SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x 2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3mx m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực 2 3 x x y x xy 2m (x, y ) x x y m a) Giải hệ m 2 b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB HC a , HBC 300 ; góc mặt phẳng SHC mặt phẳng HBC 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D; AB 2 AD, CD 3 AD Đường thẳng BD có phương trình x y 0 , đường thẳng AC qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c a b c 3 Tìm giá trị nhỏ P 3abc 2014a b c ……… Hết……… - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,0 điểm) Phương trình tương đương: Nội dung sin x 1 cos x 3 cos x sin x 2 0,5 cos x 3 x 12 k k x k Vậy phương trình có nghiệm x Điểm 0,5 0,5 0,5 k x k (k ) 12 Câu (2,0 điểm) Nội dung a) (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3mx m x m x 0 x 3mx 0 (1) u cầu tốn tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 9m Điểm 0,25 0,25 0,25 m 2 Vậy giá trị cần tìm m m m 3 m b) (1,0 điểm) Ta có y ' 3x 6mx ; y ' 0 x 0 x 2m Đồ thị có hai điểm cực trị m 0 (*) 4 Các điểm cực trị đồ thị A 0; m ; B 2m; m 4m 0,25 0,25 0,25 4 Suy AC m m ; C Oy d B, AC 2 m 4 Do S ABC AC.d B, AC m m 1 ; S ABC 2 m m 1 2 Đặt m t ta t t 0 (t 1)(t t t t 2) 0 t 1 Do m 1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m 1 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 3 x x y 3x xy 4 Với m=2 ta có hệ x x y 4 ( x x)(3x y ) 4 ( x x) (3x y ) 4 0,25 ab 4 a b 2 Đặt x x a;3x y b , ta có hệ: a b 4 x x 2 ab 4 Giải hệ ta a b 2 Suy a b 4 3 x y 2 0,25 0,25 Giải hệ ta ( x; y ) ( 1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ( 1;5);(2; 4) Chú ý: HS làm theo phương pháp b) (1,0 điểm) ( x x)(3 x y ) 2m Hệ tương đương ( x x) (3 x y ) 6 m 0,25 ab 2m a b 6 m 6a a ab 2m a (6 m a ) 2m m (1) a2 a b 6 m b 6 m a b 6 m a Đặt x x a, a 0,25 ;3x y b , ta có hệ: Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a a 4a 12 6a a Xét hàm số f (a) ; a Ta có f '(a) (a 2) a2 0,25 0,25 f '(a) 0 a 2 Bảng biến thiên: Với a -1 a +∞ f'(a) + 0,25 f(a) - 25 ∞ 28 Suy giá trị cần tìm m là: m 2 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm S B C I 0,5 A H C 60° B' M K 30° B a2 S HBC HB.HC.sin1200 Gọi K hình chiếu vng góc A HC a a Ta có AH HM HB sin 300 AK AH sin 600 3a 600 SA AK tan 600 Góc (SHC) (ABC) SKA 0,25 0,5 1 3a a 3a Vậy VS HBC SA.S HBC 3 4 16 Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB ' 0,25 Gọi I hình chiếu A SK AI ( SHC ) Ta có BB ' d ( B, ( SHC )) 2d (M , ( SHC )) 2d ( A, ( SHC )) 2 AI Trong tam giác vng SAK, ta có AI Do sin BCB ' AK AS AK AS 3a 2 3a 3a BB ' 16 a BB ' 3a 3a BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 Vậy cos BCB ' 1 0,25 0,25 13 16 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm B A I E 1 D H C 0,25 Gọi I AC BD , H hình chiếu B CD 1 tan D tan C 1 AID 450 1 Ta có tan AID tan D1 C1 tan D1 tan C1 Đường thẳng AC có dạng: a ( x 4) b( y 2) 0 ax by 4a 2b 0 (a b 0) Góc AC BD 450 nên cos 45 a 2b 2 a b 3a 8ab 3b 0 0,25 Chọn b=1 ta a ; a Từ suy phương trình AC x y 10 0 3x y 10 0 BE AB IA AD 2 Gọi E BH AC , ta có EH CH IE BE AD AD AD 10 10 Ta có S ABCD AD 2 Từ tìm AI 17 11 10 * Nếu AC : x y 10 0 , suy I ; Gọi A 10 3t ; t từ AI ta có 5 0,25 0,25 2 17 11 32 29 10 3t t t 3; t Suy A 1;3 ; A ; 5 5 5 Do x A A 1;3 21 13 10 * Nếu AC : x y 10 0 , suy I ; Gọi A t ;3t 10 từ AI ta có 5 2 13 32 17 21 t 3t 10 t 5; t (không thỏa mãn x A t ) 5 5 5 Vậy điểm A cần tìm A 1;3 Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD 2 cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) Nội dung 2 2 2 2 Ta có a b c a b a c 0 b c a b c a a 2a 2 Điểm 0,25 Suy bc a 2a a b c 3 a b c 9 a b c 3 0,25 P 3abc 2013a 3a 2a 2013a Xét hàm f (a ) 3a 2a 2013a 3; a 0;1 Ta có 2a f '(a) 3 2a 2a a 2a 18a a 2013 18a a 2013 2013 2a 2 0,25 1 2a a a Ta có a a 2a a a 2 27 Suy a a 2 2013 4 2013 3 Suy f (a ) nghịch biến đoạn 0;1 Do f (a ) f (1) 2013 3 f '(a ) 18 Đẳng thức xảy a b c 1 Vậy giá trị nhỏ P 2013 a b c 1 ……… Hết……… Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com 0,25