28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5,0 điểm) A Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức x2 x x3 x 2 x2 : x3 x x x x x2 x với x 0; x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 919193 113 91919 11 3 Chứng minh rằng: 91919 91908 91919 91908 Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Bài 2: (4,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn: a c b d Chứng minh a b c d hợp số P x x x x x 2034 Cho đa thức Tìm số dư phép chia P x cho đa thức x 10 x 19 Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm tất số x, y, z nguyên thoả mãn: x y z xy y z 0 a b c a b c 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thoả mãn: a2 b2 c2 P a 2bc b 2ac c 2ab Tính giá trị biểu thức: Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O b) Chứng minh: BM MK Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam AB BC CA 2 2 giác ABC Chứng minh rằng: AM BN CP Bài 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x 2 x; y 4 phương trình: y 28 17 x y 14 y 49 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) A Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức x2 x x3 x 2 x2 : x3 x x x x x2 x với x 0; x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 919193 113 91919 11 3 Chứng minh rằng: 91919 91908 91919 91908 Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Lời giải A a) x2 x x3 x 2 x2 : x3 x x x2 x x2 x với x 0; x 1 x x 1 x x 1 x2 : 2 x x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x : x x 1 x 1 x x 1 x 1 : x 1 x x 1 x2 x x 1 x x 1 x2 x 1 x x b) x2 1 x x 2 x x Ta có x 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x x x x 1 2 x x 1 1 2 x 2 4 x x x 1 Dấu “=” xảy P 4 x 2 Vậy 2 x 1 1 x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x 1 x x 2 TM x 0 L TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 91919 11 919192 91919.11 112 919193 113 919193 919083 91919 91908 919192 91919.91908 919082 91919 11 91919.11 91919 11 91919 91908 919082 91919 91919 91908 91919 11 919082 91919.11 91919 11 91919 91908 91908 91919.11 91919 91908 Để n 18 n 41 số phương n 18 p n 41 q p, q p q n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 Vì 59 số nguyên tố nên p q 59 p 30 q 29 n 18 p 302 900 n 882 2 Thay vào n 41 ta 882 41 841 29 q số phương Vậy n 882 n 18 n 41 số phương Bài 2: (4,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn: a c b d Chứng minh a b c d hợp số P x x x x x 2034 Cho đa thức Tìm số dư phép chia P x cho đa thức x 10 x 19 Lời giải a b c d a b c d a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 Xét Vì a số nguyên dương nên a, a hai số tự nhiên liên tiếp a a 1 2 Tương tự ta có b b 1 ; c c 1 ; d d 1 a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 Ta có: chia hết cho số chẵn a c b d a b c d 2 b d số chẵn Do a b c d số chẵn Mà a b c d Vậy a b c d hợp số P x x x x x 2034 Cho đa thức Tìm số dư phép chia P x cho đa thức x 10 x 19 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com P x x x x x 2034 x 10 x 16 x 10 x 24 2034 Đặt t x 10 x 19 P x t 3 t 2034 t 2t 2019 Do t 2t 2019 chia cho t có số dư 2019 P x Vậy cho đa thức x 10 x 19 có số dư 2019 Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm tất số x, y , z nguyên thoả mãn: x y z xy y z 0 a b c a b c 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thoả mãn: Tính giá trị biểu thức: P a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab Lời giải y2 3 x y z xy y z 0 x xy z z 1 y y 0 4 y 2 x z 1 y 0 1 2 y x 0 1 0 z 0 y 0 Phương trình Vậy x, y , z 1; 2;1 a b c Ta có a b c ab ac bc 0 a2 a2 a2 a 2bc a ab ac bc a b a c Tươg tự P x 1 z 1 y 2 b2 b2 c2 c2 ; b 2ac b a b c c 2ab c a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a b a c b a b c c a c b a b a c b c 1 a b a c b c Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O b) Chứng minh: BM MK Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam AB BC CA 2 2 giác ABC Chứng minh rằng: AM BN CP Lời giải 4 BH / / DI AC BH DI OBH ODI a) Ta có tứ giác BHDI hình bình hành (vì ) Có O trung điểm HI nên O trung điểm BD Vậy B đối xứng với D qua O b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH N MN BC N trung điểm BH MN trung bình AHB MN / / AB MN AB MN //CK //AB MN CK AB nên MNCK hình bình hành CN //MK 1 Ta có: CN BM Tam giác BMC có N trực tâm Từ 1 2 suy BM MK Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Vẽ Cx CP Cx // AP Gọi D điểm dối xứng A qua Cx AB / / Cx AB AD BAD 90 Ta có Cx AD ACD có Cx vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ACD cân C Ta có tứ giác APCI hình chữ nhật (vì PAI APC PCI 90 ) AI CP Mà AD 2 AI nên AD 2CP Xét điểm B, C , D ta có: BD BC CD 2 2 ABD vuông A nên: AB AD BD AB AD BC CD 2 AB 4CP BC AC 4CP BC AC AB 2 Tương tự: 4AM AB AC BC 2 4BN AB BC AC Công vế theo vế ta được: AB BC CA AM BN CP AB BC AC 2 2 Vậy AM BN CP 4 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x 2 x; y phương trình: y 28 17 x y 14 y 49 4 Lời giải x 2 y 28 17 x y 14 y 49 x y 17 x y Sử dụng bất đăng thức Bunhiacovski ta có: x y2 7 x y Dấu “=” xảy 2 2 x y 2 17 x y x y x y x y 7 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 2 x y 2 x y Vì x; y nên 2 x y 0 , chúng có giá trị nguyên nên ta suy x y 7 x 2 x y 1 y 3 Vậy phương trình có nghiệm 2;3 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC