Dạng toán 6 giải phương trình bất phương trình logarit

GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các công thức thường dùng để giải phương trình bất phương trình logarit  log a bc log a b  log a c  log a b log a b  log a c c   log a  f  x    log a f  x   log a b  log a b Nếu với  chẵn log a b  log a b   log a b  log c b log c a log a b  log a b   Phương trình logrit bản: log a f  x  b  f  x  a b log a f  x  log a g  x   f  x  g  x  Bất phương trình logarit bản: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  Với a  log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  Với  a  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Nghiệm phương trình A x 2 B x 5 C log  x  1 2 x D x Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn giải phương trình logarit HƯỚNG GIẢI: Áp dụng công thức log a f  x  b  f  x  a b Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B log  x  1 2  x  32  x 10  x 5 Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Bài tập tương tự phát triển: log 0,25 ( x - x ) =- Câu 1.1: Tập nghiệm phương trình A { } ìï - 2 + 2 ỹ ùù ùớ ; ý ùù 2 ùỵ ï ỵ C 1; - 4} B { - 1; 4} D { Lời giải Chọn D éx =- log 0,25 ( x - x) =- Û x - x = Û x - 3x - = Û ê ê ëx = - 1; 4} Vậy tập nghiệm phương trình { log  x  1  Câu 1.2: Tập nghiệm S bất phương trình S  1;9  S  1;10  S   ;9  A B C D S   ;10  D S  4 Lời giải Chọn A log  x  1    x   23   x  log  x  1  log  x  1 1 Câu 1.3: Tìm tập nghiệm S phương trình S  3 S  1 S  2 A B C Lời giải Chọn D 2 x    Điều kiện:  x    x  Với điều kiện trên, log  x  1  log3  x  1 1  log  x  1 log  x  1  log 3  log  x  1 log  x    x  3 x   x 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm S  4 Câu 1.4: Số nghiệm nguyên bất phương trình A log  x   log B C D Lời giải Chọn A x    log  x   log    x  4 2 x    x 7 S  3;   Tập nghiệm bất phương trình Từ suy bất phương trình có nghiệm ngun Câu 1.5: Tổng nghiệm phương trình log x - log =1 Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A B D C Lời giải Chọn D Điều kiện: x ¹ 2 Ta có: log x - log =1 Û log x = log +1 Û log x = log Û log x = log 36 Û x = 36 Û x = ±6 ( TM) Suy tống nghiệm phương trình log   x  100 x  2400   Câu 1.6: Biết S tập nghiệm bất phương trình có dạng S  a ; b  \  x0  A 50 Giá trị a  b  x0 B 150 C 30 D 100 Lời giải Chọn A BPT tương đương với:  x  100 x  2400      x  100 x  2400  100 40  x  60  40  x  60    x 50  x  50   S  40;60  \  50  a  b  x0 40  60  50 50 log   log  x     Câu 1.7: Biết tập nghiệm S bất phương trình A 12 B C khoảng  a; b  Tính b  a D 10 Lời giải Chọn D log  x    log   log  x       log  x      log  x    Ta có: x  1 x     3 x5 0  x     x  S  3;5   a 3; b 5  b  a 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log Câu 1.8: Số nghiệm phương trình A B  x  1 2 C Lời giải D Chọn B Ta có log  x  1  log  x  1 2 x  , x 1 , điều kiện  log  x  1  log  x  1 log Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  log   x  1  x  1  log   x  3x  1 9  x  3x      x  3x  3  x     x   Thử lại ta có nghiệm x 2 thỏa mãn log ( x - 1) + log ( 11 - x ) ³ Câu 1.9: Tập nghiệm bất phương trình ỉ 11ữ S =ỗ 3; ữ ỗ ỗ S = ( - ¥ ; 4] S = ( 1; 4] è 2÷ ø A B C D S = ( 1; 4) Lời giải Chọn C Điều kiện: ïìï x - > 11 Û 1< x < í ïïỵ 11- x > log ( x - 1) + log ( 11- x ) ³ Û - log ( x - 1) + log ( 11- x ) ³ Û log ( 11- x) ³ log ( x - 1) Û 11- x ³ x - Û x£ So với điều kiện ta có: S = ( 1; 4] log (x+ 2) + log (x- 5) + log = Câu 1.10:Số nghiệm phương trình A B 2 C D Lờigiải Chọn A log (x+ 2) + log (x- 5) + log = ( D = ( - 2; +¥ ) \ { 5} ) Û log (x + 2) + log x - - = Û log ((x+ 2) x - ) = Û (x+ 2) x - = 23 = Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA éìï (x + 2)(x- 5) = êïí êï x >5 ïỵ Û ê êì (x+ 2)(x- 5) =- êïï êíï x 0) Đặt , phương trình trở thành t - 6.t + = Phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt x1 x2 Đặt = t1 , = t2 , t1 + t2 = 6, t1.t2 = 3 Ta có S = (t1 + t2 ) = (t1 + t2 ) - 3t1.t2 (t1 + t ) = 216 - 3.2.6 = 180 Câu 1.14:Cho x thỏa mãn ( log x - 1) log x ( x - 20) = 2 A 20 B 29 log x + x Giá trị A = C 30 D 11 Lời giải Chọn D ìï ïï x > í ïï x ¹ Điều kiện: ïỵ Ta có x ( log x - 1) log x ( 3x - 2) = Û log log x ( x - 20) = Û log ( x - 20 ) = 2 Û 3x - 20 = Û x = ( thỏa mãn) log8 + = 11 Vậy A = Câu 1.15:Biết x1 , x2 x1 + x2 = hai nghiệm phương trình ỉ4 x - x +1ữ ữ log ỗ + x +1 = x ỗ ữ ữ ỗ 2x ố ø a+ b với a , b hai số nguyên dương Tính a + b ( ) A a + b = 13 B a + b = 11 C a + b = 16 D a + b = 14 Lời giải Chọn C Điều kiện: x > 0, x ¹ ỉ4 x - x +1÷ ữ log ỗ + x +1 = x Û log ( x - x +1) + x - x +1 = log ( x ) + x ỗ ữ ữ ỗ 2x ố ứ Ta cú: f ¢( t ) = +1 > f ( t ) = log t + t " t > nên hàm số đồng biến t ln Xét hàm số có ( 0;+¥ ) Do ta có Khi x - x +1 = x Û x - x +1 = Û x = 3± Trang GV:LÊ QUANG XE x1 + x2 = Vậy 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 3- 3- x1 = +2 3+ 3+ 3- = 9+ x1 + x2 = +2 = 94 4 4 ; x2 = ( ) ( ) 3+ Do a = 9; b = a + b = + = 14  4a  2b   log   a  3b   a b  Câu 1.16:Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức T a  b A C Lời giải B D Chọn D  a  2b   log5   a  3b   log5  4a  2b   log5  a  b   a  3b   a b   log5  4a  2b  5   4a  2b  5 log5   a  b     a  b  Xét hàm f  x  log5 x  x, x  Đạo hàm f  x   (*)   0, x  f  x  0;  x.ln Suy hàm số đồng biến Phương trình (*) viết lại: f  4a  2b  5  f   a  b    4a  2b  5  a  b   a  3b 5 Mặt khác: 52  a  3b   12  32   a  b   T a  b2  Dấu " " xảy  a b   a  ;b  2 Câu 1.17:Cho hai số a, b dương thỏa mãn đẳng thức log a = log 25 b = log 4b - a Giá trị biểu thức ỉa M = log ỗ + 4b ữ ữ ỗ ữ- log b ỗ ố2 ứ bng A B C D Lời giải Chọn A Đặt: log a = log 25 b = log 4b - a =t 4b - a =10t Khi đó: a=4t, b=25t, Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2t t ỉư ỉư 2÷ 2÷ 4.25t - 4t t t t ỗ ỗ 4.25 - = 4.10 ỗ ữ ữ ỗ ữ + 4.ố ữ- = ỗ5 ứ ỗ5 ứ ố Nờn: =10t t ổử 2ữ ỗ ữ ỗ ữ= 2 - ỗ5 ứ ố t a ổ 4ử ữ =ỗ = (2 - 2)2 = 12 - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 25 Suy ra: b ỉa ỉa M = log ỗ + 4b ữ - log b log ỗ + 2ữ ữ ữ ç ç ÷ ÷ ç ç è2 ø è2b ø = log 6 = Vậy: = Câu 1.18:Giả sử S  a, b  tập nghiệm x  x  x  x log x   x  x  log x    x  x A B bất phương trình Khi b  a C D Lời giải Chọn A x     x  x 0  Điều kiện: D  0;3 x      x 3 x  x  x  x log x   x  x  log x    x  x  x  x  x  x log x  x  x  1 log x    x  x   x  1   x log x    x  x  x log x        x log x  x     x  x2   5  x log x   I   x    x  x    5  x log x   II   x    x  x    - Giải hệ (I) 5  x log x   1   x    x  x    Giải  1  x log x  5  f  x   x   log x  x   xg  x  với x   0;3 Xét hàm số Trang GV:LÊ QUANG XE Ta có 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA g  x     0x   0;3 x x ln Lập bảng biến thiên 5  f  x   x   log x   0x   0;3 x  Vậy Xét bất phương trình (2): 6  x  x   x  1 2 x  x      x   x  x2  x  x 1  x       x    x  x   5  D  ;3  I  2  Vậy nghiệm hệ Hệ  II  vô nghiệm 5  S  ,3 2  Vậy b  a 3   2 Câu 1.19:Tập nghiệm bất phương trình Khi tích a.b 12 A ( ) log x x + + - x + x + x + £ B 12 15 C 16 (là a ;- bù ú û 16 D 15 Lời giải Chọn B x Ta có ( Nhận xét: ) x +2 - x +4 = 2x x2 + + x +4 = ( 3x + x + x2 + + x ) x + + x > x + x ³ 0, " x Î  Trang GV:LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 ( *) Khi x x + + - x > Û x + >- 3x Với điều kiện log ( *) bất phương trình cho tương đương ( 3x + x + 2 x +2 + x ) + 2x + ( ) x2 + £ ( ) Û + log x + x + - log x + x + + x + x + £ ( ) ( Û x + x + + log x + x + £ x + x + + log x + x + ( ) ( Xét hàm số f ( t ) = t + log t Û f 3x + x + £ f x + x + f ¢( t ) = + Do Û ) khoảng ( 1) ( 0;+¥ ) >0 f ( t) ( 0;+¥ ) t ln với " t > nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 1) Û 3x + x + £ x + x + ìï x £ ïï ïï é ïï êx £ - Û íê ïï ê ìï x £ ïï ê Û ïí x³ ïï ê Û x£ ê ïïỵ x + £ x x + £ - 2x ỵï ë ( *) Với điều kiện Û ( x + 2) > x Û - ( **) 8