TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN Tổ: Toán – Tin ĐỀ (GIỚI THIỆU) THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ III Mơn: Tốn (Thời gian làm 180 phút) -Câu I: (4 điểm) Giải phương trình: x5 x 0 Câu II: (4 điểm) Gọi m, n, p nghiệm thực phương trình: ax3 bx cx a 0, a 0 m n Dấu “=” xảy nào? Chứng minh rằng: 2 m n p p Câu III: (4 điểm) a , b 120 a b max a ;b a) Chứng minh b) Cho n vectơ đơn vị ( n N * ) mà tổng chúng vectơ 0 Chứng minh rằng: đánh số thứ tự vectơ a1; a2 ; ; an k cho 2 , với k n i 1 Câu IV: (4 điểm) Tìm số tự nhiên P nhỏ cho số M P.192011 842011 chia hết cho số 13390 Câu V: (4 điểm ) Ở vịng trịn có 12 vị trí vị trí 1, vị trí 2, …, vị trí 12 nối chiều quay kim đồng hồ theo thứ tự kể Ta đặt số 1, 2, …, 12 lên 12 vị trí cách ngẫu nhiên Chứng minh ta ln tìm ba số liền cách xếp cho tổng chúng lớn 20 ………………… Hết ……………… ĐÁP ÁN: Câu Câu I Nội dung NX: Hàm số y x5 x đồng biến nên phương trình cho có nghiệm nghiệm Ta có: x x 0 x x 1 x x 1 0 (1) x x 0 (2) ( x x 0, x R ) 3 Đặt x t (2) thành: t t 25 0 27 (3) Điểm 1,5 Ta tìm nghiệm (3) có dạng t = u+v Ta có : 25 (u v ) 0 27 25 u v (u v ) 3uv 0 27 (3) u v 3uv(u v) Ta tìm u, v thỏa mãn: 25 621 25 3 u u v 27 uv 25 621 v Vậy phương trình (2) có nghiệm : 1 x 1 3 25 621 25 621 Và nghiệm phương trình (1) 0,5 Theo nhận xét trên, phương trình (1) có nghiệm là: 1 x 1 3 25 621 25 621 Câu II Theo định lí Viét ta có m.n.p=1 Lấy 450 ; 300 ; 1650 cos ; cos ; cos 2 1,5 180 và: 2 Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (vì mnp=1) 2np pm mn m n p 2np cos pm cos 2mn cos m n p () Ta có: 2 1,5 p m n 2mp cos 2np cos 2mn cos p m cos sin n cos 2 sin 2mp cos 2np cos 2mn cos( ) (Vì 180 ) 2 p m cos n cos m sin n sin 0 (luôn đúng) Bất đẳng thức (*) chứng minh Đẳng thức xảy m sin n sin m n p k sin sin sin p m cos n cos mnp Ta có: k sin sin sin k Từ đó: m k sin ; n k sin ; p k sin khi: 1 Câu III a) Từ O dựng OA a; OB b; OC a b (như hình vẽ) O A B C 0 Do AOB 1200 OAC ACO 600 60 AOC 60 Do OB OC OA OC Từ suy điều phải chứng minh b) Ta đánh số vectơ tùy ý vectơ a1 Như vậy: a1 1 1 Bây ta chứng minh quy nạp sau: Nếu đánh số t đến vectơ thứ t cho a i 1 , ta đánh số i 1 tiếp đến vectơ at 1 at 2 cho a i 1 t 1 i 1 a i 1(*) t 2 i 1 t Thật vậy, đặt y i 1 Trên hình vẽ ta đặt véctơ véctơ cho có chung gốc O với góc xOy ; yOz; zOx 1200 y y'' y' x' O a x'' x x z Ta có trường hợp sau: TH1: Nếu véc tơ cịn lại có vectơ x rơi vào góc , lúc ta đánh số x at 1 Theo kết câu a, xOz t 1 x, y 120 nên y x 1 i 1 TH2: Nếu véctơ cịn lại khơng có vectơ rơi , ta chứng minh tồn hai vectơ a; b có tổng vào góc xOz a b rơi vào góc xOz Ta có nhận xét sau: khơng thể xảy trường hợp tất vectơ chưa đánh số lại nằm phía x’y’ tổng vectơ cho khác Do phải có vectơ a ' Chẳng hạn a nằm góc ' zOy nằm góc xOx '' (vì ' phải có vecto b nằm góc zOy xOx khơng vectơ lại nằm vềmột phía so với đường thẳng x”y”) Đến ta đánh số a at 1 ; b at 2 vectơ tổng 1 2 lại rơi vào góc xOy Theo trường hợp thì: t 2 y at 1 at 2 1 i 1 Vậy mệnh đề (*) Như vậy, trình đánh số kết thúc với t = n Trong a trình ta ln có i 21 t n (1) t i 1 Thật vậy, trường hợp xảy (1) Nếu trường hợp xảy thì: y at 1 at 2 1 t 2 i 1 t 2 ( ) at 2 at 2 2 t 1 t 2 i 1 i 1 i 1 Như vậy, ta điều phải chứng minh Câu IV Xem số K P.192 n 1 842 n 1 , n Ta xác định P để M 13390 K 13390 ứng với n=1005 Nhận xét: 13390=10.13.103, số 10, 13, 103 đôi nguyên tố Ta xác định P cho K chia hết cho 10, 13, 103 a) Ta có: 42 n 1 4(mod10) 842 n 1 4(mod10) 92 n 1 9(mod10) 192 n 1 9(mod10) K 9 P 4(mod10) Để K 10 P 4(mod10) b) Ta có K P.192n1 (103 19) 2n 1 ( P 1)192n 1 103k , k Để K 103 P 0(mod103) P 103t 1, t N Từ trường hợp a, b ta suy t 10q 1, q N Do đó: P 1030q 104 c) Ta lại có n 1 5.13 19 n 1 13l , l K 1030q 104 19 = 1030q 105 19 n 1 Để K 13 1030q 105 0 mod13 3q 0(mod13) q 4(mod13) q 13h 4, h N Vậy P 13390h 4224 P nhỏ h 0 Vậy số cần tìm P=4224 Câu V Giả sử số xếp vào vị trí i Khi đó, ta đặt bóng vào vị trí i kí hiệu Ai tập tất bóng ba vị trí liên tiếp i , i +1 i +2 (Ở i , i +1 i +2 lấy theo mod 12) Ta kí hiệu S A1 A2 A12 Ai S s S chứa tập Ai Vì vậy, theo ngun lí Đirichlet mở rộng, trung bình cộng A1 ; A2 ; ; A12 3S 12 Mặt khác, ta có: S 1 12 78 Vì trung bình cộng A1 ; A2 ; ; A12 3S 19,5 12 Suy tồn Ai cho Ai 20 , tức tồn ba số liên tiếp cách xếp số 1, 2, 3, …., 12 lên vòng tròn cho tổng chúng lớn 20