SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (khơng kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011 Câu 1: ( 5,0 điểm ) a Giải phương trình sau: x x 1 x x x x với x R b Giải phương trình: 2sin x sin x 3 cos x sin x Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Cho tam giác ABC vuông cân B , cạnh AB 2 Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB MC Tìm quỹ tích điểm M b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN hợp với góc 600 , BM 6, CN 9 Tính độ dài trung tuyến cịn lại tam giác ABC Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số un xác định u1 1 un1 3un với n 1 a Xác định số hạng tổng quát dãy số un 2 2 b Tính tổng S u1 u2 u3 u2011 Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: M a b c a b c 6abc Câu 5: ( 3,0 điểm ) x y x xy 2m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: với x 3x y m x, y số thực ……………… Hết ……………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang ) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu (5,0 điểm) Đáp án Thang điểm a ( 3,0 điểm ) Khi phương trình trở thành: Đặt t x x 1, t 0,5 4t t 7t t 6t t 4t 0 t t 0 t t t t 0 (*) 0,5 t t 0 (*) t t 0 0,5 2 Với t 1 t t 0 có nghiệm t 2 Với t 21 t t 0 có nghiệm t 2 0,5 1 1 Khi t x x x x x 1 0,5 1 x 2 t Khi 21 x x x x 21 0 x 0 19 21 19 21 x 2 21 0,5 b ( 2,0 điểm ) Phương trình cho viết lại: 3sin x sin x cos x cos x 3 sin x cos x sin x cos x 0,5 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 3 0,5 0,5 x k , k Z sin x cos x 0 tan x sin x cos x 3 phương trình vơ nghiệm 0,5 a (2,0 điểm ) Bxy vng góc cho tia Bx qua A tia (5,0 điểm) Chọn hệ trục tọa độ By qua C Ta có: B 0;0 , A 2;0 , C 0; Giả sử M x; y 0,5 MA2 MB MC 2 x y x2 y x y x y x y 0 Phương trình phương trình đường tròn tâm 0,5 0,5 I 2; , bán kính R 2 Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I 2; , bán kính R 2 b ( 3,0 điểm ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xét trường hợp: BGC 1200 Ta có: BC GB GC 2GB.GC.cos120 76 0,5 MC GM GC 2GM GC cos60 AC 28 0,5 Vậy AC2 = 112 NB GB GN 2GB.GN cos60 AB 13 Vậy AB2 = 52 0,5 Vậy độ dài trung tuyến lại : ma2 AC AB BC 63 ma 3 0,5 Xét trường hợp: BGC 60 Ta có : BC GB GC 2GB.GC.cos60 28 AC MC GM GC 2GM GC.cos120 52 2 0,5 Vậy AC2 = 208 NB GB GN 2GB.GN cos120 AB 37 Vậy AB2 = 148 Vậy độ dài trung tuyến lại : ma2 Câu 0,5 0,5 AC AB BC 171 ma 171 Đáp án Thang điểm a 2,0 điểm (4,0 điểm) Dễ thấy un 0, n N * Từ un 1 3un2 un21 3un2 Đặt un có: 1 3vn vn1 3 1 0,5 0,5 Đặt xn vn ta có: xn 1 3 xn Từ suy xn cấp số nhân với x1 2 , công bội 0,5 Nên: xn 2.3n 2.3n un 2.3n 0,5 b 2,0 điểm S 2.30 2.31 2.32 2.32010 2011 0,5 2 30 31 32 32010 2011 0,5 32011 1 3 2011 0,5 0,5 32011 2012 2 2 Chứng minh được: a b c 3 a b c 3 0,5 (3,0 điểm) 0,5 Suy ra: a b c a b c 3 a b c a b c M 2 a b c 6abc 2 3 Vậy GTLN M (3,0 điểm) 0,5 3 Giá trị đạt a b c 0,5 + 0,5 0,5 x x x y 2m Viết lại hệ: x x x y m 0,5 Đặt u x x, v x y Dễ có: u 0,5 u.v 2m Hệ trở thành: u v m Suy ra: u m u 2m u m u Xét hàm f u f / u 0,5 u2 với u u 2 u 4u u 2 u2 m u 2 0, u 0,5 Bảng biến thiên: u f 1 + / u f u 2 Kết luận : m 0,5 0,5