Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT QUẬN DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn: Tốn – Lớp - Thời gian làm bài: 120 phút x x2 x x2 3x A : x x x x x3 Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A Câu (6,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh A a b c số phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2012 x 2013 y 2014 0 c) Cho đa thức nhị thức trị 18 f x ax3 bx cx d x 1 , x , x 3 Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho có số dư x đa thức nhận giá Câu (3,0 điểm) a) Tìm x để biểu thức: E x x 10 x x với x 1 đạt giá trị lớn 1 4 x 0, y 0, z x y z b) Cho 1 1 Chứng minh x y z x y z x y z Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF ( H thuộc BF ), AH cắt DC BC M N a) Chứng minh rằng: tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1 2 AD AM AN c) Chứng minh Câu (2,0 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tơ ba màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN DIỄN CHÂU Năm học: 2020-2021 x x2 x x2 3x A : x x x x x3 Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 2; x 2; x 3 x x2 x x2 3x A : x x x 2x x 2x 4x2 x x 3x A : x x x x 2x x x x x x x 3x x2 A : x x x x x x 2x x A x x x x x x 3x : x x 2x x A x2 8x x x A 4x x 2 x x 3 : x x x x x 3x : 2x x x x x x x2 A x x x x 3 x A b) 4x2 x x 0 x x x x 3 0 x x 1 x 1 0 x 1 x 3 0 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com x (nhận) x (nhận) 3 x 1; A Vậy Câu (6,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh A a b c số phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2012 x 2013 y 2014 0 c) Cho đa thức nhị thức trị 18 f x ax3 bx cx d x 1 , x , x 3 Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho có số dư x đa thức nhận giá Lời giải a) Ta có ab bc ca 1 nên a ab bc ca a ab bc ca a b a c a a c a c a b Tương tự b a b b c c a c b c ; Do A a b c a b b c a c số phương b) Ta có x xy 2012 x 2013 y 2014 0 x xy 2013x 2013 y x 2013 0 x x y 2013 x y x 2013 0 x y x 2013 x 2013 0 x 2013 x y 1 0 x 2013 x y 1 1 Vì x, y ngun nên ta có bảng sau x 2013 x y 1 x y Vậy 1 1 2014 2014 2012 2014 x; y 2014; 2014 , 2012; 2014 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TOÁN Website: tailieumontoan.com c) Khi chia đa thức x 3 f x ax bx cx d cho nhị thức x 1 , x , f 1 f f 3 6 có số dư nên theo định lý Bơ zu ta có: f 1 18 Và x đa thức nhận giá trị 18 nên Khi ta có: a b c d 6 8a 4b 2c d 6 27a 9b 3c d 6 a b c d 18 a c 12 3a b c 8 7a 2b c 6 (lấy ba phương trình đầu trừ phương trình cuối) 2a b 3a b (Lấy hai phương trình cuối trừ phương trình đầu) a 1 c 11 b d 0 Vậy a; b; c; d 1; 6;11;0 Câu (3,0 điểm) a) Tìm x để biểu thức: E x x 10 x x với x 1 đạt giá trị lớn 1 4 x 0, y 0, z x y z b) Cho 1 1 x y z x y z x y z Chứng minh Lời giải a) 2 x x 10 x x 1 x 1 10 x 1 x 1 10 10 E 2 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 E 1 Khi 10 x x 1 t Đặt x E 1 t 10t 1 39 39 39 E 10t t 10 t 2.t 10 t 20 400 40 20 40 40 Ta có: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com Suy Vậy E 39 1 t x 19 40 Dấu xảy 20 hay x 20 MaxE 39 x 19 40 11 1 1 b) Từ x y x y nên x y x y Với x 0, y 0, z ta có: 1 1 1 1 1 1 x y z x y x z x y x z x y x z 16 x y z 1 1 Tương tự x y z x y y z 16 x y z ; 1 1 2 x y z x z y z 16 x y z 1 1 4 4 1 1 1 1 Khi x y z x y z x y z 16 x y z x y z Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF ( H thuộc BF ), AH cắt DC BC M N a) Chứng minh rằng: tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1 2 AD AM AN c) Chứng minh Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com a) Xét ADM BAF có: A B 900 AD AB MAD ABF (cung phụ với AFB ) ; ; Do ADM BAF (cạnh góc vng – góc nhọn kề), suy DM AF (cạnh tương ứng) Mà AE AF (gt) nên DM AE (1) Lại có DM // AE AB // DC (2) Từ (1) (2) suy AEMD hình bình hành Kết hợp với ADM 90 suy AEMD hình chữ nhật b) Xét HAB HFA có: ABH FAH (do ABF MAD theo a), BHA AHF 90 BH AB g.g AH AF Do HAB ∽ HFA Mà AB BC , AF AE nên BH BC AH AE 0 Lại có HAB 90 FAH 90 ABH HBC BH BC Xét CBH EAH có AH AE HAB HBC nên CBH ∽ EAH (c.g.c) S BCH 4 Mà S AEH nên CBH ∽ EAH theo tỉ số đồng dạng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN Website: tailieumontoan.com BC AB 2 2 E trung điểm AB F trung điểm AD Suy AE hay AE 1 EF BD AC 2 Khi EF đường trung bình tam giác ABD hay AC 2 EF CN MN AD CN AD CN AM MN AM MN (*) (Hệ Talet) c) ADM có CN // AD nên AD AM MN MC MN MC AD MC AD MC ABN có CM // AB nên AN AB AN AD AN MN AN MN (**) (Hệ Talet) AD AD MC CN AN MN MN Từ (*) (**) suy AM MC CN AD AN MN AM MN AD 1 AN MN AM 1 2 AM AN AD (ĐPCM) Câu (2,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô ba màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đôi khác màu Lời giải Xét ngũ giác ABCDE , ta thấy đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ năm đỉnh A, B, C , D, E ba màu xanh, đỏ, tím xảy hai khả sau: + Nếu tô năm đỉnh A, B, C , D, E đủ ba màu cho tồn ba đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân + + Nếu tô năm đỉnh A, B, C , D, E nhiều hai màu cho có ba đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy trường hợp ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh tơ màu đôi khác màu = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN