Đề thi hsg môn toán lớp 12 sở gd đt quảng bình năm học 2012 2013 file word có lời giải chi tiết

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) SỐ BÁO DANH: Câu (2.5 điểm): Giải phương trình: x 4n  x 2n  2012 2012 (n  * ) Câu (2.5 điểm): Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức: u1 3  1 3  * u  u   n1  n u  ; (n   ) n    Tính: lim un ? Câu (1.5 điểm): Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 36    2 x y z  x y  y z  z x2 Câu (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC, N chân  đường phân giác góc BAC Đường thẳng vng góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự Đường thẳng vng góc với AB P cắt AN O Chứng minh OQ vuông BC Câu (1.5 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2  y  z HẾT SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh by mt lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu Nội dung Điểm 2,5 điểm Phương trình: x 4n  x 2n  2012 2012 (n  N*) (1) 0,25 Đặt t = x2n 0, phương trình (1) trở thành: 0,5 t  t  2012 2012 1  t  t  t  2012  t  2012  4 1  1    t    t  2012   2  2  0,5 0,25 0,25  t   t  2012  t  t  2011 0 Giải phương trình (2) ta được: t  Phương trình có nghiệm: (2) 0,25   8045 thỏa mãn điều kiện 0,5 x1 2n   8045 và   8045 , n  * x  2n 2 2,5 điểm Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un  0; n  * 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1  1 3 un 1   2un     un  un    un2  3 ; n  * 3 un   un  un 0,5 Do đó: un  3 ; n  *    un3  1 u  u  u   u   u Mặt khác: n 1 n   0 n n n   un2  un2 u   n  Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn Giả sử, lim un a Ta có: a  a   a   a  3 a a Vậy: lim un  3 0,5 0,5 0,5 1.5 điểm 1 36    x y z  x2 y2  y2 z  z x2  1 1  (9  x y  y z  z x )     36  x y z Ta có:  xyz  Do đó: 0,25  xy  yz + zx   xy   yz   zx      0,25 2  1   xy  yz+zx  27  xy  yz+zx   x  y  z     xyz  xy  yz+zx       0,25 27 xy  yz+zx Mặt khác:  x y  y z  z x 6   x y  1   y z  1   z x  1 0,25 2   xy  yz  zx    1    (9  x y  y z  z x )       x y z   27 4    xy  yz+zx   xy  yz+zx   108     xy  yz  zx    xy  yz  zx    108    xy  yz  zx   1296 xy  yz  zx   1 2 2 2  Suy ra: (9  x y  y z  z x )     36  x y z Dấu “=” xảy và khi: x = y = z = 0,25 0,25 2.0 điểm 0,25 A y B P Q N M C O x 0,25 Chọn hệ trục tọa độ Nxy cho A, N nằm trục hoành Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình nó có  b  dạng : y = ax + b (a 0) Khi đó : A   ;0  , P (0; b)  a  0,25 AC qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : y = -ax – b PO qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : y  x b a O là giao điểm PO và trục hoành nên O ( ab,0) BC qua gốc tọa độ nên : 0,25 +) Nếu BC không nằm trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c 0,c  a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC) B là giao điểm BC và AB nên tọa độ B là nghiệm hệ :  y ax  b bc   b  B  ;   c a c a  y cx C là giao điểm BC và AC nên tọa độ C là nghiệm hệ :  y  ax  b b bc    C   ;    ca ca  y cx 0,25  bc abc   ab AM  c; a  ; Do đó : M  , suy :  2  2 a (c  a ) c  a c  a  Từ đó ta có phương trình AM là : y  0,25 a2 ab x c c Q là giao điểm AM với trục tung nên 1  ab    Q  0;   QO ab  1;   c  c    Do đó QO là vectơ pháp tuyến BC nên QO vuông góc BC +) Nếu BC nằm trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M N, đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC 0,25 0,25 1,5 điểm Giả sử  x, y, z  là nghiệm nguyên dương phương trình Ta có: x+2  y  z  yz  x  ( y  z ) 2 yz    x  ( y  z )  4 yz  yz  12 4 yz   x  ( y  z )   12 0,25   x  ( y  z )    x  ( y  z )   12 4 yz   x  ( y  z )   yz  12 Nếu x ( y  z ) thì    (vô lý) x  ( y  z)   y 1   z 3  x 4 Nếu x  y  z thì yz 3    y 3    z 1 0,25 0,25 Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm phương trình Vậy: nghiệm nguyên dương phương trình đã cho là (4; 3; 1) và (4; 0,5 1; 3) 0,25