342 4.357 4.486 4.590 4.753 5.306 10 32.965 33.419 33.783 34.342 36.190 4.902 4.986 5.056 5.170 5.565 2 0 0 3.207 3.812 4.348 5.227 8.532 0.500 0.580 0.655 0.790 1.393 0.5 3.812 4.394 4.907 5.755 8.967 0.560 0.636 0.708 0.841 1.431 1 4.348 4.907 5.403 6.229 9.358 0.612 0.684 0.755 0.886 1.465 2 5.227 5.755 6.229 7.021 9.998 0.696 0.765 0.833 0.961 1.522 10 8.532 8.967 9.358 9.998 12.263 1.038 1.104 1.169 1.288 1.768 0.5 0 4.909 5.666 6.284 7.229 10.383 0.768 0.868 0.954 1.098 1.645 0.5 5.666 6.364 6.934 7.812 10.788 0.844 0.936 1.018 1.155 1.681 1 6.284 6.934 7.468 8.298 11.128 0.906 0.992 1.071 1.203 1.712 2 7.229 7.812 8.298 9.058 11.661 1.002 1.082 1.155 1.281 1.764 10 10.383 10.788 11.128 11.661 13.464 1.361 1.428 1.489 1.594 1.978 1 0 6.369 7.156 7.768 8.667 11.508 0.997 1.102 1.187 1.323 1.805 0.5 7.156 7.860 8.408 9.225 11.865 1.076 1.171 1.251 1.378 1.838 1 7.768 8.408 8.913 9.672 12.158 1.139 1.227 1.302 1.424 1.866 2 8.667 9.225 9.672 10.353 12.608 1.235 1.314 1.383 1.497 1.913 10 11.508 11.865 12.158 12.608 14.120 1.574 1.636 1.690 1.779 2.099 2 0 8.194 8.903 9.439 10.211 12.596 1.281 1.375 1.451 1.567 1.967 0.5 8.903 9.523 9.995 10.687 12.887 1.353 1.438 1.507 1.615 1.994 1 9.439 9.995 10.424 11.061 13.122 1.409 1.487 1.552 1.654 2.018 2 10.211 10.687 11.061 11.625 13.485 1.494 1.564 1.623 1.717 2.056 10 12.596 12.887 13.122 13.485 14.715 1.788 1.840 1.883 1.955 2.211 10 0 10.960 11.563 12.002 12.613 14.347 1.694 1.774 1.835 1.926 2.215 0.5 11.563 12.073 12.448 12.979 14.542 1.758 1.829 1.883 1.966 2.236 1 12.002 12.448 12.779 13.257 14.698 1.807 1.871 1.921 1.998 2.254 2 12.613 12.979 13.257 13.665 14.935 1.879 1.934 1.978 2.047 2.282 10 14.347 14.542 14.698 14.935 15.721 2.110 2.146 2.176 2.224 2.391
Bảng 3.7 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lồi khơng đối xứng hình chữ nhật điều kiện biên CCCC (hmin =a/10, a=1m)