Đề thi hsg môn toán lớp 12 sở gd đt hải dương năm học 2011 2012 vòng 1 file word có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN THI : TỐN - Vịng ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) Cho hàm số y  x có đồ thị (C) điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến x 1 (C) điểm M cắt hai tiệm cận A B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M Tìm m để hàm số y 9 x  m x  có cực đại Câu (2 điểm) a Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  21005  x  x   y  y  b Giải hệ phương trình  2  x  y  xy 1 Câu (2 điểm) Chứng minh tan x  sin x  x  tam giác   (   ), x   0;  Từ suy  2 nhọn tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C  ABC ta có 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x    x  16  x Câu (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy a) Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a  b) M N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC DC cho MAN 450 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMN Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a  ab  a  3ab  c  b  bc  b  3bc  a  c  ca  c  3ca  b  5(a  b  c ) …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu I Ý Nội dung CM tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M 3  a 2 M  (C )  M  a;  , a  y '  ( x  1)  y '(a ) (a  1)  a 1  a ( x  a)  () Tiếp tuyến (C) M có pt y  (a  1) a 1 Điểm 1,00 0,25 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x  Tiệm cận ngang  có phương trình y 1  I (  1;1) a  5    1  A  A   1;  ,    B  B  2a  1;1 a 1   1 a S IAB  IA.IB   2a   a  6 (không phụ 2 a 1 a 1 0,25 0,25 0,25 thuộc vào a, đpcm) Tìm m để hàm số y 9 x  m x  có cực đại TXĐ:  , y ' 9  mx x2  , y ''  9m ( x  9) x  y ' 0  x   mx 0  x   mx  1,00 mx  mx   (I)   2 2 81( x  9)  m x ( m  81) x  81.9   0,25 TH m 81   m 9  m x 9 x  x  9(x) nên y'  x   mx x2   0, x suy hàm số đồng biến  , khơng có cực 0,25 trị TH m   ( I )  x1  y ''( x1 )  9m ( x12  9) x12  9m ( x22  9) x22  m  81   x1 điểm cực tiểu  m  loại TH m    ( I )  x2  y ''( x2 )   27 27 m  81   x2 điểm cực đại 0,25 Vậy hàm số có cực đại  m   II Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  1 1005 1006 (1) Đặt t sin x, t   0;1 (1) có dạng: t1006  (1  t )1006  Xét hàm số f (t ) t 0,25 1005 (2) 1,00 0,25  (1  t )1006 , t   0;1 f '(t ) 1006[t1005  (1  t )1005 ] ; f '(t ) 0  t  1 1 f (0)  f (1) 1, f    1005  f (t )  1005 Vậy (2)  t   0;1 2  2   hay (1)  sin x   cos x 0  x   k ( k  Z ) 2  x  x   y  y  (1) Giải hệ phương trình  2 (2)  x  y  xy 1 ĐK: y 1 (1)  x  y  y   x  0,25 0,25 0,25 1,00  x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1) 0,25  xy  ( y  1)( x  1)  x y x y  y  x   x  y  2  x  y   x  xy 0  Kết hợp với (2) ta  2  x  y  xy 1  x 0  y 2 x  0,25 x 0 & (2)  y 1  y 1 1 y 2 x & (2)  3x 1  x   x   y  3 ,y Thử lại ta có x 0, y 1 x  thỏa mãn hệ pt 3 0,25 0,25 Vậy hệ có nghiệm III   x  (   ), x   0;  2  2   Xét hàm số f ( x ) tan x  sin x  x  0;   2 f '( x)  Chứng minh tan x  sin x  1,00 2cos3 x  9cos x  (2cos x  1)(cos x  4cos x  2)  cos x    cos x 2cos x 2cos x 0,25   Vì x   0;     cosx