SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010 Đề thi thức Mơn:Tốn Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01/2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình: 21 2sin x 3.21 sin x m (1) (m tham số) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x y 1 Giải hệ phương trình: 5 x y 1 Câu 2: (5 điểm) Tìm GTLN hàm số: y x x 72 x 90 đoạn 7;7 4 2 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm cực trị đồ thị (C) Câu 3: (6 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh với giá trị t đường thẳng (d) có phương trình: x cos t y sin t sin t 2cos t 0 (t tham số) tiếp xúc với đường tròn cố định Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC 120 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB MA1 tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM) Câu 4: (1.5 điểm) n Cho đa thức f x x an x n nghiệm thực Chứng minh f 3 n an x n a1x có hệ số khơng âm có n Câu 5: (1.5 điểm) Cho hàm số: y x 2009 x có đồ thị (C) M điểm (C) có hồnh độ x1 1 Tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm M khác M , tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm M khác M , tiếp tuyến (C) điểm M n cắt (C) điểm M n khác M n (n = 4; 5;…), gọi xn ; yn tọa độ điểm M n Tìm n để : 2009 xn yn 22013 0 Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 1 (4điểm) NỘI DUNG 12sin x 1s inx 3.2 6điểm 0.5 m 1 t t ;2 ta có phương trình: 2t 6t m (2) 2 a.Với m = suy ra: 2t 6t 0 t 1 t 2 Đặt s inx 0.5 t 1 2s inx 1 sinx 0 x k t 2 2s inx 2 sinx 1 x k 2 1 b.ycbt (2) có nghiệm t ;2 2 0.5 2t 6t m 1 (2) có nghiệm đường thẳng y = m cắt P : y 2t 6t ;2 2 0.5 …… 0.5 2 (2điểm) 1 3 y ; y ; y 0 2 2 Suy m (1) có nghiệm 2 6 x y 1 (1) 5 x y 1 (2) 0.5 0.75 Lập luận từ (1) (2) suy x, y 1;1 x, y không dấu Câu (2điểm) Vai trò x, y bình đẳng , khơng làm tính tổng qt giả sử 0.75 x y Lập luận đưa hệ vô nghiệm Nhận thấy 0;1 ; 1;0 nghiệm hệ 0.5 y x3 3x 72 x 90 đoạn 7;7 Xét hàm f x x x 72 x 90 7;7 điểm 0.5 y ' 3x x 72 0 x x 6 y 266; y 234; y 218; y 104 1.0 max y y 266 0.5 7;7 1.0 y x4 2x2 (2điểm) Các điểm cực trị: A 2; 1 ; B 0;3 ; C 2; 1 NX: điểm cực trị tạo thành tam giác cân C Suy diện tích tính: 1.0 1 S BH AC 4.4 8 dvdt 2 Câu điểm x cos t y sin t sin t 2cos t 0 y 1 sin t x cos t 3 (*) 0.5 tìm điểm mà đường thẳng khơng qua với t hay (*) vô nghiệm 0.5 (2điểm) 2 2 y 1 x 32 xét đt y 1 x 32 (C ) C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với t Vậy đường thẳng cho tiếp xúc với đường trịn cố định có phương trình : 2 x 32 a Chứng minh MB MA ' y 1 0.5 0.5 B C (4điểm) A M B' C' A' BM BA AM AB AC CM AB AC AA ' A ' M A ' C ' C ' M AC AA ' 0.75 1 BM A ' M AB AC AA ' AC AA ' 2 1 1 AB AC AB.AA ' AC AC.AA ' AA ' AC AA'2 2 a 4a 5a 0 Suy MB MA ' 0.75 0.5 b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM) Câu điểm 1 VA A ' BM d A, A ' BM S A ' BM d B, AA ' M S AA ' M 3 S A ' BM MB.MA ' 2 2 2 MB BC CM AB AC AC AB.cos120 AA ' 12a 2 2 MA ' A ' C ' C ' M 9a S A ' BM 3a.a 12 3a a SAA ' M 2a.2 5a 2a 5; d B, AA ' M BH AB.sin 600 2 a d A, A ' BM 3a 2a d A, A ' BM a 0.5 y x3 2009 x 0.5 0.5 0.5 0.5 Gọi M k xk ; yk suy tiếp tuyến M k : y yk y ' xk x xk y 3xk2 2009 x xk xk3 2009 xk 0.5 Tọa độ điểm M k 1 xác định: x3 2009 x 3xk2 2009 x xk xk3 2009 xk x xk x x.xk xk2 0 x xk x xk xk 1 xk Ta có : x1 1; x2 2; x3 4; ; xn n 2009 xn yn 22010 0 2009 xn xn3 2009 xn 2010 0 2 3n 22013 2013 3n 2013 n 672 0.5 0.5 Câu điểm f x x n an x n an x n a1x có hệ số khơng âm n nghiệm 0.5 thực Suy n nghiệm âm giả sử nghiệm: xi , i 1,2, , n n Theo cách phân tích đa thức ta f x x xi 0.5 i 1 Đặt xi i n n i 1 i 1 i f x x i với i 1 n n n i 1 i 1 i 1 Ta có f i i 3n i 3n Suy đpcm 0.5 0.5