D05 cực trị hình học muc do 4

Câu [HH10.C2.1.E05.d] Cho tam giác ABC Đặt a BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý Tìm 2 giá trị nhỏ biểu thức P MA  MB  MC theo a , b , c   Lời  giải  GA  GB  GC 0 G ABC Gọi trọng tâm tam giác suy    2 2 2 Ta có P MA  MB  MC MA  MB  MC     2  MA2  MG  GA MG  2.MG.GA  GA      2 MB  MG  GB  MG  2.MG.GB  GB       MC  MG  GC MG  2.MG.GC  GC Với   2  2  MA  MB  MC 3MG   GA2  GB  GC        P 3MG   GA2  GB  GC  Pmin  MG  MGmin  M G  4  b2  c2 a  2  GA  ma      2b  2c  a  9    4  a2  c2 b2  2 2 GB  mb        2a  2c  b  9 4   2   GC  mc   a  b  c    2a  2b  c  9 4  Mặt khác  Pmin GA2  GB  GC   a  b  c  Từ trên, ta được: Dấu diễn M G Câu [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Toán 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019)   cm  , xAB y 450 By  AB x Cho hai tia Ax , By với AB 100 Khi Chất điểm X chuyển động tia Ax A với  cm / s  , lúc chất điểm Y chuyển vận tốc  cm / s  Sau t động tia By B với vận tốc (giây) chất điểm X di chuyển đoạn đường AM , chất điểm Y di chuyển đoạn đường BN Tìm giá trị nhỏ MN Lời giải N M 450 A Sau t (giây) ta có AM 3 2t (cm) , BN 4t (cm) y' K A M H N B x' B Dựng hệ trục Descartes vng góc Axy, A O(0; 0) hình vẽ Gọi H , K hình chiếu M lên trục Ax Ay  Với t  ( tức M  A ) ta có AHMK hình vng Suy AH  AK 3t (cm)  M  3t ;3t  , N  100; 4t  (Nói thêm trường hợp M  A tọa độ M đúng) 2 MN  100  3t   t 10t  600t  10000 10  t  30   1000 1000, t   Khi  MN 10 10, t   Dấu " " xảy t 30 Vậy MN 10 10 cm t 30 giây Câu [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Toán 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C ma , mb , mc Chứng minh rằng: a b c   2 ma mb mc Lời giải 2 x y xy  , x, y 0 Dấu “=” xảy x  y Áp dụng bất đẳng thức: 2 2(b  c )  a a  m a a   3a  4 a  b2  c ama   ma     3  3 Ta có: 2 2 2 a b c a b c bmb  cmc  3 Tương tự: ; Vì vậy: a b c a2 b2 c2 3a 2 3b 2 3b         ma mb mc ama bmb cmc a  b  c a  b2  c a  b  c a b c 3( a  b  c )     2 ma mb mc a  b2  c Dấu “=” xảy a b c hay tam giác ABC Câu [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Cho tam giác ABC có BC a , CA b , AB c c b Hai điểm M , N tương ứng di động cạnh AB , AC cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Xác định vị trí M N để MN có độ dài nhỏ Lời giải A M B Đặt AN  x , AM  y với  x c,  y b Ta có: N C 1 1 bc S AMN  S ABC  AM AN sin A  bc sin A  y  2 2 2x bc c c y  b  x   x c 2x 2 Theo định lý hàm số cosin AMN , ta có: MN  AM  AN  AM AN cos A x  y  xy cos A x2  b2c  bc cos A 4x2  c2  b2c2 c2 f ( t )  t  ,  bc  cos A , t   ;c  t x , t c t   Đặt , xét hàm  bc 2 t  bc  f (t ) 1  0   t2  t  bc (l )  bc b 2c  c 2 TH1: MN  x  y  TH2: b  2c  bc Khi M , N cách A đoạn bc bc  c2 b MN  x c, y  Khi M B N trung điểm AC * Lưu ý: Ta lập bảng biến thiên hàm bậc hai dùng kiến thức lớp 10 không qua đạo hàm