TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI HSG VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ LẦN THỨ MƠN THI: TỐN LƠP 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Câu Giải phơng trình x x 19 x x 10 x x 15 x x x x x x 231x Câu Tìm hàm số f (1; ) → R tho¶ m·n f ( x) f ( y ) ( y x) f ( xy )x, y 1, x y Câu 3: Tìm cặp số nguyên tố (p,q) thoả mÃn p2 q2 pq số nguyên Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Một đờng tròn nằm hình bình hành tiếp xúc với cạnh AB,AD lần lợt M,N cắt đờng chéo BD E,F Chứng minh tồn đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng BC DC đồng thời đờng tròn qua E F Câu 5: Tìm k nguyên dơng nhỏ cho k số tự nhiên không lớn 50 tồn số nguyên dơng phân biệt a, b a2+b2 số phơng đáp án - thang điểm Câu 1: (5,0 điểm) Nhận xét1: Với a b c th× a a x b x x b x nÕu x 0 x 0 NhËn xÐt 2: Hµm sè f ( x) a x b x xác định đồng biến liên tục tập D= 0; f ' ( x) a x ln a b x ln b a 0 víi a>b>0 cho tríc Nhận xét 3: Tích hai hàm số đồng biến, nhận giá trị dơng tập D hàm đồng biến tổng hai hàm số đồng biến D hàm số đồng biến áp dụng (+) x : VT 6 x 3x 19 x x 10 x x 15x x 9 x x 5 x x VP 231x phơng trình nghiệm dơng (+) với x >0 chia vế phơng trình cho 231x = (3.7.11)x đợc x 10 19 15 ( ) x ( ) x ( ) x 1 ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x 1 11 11 7 3 11 11 Tõ nhËn xÐt (2) vµ nhËn xÐt hµm sè 19 x x 10 x x x x x x x g ( x) x 1 1 Tõ 11 11 11 11 nhËn xÐt (2) vµ nhËn xÐt (3) hµm sè x 19 5 g ( x) x 11 11 x x x x x x x 10 x 1 11 11 D (0;) 19 10 vµ g (1) 1 1 11 11 11 11 7 3 = 14 1 11 11 lµ hµm sè đồng biến phơng trình đà cho g(x)=g(1) x=1 nghiệm phơng trình Câu 2: (4,0 điểm) Tìm hàm số f ( 1; ) → R tho¶ m·n f ( x) f ( y ) ( y x) f ( xy) x, y 1; x y Gi¶i gt f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) f ( xy) xy f ( xy)x y 1 y x x y x, y, z (*) vµ x y z x f ( x) f ( y ) f ( y ) f ( z ) f ( x ) f ( z ) ( y x) f ( xy ) ( z y ) f ( yz ) ( z y ) ( y x) f ( xz ) ( z y ) f ( yz ) f ( xz ) ( y x) f ( xz ) f ( xy) f ( yz ) f ( xz ) f ( xz ) f ( xy) f ( yz ) f ( xz ) f ( xz ) f ( xy) 1 1 y x z y yz xz xz xy tõ (*) → xyz f ( xyz ) x y z f ( x yz ) đặt u xyz V x yz u, v (u v ) a Uf (u ) vf (v) a const f ( x) x x Câu 3: (3,0 điểm) Đặt p2 q2 k (k z ) p kqp q 2k 0 pq (1) Trong tất số nguyên dơng (p,q) thoả mÃn (1) giả sử (po;qo) cặp số có po+qo bé không giảm tổng quát giả sử po qo xét phơng trình p kqo p qo 2k 0 (2) ta thÊy po nghiệm (2) gọi p1 nghiệm lại (2) theo định lý vi ét ta có: po p1 kqo P1 Z Po p1 qo 2k ( p1 ; qo ) cịng lµ nghiƯm cđa (1) đặt f(p)=p2-kqop+ qo 2k p1 po qo (*) tõ (*) f(qo) 0 2q o kq o 2k 0 2q o k (qo 2) 2q q 2 k 4 k o 2 q o q o (do ) k=1 th× (1) p pq q vô nghiệm k=2 (1) p pq q vô nghiệm k=3 (1) p pq q 0 (3) p q 3 p,q p q thay vào (3) không thoả mÃn k=4 th× (1) p pq q 0 (4) p q 4 p, q cïng tÝnh vÉn lỴ nÕu p,q cïng lỴ p2+q2 2(mod 4) p q 4 lo¹i ( p, q ) vËy p,q cïng ch½n p q 2 vËy (p,q) = (2;2) Câu 4: (5,0 điểm) Trên tia CB, CD lần lợt lấy điểm S,T cho BS = BM, DT = DN 2 BEBF ( SEF ) BS BM ( TEF ) DT DN DEDF NÕu ( SEF ) ( TEF ) th× tiÕp xóc BC t¹i F tiÕp xóc DC t¹i T c /( SEF ) CS c /( TEF ) CT CS CB BS CB BS CB BM CB AB AM CT CS CT CD DT CD DN CD AD AN c /( SEF ) c /( TEF ) ( SEF ) ( TEF ) EF ( AM AN ) trục đẳng phơng đờng tròn C EF (vô lý) ( SEF ) ( TEF ) (đpcm) Câu 5: (4,0 điểm) Ta tìm cặp số Pitago (a,b) thoả mÃn a b 50 (3;4), (6;8), (9;12), (12;16), (15;20), (18;24), (21;28), (24;32), (27;36), (30;40), (33;44) (36;48) (5;12) (10;24) (15;36) (20;48) (9;40) (8;15) (16;30) (24;45) (7;24) (14;48) EF Cã 11 số mà cặp chứa số A 4,8,12,20,24,36,40,44,48,28,16 Có 11 bé pitago dêi lµ D = (3;4), (6;8), (5;12), (15;20), (21;28), (33;44), (9;40), (16;30), (14;48)(18;24), (27;36) NÕu k 39 th× ta chän k sè thuéc B A cỈp bÊt kú 39 sè có tổng bình phơng số ph¬ng k 40 ta chøng minh k = 40 thoả mÃn xét tập C gồm 40 số nguyên dơng phơng không lớn 50 có 10 sè tËp 1;2 50 C 10 số nằm nhiều 10 cặp D cặp D thuộc C cặp thoả mÃn yêu cầu toán Vậy kmin=40