UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016 - 2017 Đề thi có 01 trang Mơn: Tốn Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh rằng: 2 A = a b c a b c ab bc ca số phương b) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: y x x Câu (4,0 điểm) x2 1 a) Rút gọn biểu thức S ; 1 x x 1 x b) Cho số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện a b c b c a c a b c a b b 2c 3a Tính giá trị biểu thức P a b c Câu (4,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đồng thời điều kiện: x 3xy x 1 y 1 x2 y 1 b) Giải phương trình: x x x x x 9 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, kẻ HM vng góc với AB AB3 M Chứng minh BM = BC Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự trung điểm AH CD; I O theo thứ tự trung điểm AB IC a) Chứng minh rằng: MO = IC ; b) Tính số đo BMK Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Hết (Giáo viên coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016-2017 Mơn: Tốn Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh rằng: 2 A = a b2 c a b c ab bc ca số phương b) Tìm số ngun x, y thỏa mãn phương trình y x x Đáp án Điểm a)( điểm) 2 2 2 Ta có: A a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 0,75 0,50 0,50 Vì a, b, c số nguyên nên A số phương 0,25 b)( điểm) 2 2 2 Ta có y x x 4y 4x 4x 1 23 2y 2x 1 23 2 0,50 2y 2x 1 23 2y 2x 1 2y 2x 1 23 (1) 0,50 Vì x, y nguyên dương nên 2y + 2x + > 2y + 2x + > 2y 2x 0,25 2y 2x 1 4y 24 x 5 2y 2x 23 2x 2y y 6 Suy ra: 0,50 Vậy (x, y) = (5, 6) 0,25 Câu 2(4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức S x2 1 ; 1 x 1 x 1 x b) Cho số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện a b c b c a c a b c a b b 2c 3a Tính giá trị biểu thức P a b c Đáp án Điểm a)( điểm) ĐKXĐ: x 0; x 1 (*) Với điều kiện (*), ta có: S 0,50 x2 1 x3 x x 2 x2 2 x x x 1 x3 x x3 x3 0,50 0,50 0,50 x x 1 b)( điểm) Từ GT suy ra: a b c b c a c a b 2 2 2 c a b 0,50 a b c b c a c a b c a b 0,50 Vì a, b, c dương nên a b c , suy a b c 0,50 1 3 Do đó, S = P 5.5.5 125 1 1 0,50 Câu (4,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đồng thời điều kiện: x 3xy x 1 y 1 ; x y 1 b) Giải phương trình: x x x x x 9 Đáp án Điểm a)( điểm) Từ phương trình thứ suy ra: x2 x 1 y 3x 1 0 3x 1 x 1 y 0 2 + Nếu 3x 0 x (2) y 0,50 0,25 x 0 + Nếu x y 0 y 2 x x x 1 1 x 0,50 - Với x 0 y 1; 0,25 (2) 2 - Với x 0,25 4 3 y 5 2 2 ; , ; 0,1 ; , 3 5 Vậy ( x, y) , 0,25 b)(2 điểm) Viết lại phương trình: 0,50 x x x x 12 0 Đặt t x x Ta có phương trình: t 3 t t 12 0 t 3 t 0 t 0,50 + Giải phương trình x x 3 x 1 + Giải phương trình x x x 0,25 13 (loại) Vậy, phương trình có nghiệm x = 0,50 0,25 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, kẻ HM vng HM vng AB góc với AB M Chứng minh BM = BC Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự trung điểm AH CD Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC Chứng minh rằng: MO= IC ; Tính số đo góc BMK Đáp án 1.( điểm) * Vẽ hình: C H A B M Điểm Ta có: AB BH BC BH 0,50 AB BC Mà: BH BM AB 0,50 AB AB BM AB BM BC BC 1,00 2.( điểm) C B O I N K H M D A a) Ta có: MH MA IM / / BH IM AC IA IB 0,50 Xét AMC có MO đường trung tuyến MO= IC 0,50 0,50 b) Gọi N trung điểm BH - Chỉ MN đường trung bình HAB CD) tứ giác MNCK hbh - Chỉ MN BC N trực tâm MBC NC BM Mà NC // MK MK BM BMK 900 - Chỉ MN//CK; MN = CK (= 1,50 1,00 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Đáp án Điểm Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b c b c a c a b 1 1 ; ; a b c a b c a b c a b c 0,75 Suy ra: VT + ab bc ca 1 ab bc ca ab bc ca a b c abc 1 ab bc ca Do đó, a3 b c b3 c a c3 a b 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab bc ca 3 (abc ) 3 0,50 1 Do đó, a3 b c b3 c a c3 a b 2 0,25 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 HẾT