2 cực trị lý thuyết

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT  Định nghĩa  Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói: a; b  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng   chứa x0 cho f  x   f  x0  , x   a; b  \ x0   a; b   K f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f a; b a; b  K  x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng   chứa x0 cho   Khi f  x   f  x0  , x   a; b  \ x0  f x Khi   gọi giá trị cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số   x ; f  x0   Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f  Quy tắc tìm cực trị  Quy tắc 1: f x  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm   i 1; 2;   Bước 2: Tìm điểm xi  mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f x f x  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu   Nếu   đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị xi  Định lý y  f  x x  h ; x0  h   Giả sử có đạo hàm cấp khoảng  với h  Khi đó: f  x 0, f  x0    Nếu   hàm số f đạt cực đại x0 f  x 0, f  x0    Nếu   hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số  Quy tắc 2: f x  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm   i 1; 2;  f  x 0  Bước 2: Tìm nghiệm xi  phương trình   f  x f  x  Bước 3: Tính   tính  i  f  x  Nếu  i  hàm số f đạt cực đại điểm xi Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA y  x  x  3x  VÍ DỤ Hàm số đạt cực tiểu điểm A x  B x 1 C x  D x 3 Lời giải Chọn B y  x3  x2  3x  Ta có hàm số có tập xác định D   x 1 y 0   y  x  x   x  ; y 2 x  y     y 1 4  ; ; Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 VÍ DỤ Cho hàm số y  x   m  1 x   m   x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Lời giải Chọn B Xét hàm số y  x   m  1 x   m   x (1)  y 3x   m  1 x   m   y 0  x   m  1 x  m  0 Ta có: (2) Hàm số cho khơng có cực trị  Phương trình y0 vơ nghiệm có nghiệm kép    0   m  1  1. m   0  m2  5m  0   m 4 VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x có đạo hàm   f  x   x   x   với x   Hàm số g  x  f   x  có điểm cực đại? A B C D m   1; ; ;  Do m số nguyên nên Vậy tập S có phần tử Lời giải Chọn B Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số Ta có f  x g  x  f   x   g x   f   x  f  x Từ bảng biến thiên hàm số ta có   x   x 4   g x  0  f   x  0  3  x     x 2 Như ta có bảng biến thiên hàm số g  x VÍ DỤ Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau y  f ( x) Số điểm cực trị hàm số A B Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số C D g  x có điểm cực đại Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số y  f  x Đặt g  x  f  x  C  C sau: gọi Giữ nguyên phần đồ thị C đồ thị hàm số C y g  x  Đồ thị phía Ox ta phần I Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”  C  suy từ đồ thị CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Với phần đồ thị C phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta phần II Hợp phần I phần II ta  C  Từ cách suy đồ thị bảng biến thiên hàm số từ VÍ DỤ Cho hàm số số đạt cực tiểu x 0 ?  C  , kết hợp với bảng biến thiên hàm số y g  x   f  x  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  C  y  f ( x) y  f  x ta có sau: có điểm cực trị x5 m   2m  1 x  x  2019 Có giá trị tham số m để hàm A.Vô số B.1 C.2 D.0 Lời giải Chọn B 2 y x   m  1 x  mx x  x   m  1 x  m  Ta có y x 0 Dễ thấy nghiệm đạo hàm Do hàm số đạt cực tiểu x 0  y đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x 0 Ta thấy dấu y dấu hàm số g  x  x   m   x  m g  x Khi Hàm số g  x đổi dấu qua giá trị x 0 x 0 nghiệm g   0  m 0 g x x  x Thử lại, với m 0   đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x 0 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số I 1;1 cắt đường trịn tâm   , bán kính R 1 hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? y x  3mx  A m 1 B m 2 C m 2 D m 2 3 Lời giải Chọn B Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3  Ta có y x  3mx   y 3x  3m Hàm số y x  3mx  có điểm cực trị  phương trình y 3x  3m 0 có hai nghiệm phân biệt  m   1 y  x.y  mx  Ta có: Suy phương trình đường thẳng y  mx   2mx  y  0  qua hai điểm cực đại cực tiểu I 1;1 Đường thẳng  cắt đường tròn tâm   , bán kính R 1 hai điểm phân biệt A , B  2m  d  I ;    R  4m2  1  m   m2    m  m  1   SIAB  IA.IB.sin AIB  sin AIB    2 Dấu xảy  sin AIB 1  AIB 90 Ta có Khi tam giác IAB vng cân I có IA 1 nên d  I ;    2m   4m2    m2  m  0  m   2 thỏa mãn đk  1 y x   m   x  m  VÍ DỤ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m   2;   B m    2;  C m    ;  m Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Lời giải Chọn C Ta có: D m   0;  2  y x   m   x  3m  y ' 4 x   m   x 4 x x  m  ;   x 0 y ' 0    x 2  m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác   m   m  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 f ( x)HỌC ( x4.0”  1)2 x  x x “TƯ DUY TOÁN Một sản phẩm củaf nhóm VÍ DỤ Cho hàm số   có đạo hàm g( x)  f x  12 x  m   Có giá trị nguyên dương CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn B  x   f ( x) 0  ( x  1) x  x 0   x 0  x 4 Ta có : , x  nghiệm kép      g( x)  f x  12 x  m  g  x   4x  12  f  x  12 x  m Xét   g x  0   x  12  f  x  12 x  m 0  (*)  x 3  x 3   2 x  12 x  m   x  12 x  m  ( l)    2 x  12 x  m  1 x  12 x  m 0    x  12 x 4  m    x  12 x  m 4  ( Điểm cực trị hàm số g  x nghiệm bội lẻ phương trình (*) nên ta loại phương trình 2 x  12 x  m  ) Xét hàm số y 2 x  12 x có đồ thị (C) có y ' 4 x  12 Ta có bảng biến thiên ; có điểm cực trị phương trình     có hai nghiệm phân biệt 3 Do đó, đường thẳng y 4  m y  m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh Để g  x độ khác Nhận xét: đường thẳng y 4  m nằm đường thẳng y  m y  f  x   x   m  1 x    m  x  VÍ DỤ Cho hàm số với m   Tập hợp tất giá   y f x a; b trị m để hàm số có cực trị khoảng   Tích a.b A 12 B 16 C 10 D 14 Ta có:  18   m  m  18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương Lời giải Chọn D Ta có y   x   m  1 x   m Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Vì   f x hàm hàm chẵn f  x  f   x  f  x   , nên đồ thị hàm f  x  đối xứng qua trục Oy Do đó, có hai cực trị dương hàm   có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy f x   f x cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm trục Oy  Yêu cầu toán tương đương với phương trình y 0 có nghiệm dương phân biệt Điều kiện tương đương    S   P    m  3m    m  1    m      m     m  8  m    m   m   1 m   7    m   m   ;8  4   m  a   , b 8 a.b 14 Vậy Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”