Dang toán 17 xác định góc giữa hai đường thẳng đường thẳng và mặt phẳng hai mặt phẳng

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 DẠNG TỐN 17: XÁC ĐỊNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác   Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức  u.v  cos   cos u, v    u.v   2) Góc đường thẳng mặt phẳng: a a' P Muốn xác định góc đường thẳng a Khi đó,  P  ta tìm hình chiếu vng góc a a  P a,  P   a, a ' 3) Góc hai mặt phẳng:       Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng   Khi đó, góc  a , b    ,      a , b    Tính góc Phương pháp 2: β b φ a c α        Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng  Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 tuyến c điểm c Khi đó:    ,      a , b  Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ          a , vuông góc với giao tuyến c mà        b Suy     ,      a, b    4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian: Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm  a a b a) Giả sử đường thẳng có vectơ phương , b  a b cosa, b      a, b  a.b Khi đó:   P  có vectơ pháp tuyến n b) Giả sử đường thẳng a có vectơ phương a  a n sin a,  P       a,  P   a.n Khi đó:      a c) Giả sử mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , b  a b cos   ,            ,     a.b Khi đó: BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng HƯỚNG GIẢI: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020  ABCD  B1: Xác định hình chiếu SC mặt phẳng B2: Tính góc SC hình chiếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A S A D B C  ABC  nên AC hình chiếu SC mặt phẳng Ta có: SA   ABCD  Do đó:  SC ,  ABCD   SC, AC  SCA Xét hình vng ABCD ta có: AC a Xét SAC vuông A , ta có:  tan SCA  SA a     SCA 30o AC a Bài tập tương tự phát triển: Câu 17.1:Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm mặt phẳng chứa hình thoi cho SA a vng góc với  ABC  Tính góc SD BC  A 60  B 90  C 45  D 30 Lời giải Chọn C S A B D C Trang GV: LÊ QUANG XE Ta có: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020  AD / / BC  SD, BC  SD, AD   ADS 450 Câu 17.2:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với BC 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào? A  20 ;30  B  30 ; 40  C  40 ;50  D  50 ;60  Lời giải Chọn D Ta có:  BC / / AD  SD, BC  SD, AD  SDA Xét SAD vng A , ta có:  tan SDA  o  ( Do SAD vuông A nên SDA  90 ) SA 3a 3     SDA arctan 56o AD 2a 2 Câu 17.3:Cho tứ diện ABCD có AC BD 2a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN a Tính góc AC BD A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Chọn C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 A I N a a a 2a B D 2a M C Gọi I trung điểm AB Ta có IM IN a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:  cos MIN  Vì IM  IN  MN a  a  3a     MIN 1200 2.IM IN 2.a.a IM / / AC , IN / / BD  AC , BD  IM , IN  1800  120 60 Câu 17.4:Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM A B C D Lời giải Chọn B      AC CM  CB AC BM cos AC , BM   cos AC , BM     a AC BM a      AC.CM  AC.CB  a2    a2 a2 a a2   a cos1200  a.a.cos1200 2     a2 a2 a2 2 Câu 17.5:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2a , BC a Các cạnh bên hình chóp a Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC bằng: A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 S A D M B Ta có: AB //CD nên C  , SC SCD  AB, SC   CD   Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SC a , CM a nên   AB, SC 45  tam giác vuông cân M nên SCD 45 Vậy Câu 17.6:Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , I trung điểm BC , AD AC Cho   AB 2a, CD 2a MN a Tính góc   AB, CD A 135   B 60  C 90   D 45 Lời giải Chọn D A N 2a I a a B M D 2a C  IN / / CD ; IN  CD a    IM / / AB; IM  AB a Theo tính chất đường trung bình tam giác:    AB, CD  IM , IN  cos   Áp dụng định lý cosin ta có: IM  IN  MN 2     450 2.IM IN 2 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 Câu 17.7:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào? A  30 ; 40  B  40 ;50  C  50 ;60  D  60 ;70  Lời giải Chọn D Gọi O  AC  BD M trung điểm SA Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB OA  BD AB  AD a  3a 2a    a 2 2 2 2 Xét MAB vuông A , ta có: MB  AB  MA  a  a a 2 2 Xét MAO vuông A , ta có: MO  AO  MA  a  a a Xét MBO , ta có: Ta có:  cos MOB  OB  OM  BM a  2a  2a     MOB 69 o 2.OB.OM 2.a.a 2  SC / / MO  SC , BD  MO, BD  MOB 69o o  ( Do MOB  90 ) Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020     A  0; 0;0  , B  a;0;0  , C a; a 3;0 , D 0; a 3;0 Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với S  0;0; 2a     SC  a; a 3;  2a  SC Ta có:  BD   a; a 3;0  BD  Suy ra:  có vectơ phương có vectơ phương  u  1; 3;     v   1; 3;0    u v cos SC , BD        SC , BD  69o u v 2.2 2 Câu 17.8:Cho hình chóp S ABC có ABC SBC tam giác nằm hai mặt  ABC  phẳng vng góc với Góc đường thẳng SA A 45 B 75 C 60 D 30 Lời giải Chọn A S A C H B Theo giả thiết ta có Trong mặt phẳng  ABC    SBC   SBC   SH   ABC  kẻ SH  BC nên AH hình chiếu SA   ABC  Do đó, SA,  ABC   SA, AH  SAH Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 Giả sử AB a Ta có: SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC Xét tam giác vuông SHA ta có Vậy  tan SAH  AH SH  a SH 1   SAH 45 AH SA,  ABC   45 Câu 17.9:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A  BC  SA  BC   SAB    SAB  BC  AB  Ta có: nên SB hình chiếu SC mặt phẳng Do đó:  SC ,  SAB   SC , SB  BSC Xét SAB vuông A , ta có: Xét SBC vng B , ta có: SB  SA2  AB   tan BSC   a 2  a a BC a     BSC 30o SB a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020   S 0;0; a A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với   SAB  : y 0  vectơ pháp tuyến  SAB  j  0;1;0  Ta có:   SC  a; a;  a  SC u  1;1;  có vectơ phương  j.u  sin  SC ,  SAB        SC ,  SAB   30o j u Suy ra:     Câu 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A  SAB  nên SA hình chiếu SD mặt phẳng Ta có: AD   SAB  Do đó:  SD,  SAB   SD, SA  ASD Trang 10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 Xét SAD vng A , ta có: tan ASD  AD a    ASD 30o SA a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   S 0;0; a A  0; 0;0  , B  a;0;  , D  0; a;0  Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với   SAB  : y 0  vectơ pháp tuyến  SAB  j  0;1;0  Ta có:   SD  0; a;  a  SD u  0;1;  có vectơ phương  j.u sin SD,  SAB        SD,  SAB   30o j.u Suy ra:     SA   ABC  SA a ABC Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có , , cạnh a Tính góc SB  ABC  o A 30  B 60  C 45  D 90 Lời giải Chọn C S C A B Ta có SA   ABC   AB hình chiếu SB mặt phẳng  ABC     ASB SD, AD  450 Trang 11 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 SA   ABC  SA a ABC Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có , , cạnh a Gọi  góc SC mặt phẳng A  SAB  Khi đó, B tan  C D Lời giải Chọn A S a a A C I a B CI  AB  CI   SAB   CI  SA  Gọi I trung điểm AB Ta có:     SI hình chiếu SC mặt phẳng  SAB    SC ,  SAB    SC , SI  CSI  a CI CI   tan  tan CSI     2 SI SA  AI a a2     2  ABCD  Câu 17.13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với  SBC  cà SA a Tính sin góc tạo AC mặt phẳng A B C D Lời giải Chọn D Trang 12 GV: LÊ QUANG XE Kẻ 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 AH  SB  BC  AH  AH   SBC      AH hình chiếu AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC    AC , HC   ACH Tam giác SAB vng Vì AHC vng  AH  SA AB a 6.a a   SB a 7 H  sin ACH  AH  AC Câu 17.14:Cho hình chóp S ABCD có cạnh đá a , cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn C  ABCD  Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc SD SO   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên Trang 13 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020  OD hình chiếu SD  ABCD  Do đó:  SD,  ABCD   SD, OD  SDO Xét hình vng ABCD ta có: OD  Xét SOD vng O , ta có: BD AB a 2   a 2  cos SDO  OD a     SDO 60o SD 2a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ SO   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên 2 2 Ta có: AC BD  AB 2a SO  SD  OD  4a  a a   S 0;0; a O  0;0;0  , C  a; 0;0  , D  0; a;  Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với   ABCD  : z 0   ABCD  có vectơ pháp tuyến k  0;0;1 Ta có:   SD  0; a;  a  SD u  0;1;  có vectơ phương  k u sin  SD,  ABCD         SD,  ABCD   60o k u Suy ra:   Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD   có đáy ABCD hình thang vuông A B với AD 2 AB 2 BC 2a; SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 2a (minh họa hình vẽ)  SAC  bằng: Góc đường thẳng SD mặt phẳng Trang 14 GV: LÊ QUANG XE A 30 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm AD Ta có: ACM DCM vuông cân M   ACD  ACM  DCM 45o  45o 90o  CD  AC mà CD  SA nên CD   SAC   SC hình chiếu SD mặt phẳng  SAC  Do đó:  SD,  SAC   SD, SC  CSD Xét ACD vng cân C , ta có: AC CD a 2 2 Xét SAC vuông A , ta có: SC  SA  AC  4a  2a a Xét SCD vuông C , ta có:  tan CSD  CD a     CSD 30o SC a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ A  0;0;0  , B  a; 0;  , C  a; a;  , D  0; 2a;  S  0;0; 2a  Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với   SD  0; 2a;  2a   SD u  0;1;  1 Ta có: có vectơ phương   AS  0; 0; 2a   2      AS , AC    2a ; 2a ;  AC  a; a;0      SAC  n   1;1;0  có vectơ pháp tuyến Trang 15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 sin SD,  SAC   Suy ra:  u.n      SD,  SAC   30o u.n Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a SA SB SC SD a Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng A  SAB   SAD  C B D  Lời giải Chọn B S I A D B C Gọi I trung điểm SA  BI  SA  , DI   SAB  ,  SAD   BI  Do tam giác SAD SAB nên  DI  SA     Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2     a  a  a  2 2 IB  ID  BD     cos BID   IB.ID 3 a a 2    cos  SAB  ,  SAD   Vậy    ABC  Câu 17.17:Cho tam giác ABC vng cân A có AB a , đường thẳng d vng góc với  ABC  điểm A ta lấy điểm D cho DBC Khi đó, góc hai mặt phẳng  DBC  nằm khoảng nào?  40 ;50  A o o  50 ;60  B o o  60 ;70  C o o  70 ;80  D o o Lời giải Chọn B Trang 16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 D a A C a a M B Gọi M trung điểm BC  BC  DM  BC   DMA   BC  DA  Ta có:  ABD    DBC  BC   DMA   BC     ABC  ,  DBC   AM , DM  DMA   DMA    ABC   AM  DMA  DBC DM     Mặt khác:  Ta có: AM  BC AB a BC a   DM   2 , 2 Xét ADM vuông A , ta có: cos AMD  AM 3   AMD arccos 54o DM 3 Cách khác: Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác Ta có: S ABC S DBC cos  1 a2 S DBC  DB.DC.sin 600  a 2.a  2 2 Mà: 1 S ABC  AB AC  a 2 Mặt khác:  cos   S ABC 3    arccos 54o SDBC 3 Câu 17.18:Cho hình chóp S ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy bằng: Trang 17 GV: LÊ QUANG XE A 30 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn B Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc  SCD   ABCD  SO   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên CD  SM  CD  SOM    Gọi M trung điểm CD Ta có: CD  OM CD   SOM   SCD    ABCD  CD     SOM    SCD  SM    SCD  ,  ABCD    SM , OM  SMO   SOM    ABCD  OM Do đó:  Xét hình vng ABCD ta có: OM a Xét SOD vng O , ta có: Xét SOM vng O , ta có: OD  BD AB 2a   a 2 2 SO  SD  OD   tan SMO   a 3   a  a SO a   1  SMO 45o OM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ SO   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên 2 2 Ta có: AC BD  AB 2a SO  SD  OD  3a  2a a Trang 18 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020     O  0;0;0  , C a 2;0;0 , D 0; a 2;0 S  0;0; a  Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với   ABCD  : z 0   ABCD  có vectơ pháp tuyến k  0;0;1 Ta có: z 1  x  y  z  a 0 a a a  n  1;1;   SCD  có vectơ pháp tuyến  k n cos   SCD  ,  ABCD          SCD  ,  ABCD   45o k.n Suy ra:  SCD  : x  y    Câu 17.19:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn C Trang 19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2020 BD  SA  BD  SAC    Gọi O  AC  BD Ta có: BD  AC Do đó:  BD   SAC   SBD    ABCD  BD     SAC    SBD  SO    SBD  ,  ABCD    SO, AC  SOA   SAC    ABCD   AC Xét hình vng ABCD ta có: OA  Xét SAO vng A , ta có: AC AB a 2   a 2  tan SOA  SA a     SOA 60o OA a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ       A  0; 0;0  , B a 2;0;0 , D 0; a 2;0 S 0; 0; a Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với   ABCD  : z 0   ABCD  có vectơ pháp tuyến k  0;0;1 Ta có:  SBD  : x a y a  z a 1  3x  y  z  a 0  n   3; 3; có vectơ pháp tuyến  k n cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD   60o k.n   SBD  Suy ra:  Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB 2a, AD  2a 3 , SA vng góc với  SBD   ABCD  mặt phẳng đáy, SA a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng bằng: Trang 20