32 đề lục nam 18 19

28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5,0 điểm) A Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức  x2  x x3  x 2  x2  :     x3  x  x  x x  x2  x  với x 0; x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  919193  113 91919  11  3 Chứng minh rằng: 91919  91908 91919  91908 Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Bài 2: (4,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn: a  c b  d Chứng minh a  b  c  d hợp số P x  x    x    x    x    2034 Cho đa thức    Tìm số dư phép chia P  x cho đa thức x  10 x  19 Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm tất số x, y, z nguyên thoả mãn: x  y  z  xy  y  z  0  a  b  c  a  b  c 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thoả mãn: a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab Tính giá trị biểu thức: Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O b) Chứng minh: BM  MK Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam  AB  BC  CA 2 2 giác ABC Chứng minh rằng: AM  BN  CP Bài 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x 2  x; y  4 phương trình:  y  28  17  x  y  14 y  49  4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) A Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức  x2  x x3  x 2  x2  :     x3  x  x  x x  x2  x  với x 0; x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  919193  113 91919  11  3 Chứng minh rằng: 91919  91908 91919  91908 Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Lời giải A a)   x2  x x3  x 2  x2  :     x3  x  x  x2 x  x2  x  với x 0; x 1 x  x  1  x  x  1  x2  :     2 x  x  x  1  x  x  1  x x  x  1  x 1  x  1  x    : x  x  1  x  1 x  x  1 x 1  :  x  1 x  x  1  x2 x  x  1 x  x  1 x2   x  1 x  x  b) x2 1 x   x   2 x x Ta có x  1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x  x  x  x  1 2 x  x  1 1 2  x    2  4 x x x 1 Dấu “=” xảy P 4 x 2 Vậy 2   x  1 1  x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  x  1  x      x 2  TM    x 0  L  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  91919 11  919192  91919.11 112  919193  113  919193  919083  91919  91908   919192  91919.91908  919082   91919  11  91919.11 91919  11  91919  91908 919082  91919  91919  91908   91919  11 919082  91919.11 91919  11  91919  91908 91908  91919.11 91919  91908 Để n  18 n  41 số phương n  18  p n  41 q  p, q   p  q  n  18    n  41 59   p  q   p  q  59  p  q 1   Vì 59 số nguyên tố nên  p  q 59  p 30  q 29 n  18  p 302 900  n 882 2 Thay vào n  41 ta 882  41 841 29 q số phương Vậy n 882 n  18 n  41 số phương Bài 2: (4,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn: a  c b  d Chứng minh a  b  c  d hợp số P x  x    x    x    x    2034 Cho đa thức    Tìm số dư phép chia P  x cho đa thức x  10 x  19 Lời giải   a  b  c  d   a  b  c  d  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 Xét Vì a số nguyên dương nên a, a  hai số tự nhiên liên tiếp  a  a  1 2 Tương tự ta có b  b  1 ; c  c  1 ; d  d  1  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 Ta có: chia hết cho số chẵn a  c b  d  a  b  c  d 2  b  d  số chẵn Do a  b  c  d số chẵn Mà a  b  c  d  Vậy a  b  c  d hợp số P x  x    x    x    x    2034 Cho đa thức    Tìm số dư phép chia P  x cho đa thức x  10 x  19 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com P  x   x    x    x    x    2034  x  10 x  16   x  10 x  24   2034 Đặt t x  10 x  19  P  x   t  3  t    2034 t  2t  2019 Do t  2t  2019 chia cho t có số dư 2019 P x Vậy   cho đa thức x  10 x  19 có số dư 2019 Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm tất số x, y , z nguyên thoả mãn: x  y  z  xy  y  z  0  a  b  c  a  b  c 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thoả mãn: Tính giá trị biểu thức: P a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab Lời giải  y2  3  x  y  z  xy  y  z  0   x  xy     z  z  1   y  y   0  4   y 2    x     z  1   y   0  1 2  y   x  0   1 0   z  0   y  0   Phương trình Vậy  x, y , z   1; 2;1  a  b  c Ta có  a  b  c  ab  ac  bc 0 a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b   a  c  Tươg tự P  x 1   z 1   y 2 b2 b2 c2 c2  ;  b  2ac  b  a   b  c  c  2ab  c  a   c  b  a2 b2 c2 a2 b2 c2      a  2bc b  2ac c  2ab  a  b   a  c   b  a   b  c   c  a   c  b   a  b   a  c   b  c  1  a  b  a  c  b  c Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O b) Chứng minh: BM  MK Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam  AB  BC  CA 2 2 giác ABC Chứng minh rằng: AM  BN  CP Lời giải 4   BH / / DI   AC   BH  DI  OBH ODI  a) Ta có tứ giác BHDI hình bình hành (vì  ) Có O trung điểm HI nên O trung điểm BD Vậy B đối xứng với D qua O b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH N  MN  BC N trung điểm BH  MN trung bình AHB  MN / / AB     MN  AB  MN //CK  //AB       MN CK   AB    nên MNCK hình bình hành  CN //MK  1 Ta có:   CN  BM   Tam giác BMC có N trực tâm Từ  1  2 suy BM  MK Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Vẽ Cx  CP  Cx // AP Gọi D điểm dối xứng A qua Cx  AB / / Cx   AB  AD  BAD 90  Ta có Cx  AD ACD có Cx vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ACD cân C    Ta có tứ giác APCI hình chữ nhật (vì PAI  APC PCI 90 )  AI CP Mà AD 2 AI nên AD 2CP Xét điểm B, C , D ta có: BD BC  CD 2 2 ABD vuông A nên: AB  AD BD  AB  AD  BC  CD  2  AB  4CP  BC  AC   4CP  BC  AC   AB 2 Tương tự: 4AM  AB  AC   BC 2 4BN  AB  BC   AC Công vế theo vế ta được:  AB  BC  CA  AM  BN  CP   AB  BC  AC  2 2 Vậy AM  BN  CP 4 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x 2  x; y  phương trình:  y  28  17  x  y  14 y  49  4 Lời giải x 2   y  28  17  x  y  14 y  49   x   y     17 x   y    Sử dụng bất đăng thức Bunhiacovski ta có: x   y2  7      x   y Dấu “=” xảy 2 2     x   y      2 17  x   y      x  y    x  y   x  y  7 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 2 x  y 2 x  y  Vì x; y   nên 2 x  y 0 , chúng có giá trị nguyên nên ta suy  x  y 7  x 2    x  y 1  y 3 Vậy phương trình có nghiệm  2;3 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC