Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Một số có chữ số số phương có tính chất: Nếu tất chữ số trừ số số có chữ số số phương Tìm tất số có chữ số thỏa mãn tính chất nêu 2 Tìm nghiệm ngun phương trình x y xy x 10 y 0 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy x y 0 2 Tìm số nguyên dương c cho phương trình xy y x y c có ba nghiệm nguyên dương ( x, y ) Câu 5: m Cho a, m, n số nguyên dương cho a 1, m n Chứng minh a a n có ước nguyên tố giống nhau, a lũy thừa Câu 6: 1; 2; ; n Cho số nguyên n 1 Tìm số lớn cặp gồm phần tử phân biệt tập cho tổng cặp khác số nguyên khác không vượt n Câu 7: Tìm tất đa thức hệ số thực P x không đồng không thỏa mãn: P 2014 2046 , P ( x) P ( x 1) 33 32, x 0 Câu 8: Trên bảng ô vuông cố định có kích thước 3 người ta xếp số viên sỏi cho vng có nhiều viên sỏi Mỗi cách xếp sỏi tính điểm sau, tổng số sỏi hàng (hoặc cột hai đường chéo) số lẻ tính điểm Bảng khơng có sỏi ứng với điểm, bảng xếp kín viên sỏi ứng với điểm a)Tồn hay khơng cách xếp sỏi cho bảng khơng có sỏi số điểm tương ứng với cách xếp b)Chứng minh số cách xếp sỏi với điểm số số chẵn số cách xếp sỏi với điểm số số lẻ A 1; 2; ; 2013 Cho tập hợp Cần phải loại khỏi A phần tử để tập hợp cịn lại có tính chất: Khơng phần tử tích hai phần tử khác Câu 10: Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 x2 x3 x4 25 thỏa mãn điều kiện x1 3; x2 2; x3 Câu 9: a 2b 2c số nguyên Câu 11: Tìm số nguyên dương a, b, c cho m n Câu 12: Cho m n số nguyên dương thỏa mãn 2016 ước 2016 Chứng minh m ước n u, v Câu 13: Cho a, b hai số nguyên dương với b a Biết tồn cặp số nguyên dương A 2 cho u v auv b Chứng minh b số phương Câu 14: Tìm tất số tự nhiên n cho mặt phẳng tồn n đường thẳng mà mổi đường thẳng cắt 2014 đường khác X 1; 2; 3; ; n n n Câu 15: Cho số nguyên dương Chứng minh tập hợp chia thành hai tập không giao cho không tập chúng chứa n phần tử ak ak 1 a1 , a2 , , an với a1 a2 an với k 2; 3; , n Câu 16: Tìm tất số nguyên x cho x chia hết cho x Câu 17: Cho P ( x ) đa thức có bậc n với hệ số nguyên Chứng minh có tối đa n số nguyên t ak P P t t cho Câu 18: Cho n số nguyên dương Cho 2n điểm phân biệt đường tròn gán giá trị số 1; 2; ; 2n (2 điểm khác gán giá trị khác nhau) theo cách Mỗi dây cung nối điểm điểm gán giá trị độ chênh lệch dương đầu mút Chứng minh ta chọn n dây cung đôi không cắt cho tổng giá trị dây cung n