Đề thi hsg môn toán lớp 12 sở gd đt hải dương năm học 2011 2012 vòng 2 file word có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN THI : TỐN - Vịng Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) a) Cho hàm số y x  2mx  3m hàm số y  x  Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt hoành độ chúng dương b) Giải bất phương trình:  x  x  12  10  x Câu (2 điểm) 3 a) Giải phương trình: (4 x  x  3)  x  b) Giải phương trình: x  11x  23 4 x  Câu (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A(hoành độ A dương), d cắt trục tung B(tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x  2)  ( y  3) 9 điểm A(1;  2) Đường thẳng  qua A,  cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) a) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA2  AC  BD b) Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: qua A ) 1   (trong AB=c; AC=b; đường cao b c Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2 2a 2b 2c  a  b   b  c   c  a   3  b c c a a b  a  b  c …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm Tìm m: y x  2mx  3m y  x  cắt hai điểm phân biệt a 1,00 hoành độ dương u cầu tốn  PT sau có hai nghiệm dương phân biệt 0,25 x  2mx  3m  x   x  2(m  1) x  3m  0  '     3( m  1)   2(m  1)   b 0,25 m  '    m  0,25 Kết hợp nghiệm, kết luận m   0,25  x  x  12  10  x Giải bất phương trình: 1,00 TXĐ:  x  x  12 0   x 6 Nếu  x 6 0,25  x  x  12 0  10  x , bất phương trình nghiệm 0,25 với x:  x 6 10  x 0 Nếu x 5     x  x  12 0 bất pt cho   x  x  12  x  40 x  100  x  48 x  112    x  28 0,25 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có:  x 5 Tập nghiệm bpt cho: (4;6] a 0,25 3 Giải phương trình: (4 x  x  3)  x  (1) 3 2 y  x 3 ( I ) Khi nghiệm Đặt y 4 x  x  (1) có dạng:  4 x  x   y 1,00 0,25 (1) x ứng với (x;y) nghiệm (I) 2 y  x 3(2) 2 y  x3 3  (I)   3 2 2 x  y  ( x  y ) 0 ( x  y )(2 x  xy  y  1) 0(3) 0,25 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm (1): x  3 0,25 TH2: x  xy  y  0;  ' x 2  y Nếu có nghiệm y  3  2 2 Tương tự có x  Khi VT (2) 4   Chứng tỏ    3 3 TH2 vơ nghiệm KL (1) có nghiệm x  b a 3 0,25 Giải phương trình: x  11x  23 4 x  ĐK: x  (1)  2( x  x  9)  ( x   x   4) 0 0,25 2( x  3)  ( x   2) 0 (*)  x  0 Do a 0(a ) nên pt(*)    x   0  x 3 Vậy pt cho có nghiệm x=3 M (1;4) Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành A; d cắt trục tung B Tìm 0,25 giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB( x A ; y B  ) Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT đường thẳng AB: x y  1 a b 4 16  1  2  1 a b ab ab a 2 ab  8;" "      a b b 8 Vì AB qua M nên 1 Diện tích tam giác vng OAB( vng O)là S  OA.OB  ab 8 Vậy S 2 b 1,00 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 nhỏ d qua A(2;0), B(0;8) (C): ( x  2)  ( y  3) 9 ; A(1;  2)  qua A,  cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN 1,0 (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm đường trịn(C) IA2 (1  2)  (  3) 2  0,25 Kẻ IH vuông góc với MN H ta có IH  HN IN 9  MN 4 HN 4(9  IH ) 0,25 Mà IH  AH  IH IA   MN 4(9  2) 28  MN 2 0,25 Vậy MN nhỏ H trùng A hay MN vng góc với IA A Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành a AB  BC  CD  DA2 AC  BD      Tứ giác lồi ABCD hình bình hành  AB DC  AB  DC 0    2 2   AB  DC 0  AB  DC  AB.DC 0     AB  DC  AB.( AC  AD) 0    AB  DC  ( AB  AC  BC )  ( AB  AD  BD ) 0 (*)   2   2   2 2   ( a  b a  2a.b  b  2a.b a  b  a  b )     (*)  AB  BC  CD  DA2  AC  BD (Đpcm) b Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: 1   (1) b c 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 Có a.ha 2 S bc sin A  1,5 0,25 ( Chú ý: làm chiều cho 0,75 đ) 0,25 0,25 a2 4R2   ha2 b 2c sin A b 2c 0,25 (1)  b  c 4 R  sin B  sin C 1 0,25   cos B   cos 2C 2  cos B  cos 2C 0  2cos( B  C )cos( B  C ) 0 0,25 0,25     B  C  hay A     B  C   ;0  B  C     B  C   0,25  2 2  a  b   b  c   c  a Vậy tam giác ABC vuông A có B  C  CMR : 2a 2b 2c   3  b c c a a b XétM=  a  b  c ; a , b, c  1,00 2a 2b 2c  1  1  1 bc ca a b a  b a  c b  c b  a c  a c  b   bc ca a b 1 1 1  )  (b  c)(  )  (c  a)(  ) bc ca c a a b a b b c 1 (a  b)  (b  c)  (c  a ) (b  c)(c  a) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) 0,25 (a  b)( 0,25 Vì 4    ; 2 (b  c)(c  a) (a  b  2c) (2a  2b  2c) (a  b  c) ( a  b)  ;" "  a b (a  b) 0  ( a  b) (b  c)(c  a ) (a  b  c ) 2 0,25 Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức lại Suy M  a  b  2   b  c   c  a  a  b  c 2 (Đpcm); “=”  a b c Hình vẽ câu 3b: I M A Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa H N 0,25