Phương trình nghiệm nguyên 1

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa phép chia hết a bp  r (0 r  b ) Với a, b  Z (b 0); q, r  Z cho +) Nếu r 0  a b b +) Nếu r 0  a  Một số tính chất: a, b, c, d  Z +) Nếu a 0  a a;0a +) Nếu a b; b c  a c +) Nếu a b; ba  a b +) Nếu a b; a c  a BCNN [b, c] +) Nếu a b; a c;(b, c) 1  a bc +) Nếu a b  ac b(c  Z ) Một số định lý thường dùng +) Nếu a c; b c  (a b)c +) Nếu a c; b d  ab cd n n  +) a b  a b (n  Z ) Một số hệ áp dụng  n n +) a, b  Z ; n  Z  a  b a  b  n n +) a, b  Z n chẵn n  Z  a  b a  b  n n +) a, b  Z n lẻ n  Z  a  b a  b B Các dạng tốn Dạng 1: Đưa dạng tổng bình phương - Cơ sở phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn, vế cịn lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) Chẳng hạn:   A2    B A2  B m  n     A   B  m n n m , giải phương trình tương ứng kết luận ngiệm phương trình Bài 1: x  y  x  y  13 0  1 Tìm nghiệm ngun phương trình: Lời giải Ta có: x  y  x  y  13 0   x  x     y  y   0   x     y   0  x  0   y     x 3   y  Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  x; y   3;   Bài 2: HSG Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2016 - 2017 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x 5 y  xy  y 12 Hướng dẫn giải Ta có: 2 x 5 y  xy  y 12   x  y    y  1 13  2    3 Để ý y  có dạng lẻ nên ta có trường hợp kết luận nghiệm nguyên x, y thỏa mãn toán là:  x; y     1;1 ,  0;   ,  4;   ,   3;1  Bài 3: Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2017 - 2018 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x 4 y  xy  x  2017 Hướng dẫn giải Ta có: 2 x 4 y  xy  x  2017   x  y    x  1 2017 92  442 Ta tiến hành xét trường hợp kết luận Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  8;  18  ,  8; 26  ,   10;  27  ,   10;17  ,  43;17  ,  43; 26  ,   45;  27  ,   45;  18 Bài 4: Chuyên Tỉnh Quảng Nam, năm học 2016 - 2017 Tìm cặp số tự nhiên  m, n  thỏa mãn: m  n m  n  Hướng dẫn giải Ta có: m  n m  n   4m  4n 4m  4n  32   4m  4m  1   4n  4n  1 24 2   2m  1   2n  1 34  Do 2m  2n  hai số tự nhiên lẻ nhỏ có tổng bình phương 34 Có số tự nhiên lẻ nhỏ là: 1, 3,  2m  3    34 Ta có: , đó:  2n  5 2  m 2  Suy n 3  2m  5   2n  3 m 3  n 2 Bài 5: HSG Nam Định, năm học 2015 - 2016 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y  xy  x  y 1 Hướng dẫn giải Ta có: 2 x  y  xy  x  y 1   x  y    x  1   y  1 4 Từ tìm số  x; y  cần tìm là:  1;1 ;   1;1 ;  1;  1 Bài 6: Chuyên Long An, năm học 2017 - 2018 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 3x  y  12 x  y  0 Hướng dẫn giải Ta có: x  y  12 x  y  0  48  x     y   121 Chú ý y  có dạng lẻ nên ta có trường hợp kết luận nghiệm phương trình là:   2;1 Bài 7: Chuyên Hải Dương, năm học 2017 - 2018 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y  xy  y  0 Hướng dẫn giải Ta có: x  y  xy  y  0   x  y     y   5 12  22 Vậy nghiệm phương trình là:   6;  1 ,   2;  1 ,   6;  3 ,   10;  3 ,   1;0  ,   3;  ,   9;   ,   11;   Bài 8: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y  xy  x  y  0 Hướng dẫn giải Ta có: x  y  xy  x  y  0   x  y     y   1 12  02 Giải kết luận nghiệm phương trình là:   1;   ,  1;   ,  1;  1 ,   3;  1 Bài 9: HSG Bến Tre, năm học 2016 - 2017 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y  xy  y  Hướng dẫn giải Ta có: 2 x  y  xy  y   x  y  xy  y  0   x  y    y  1 9 02  32 02     Để ý y  có dạng số lẻ Giải kết luận nghiệm phương trình là:  1;  1 ,   2;  Bài 10: HSG Bạc Liêu, năm học 2016 - 2017 2 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  23 y  16 x  44 y  16 xy  1180 0 Hướng dẫn giải Ta có: 2 x  23 y  16 x  44 y  16 xy  1180 0   x  y  1  15  y   1248 1248 2   y  2    y   83 15 Do  x  y  1 ,1248 15;8  1   y   chia hết cho  số phương chia hết cho   y     0;16;64 Từ tìm nghiệm phương trình:   5;10  ,   17;10  ,   1;   ,  11;   Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2016 - 2017 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y  xy  x  y  35 0 Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: 2 2 x  y  xy  x  y  35 0   x  y  1   y  1 38   x  y  1 38   y  1 38 2  3x  y  1 ;  y 1 số phương nhỏ 38  3x  y  1 chẵn từ ta có trường hợp tìm nghiệm phương trình là:  3;   ;   1;   Cách 2: Ta có: 2 x  y  xy  x  y  35 0   3x  y  1   y  1 38   x  y  1 38   y  1 2    y  1  19   *   3x  y  1 Vì  2 0   y  1 19 y  1 Mà  số phương với Từ  *    y nguyên nên    y  1  19  phải số phương 2    y 1  19  36   y  1 1     y 0  y     x 3 y 0    x   (loại) - Với  x 3 y     x  (thỏa mãn) - Với Vậy nghiệm phương trình là:  3;   ;   1;   Bài 12: Chuyên Cà Mau, năm học 2015 - 2016 2 2 Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x  18 y  z  y z  18 x 27 Hướng dẫn giải Ta có: 3x  18 y  z  y z  18 x 27   x    18 y  z  y z 54  1 +) Lập luận để Từ z 3  z 3  z 9  z 9  *  1   x  3    54 3  x  3 hay  x  3  z  y  z   54   2  z  y  z   3  x    2.9  y  y 12  y 4  y 1; y 4 y nguyên dương - Nếu y 1  y 1   1 :  x  3  z 72  z 72  z  72  z 9  z 3 (do *) Khi y 4  y 2 (vì y nguyên dương) (1) có dạng:  x  3  14 z 126  14 z 126  z 9  z 9  z 3 Suy Vậy  x  3 0  x 3 (vì z nguyên dương) (vì x nguyên dương)  x 3  x 6    y 2;  y 1  z 3  z 3   Bài 13: Chuyên Cà Mau, năm học 2016 - 2017 2 2 Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x  y  z  y z  18 x 6 Hướng dẫn giải Ta có: 3x  y  z  y z  18 x 6  1 ;  x    y  z  y z 33   2 z 33  z 3 z 3 Suy z 3 , z nguyên nên  z 0 a) z 0,     x  3  y 11    y 11  y 2 Với y 0,  3 Với y 1,  3  x   0;6 khơng có số ngun x thỏa mãn b) z 3,     x  3  y 5    11 y 5  y 0,   Vậy phương trình (1) có nghiệm ngun: khơng có số nguyên x thỏa mãn  0;1;  ,  0;  1;  ,  6;1;0  ,  6;  1;0  Bài 14: HSG Tỉnh Cà Mau, năm học 2016 - 2017 x  y  x y  60 37 xy  1 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: Hướng dẫn giải  x  y Ta có:    2  x y  35 xy  60   x  y  5  xy  3   xy  VT 0   xy  3   xy  0   xy 4 Giải sử có x, y nguyên thỏa mãn,  xy 3 x, y  Z  xy  Z    xy 4 Do x y  xy 3    x  y  0  x 3 (vô nghiệm Z ) - TH1:  x y  x  y 2  xy 4     x  y  0  x 4  x  y  (vô nghiệm Z ) - TH2:   x  y 2  Vậy  x  y  giá trị cần tìm Bài 15: HSG Hồi Nhơn, năm học 2016 - 2017 2 Tìm tất cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57  Hướng dẫn giải 2 Ta có 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57   x  49 y  42 xy  x  14 x  49  y  y     (3x  y )  ( x  7)  ( y  3)   x  0  x     y  0    y 3 3x  y 0  Bài 16: HSG Việt Yên, năm học 2018 - 2019 2 Tìm số nguyên x, y biết y  2( x  1) 2 y ( x  y ) Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: y  2( x  1) 2 y ( x  1)  y  2x   2xy  y 0  4x  4xy  y  y  y  0  (2x  y )  ( y  2) 0 (1) Vì (2x  y ) 0 ; ( y  2) 0 (2 x  y ) 0 2 x  y 0  x 1      ( y  2) 0  y  0  y 2 Nên (1) Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2) Bài 17: HSG Lục Nam, năm học 2018 - 2019 2 Tìm tất số x, y , z nguyên thoả mãn: x  y  z  xy  y  z  0 Hướng dẫn giải  y2  3  x  y  z  xy  y  z  0   x  xy     z  z  1   y  y   0  4   Ta có: 2 2 y 2    x     z  1   y   0  1 2  y  x  0    1 0   z  0   y  0   Phương trình Vậy  x 1   z 1  y 2   x, y, z   1; 2;1 Bài 18: HSG Quế Võ, năm học 2020 - 2021 2 Tìm hai số x, y thỏa mãn: x  y  2(3x  y ) 11 0 Hướng dẫn giải 2 Ta có: x  y  2(3x  y ) 11 0  x  y  x  y  11 0  ( x  x  9)  2( y  y  1) 0  ( x  3)2  2( y  1) 0 (1) 2 2 Do ( x  3) 0 ; 2( y  1) 0  ( x  3)  2( y  1) 0 (2) Từ (1) (2) suy x 3 y 1 Bài 19: HSG Thanh Oai, năm học 2020 - 2021 2 Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình: x  y  x  y 2 Hướng dẫn giải 2 x  y  x  y 2  x  y  x  y 8   x  x  1   y  y  1 10 2   x  1   y  1 10 12  32 10  2   1     10  2 3  10 2     10 Vì x, y    x  1; y    Mà     , nên ta có trường hợp: 2x  3 3 1 1 1 y –1 3 3 1 x 0 1 2 1 y 1 1 1 3 1 1 Vậy cặp số nguyên  x, y  thoả mãn là:  1;  ;  1;  1 ;  0;  ;  0;  1 ;  2; 1 ;  2;  ;   1; 1 ;   1;  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 2 Tìm x, y, z  Z thỏa mãn: x  y  x  y 8(1) Lời giải  (2 x  1) 32   x 2; x    2  (2 y  1) 5  y 3; y  2 2 2 (1)  x  x  y  y 32  (2 x  1)  (2 y  1) 5     2   x 3; x   (2 x  1) 5   (2 y  1) 32   y 2; y   Vậy ( x, y )  (2,3), (2;  2), (  1;3), (  1;  2), (3, 2), (3;  1), (  2, 2), ( 2;  1) Bài 2: 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y 169 Lời giải Ta có: x  xy  y 169   x  y   y 169 02  132 52  122 Do phương trình thỏa mãn khả năng:  x  y 0    y 13  x  y 13   y 0  x  y 5   y 12  x  y 12   y 5 Giải ta nghiệm nguyên phương trình là:  x; y     29;12  ,  19;12  ,   29;  12  ,   19;  12  ,  22;5  ,   2;5  ,  2;       22;  5 ,  26;13 ,   26;  13 ,   13;  ,  13;0   Bài 3: 2 Tìm x, y, z  Z thỏa mãn: x  xy  y 169(1) Lời giải 2 2 (2 x  y )  x 12  (1) (1)  x  xy  y  x 144  25 169    2 2 (2 x  y )  x 13  (2) Giải (1)  (2 x  y ) 122   x 5  x 5  ;  y     x 5   y 22    2   x 12  x 12  (2 x  y ) 5  ;   x 122 y 19  y 29      Giải (2)  (2 x  y ) 132   x 0     x 0  y 13    2   x 13  (2 x  y ) 0    x 132   y 26  ( x, y )   (5;  2), (5;  22), (  5, 2);(  5, 22), (12;  19), (12;  29), ( 12;19), ( 12; 29), (0;13), (0;  13), (13; 26), ( 13;  26) Bài 4: 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  xy  y  0 Lời giải 2 2 2 Ta có: x  y  xy  y  0  (2 x  y)  (2 y 1) 9 0  Bài 5: 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  y  xy  0 Lời giải 2 2 2 Ta có: x  y  y  xy  0  ( x  y )  ( y  1) 4 2  10