SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Mơn thi: Tốn - Bảng B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 01/12/2010 -Câu 1: (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương m, n, p cho 3mn số nguyên dương mnp Câu 2: (4 điểm) Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a b c , b c a , c a b a) Chứng minh phương trình x a b c x ab bc ca 0 có nghiệm nghiệm số dương b) Chứng minh bất đẳng thức: a b3 c 15abc a b c ab bc ca 6 Câu 3: (4 điểm) Tìm tất đa thức P x với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức x 3x 3x x P x x x x P x 1 , với x Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c Gọi r , R, p, S bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nửa chu vi, diện tích tam giác Chứng minh rằng: a) sin A.sin B.sin C b) S A B C p A B C r cos cos cos sin sin sin , 2R 2 4R 2 4R b c a c a b a b c 3r b c ca a b R Câu 5: (4,5 điểm) Cho tứ diện SABC có cạnh SA, SB, SC vng góc với đơi Gọi SM đường cao tam giác BSC I1 , I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BSM , CSM Đường thẳng I1I cắt SB P SC Q Chứng minh: a) Tam giác PSQ vuông cân SP SM SQ b) VSABC 2.VSAPQ , VSABC VSAPQ thể tích tứ diện SABC tứ diện SAPQ HẾT - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: Toán - Bảng B -Câu 1: (3 điểm) Giả sử 3mn k , k số nguyên dương 0,5 đ mnp Thế thì, ta có 3mn kmnp k , hay 3mn kmnp k , hay mn k 1 0,5 đ kp Vì m, n, p k số nguyên dương, nên mn k số nguyên dương Do kp số nguyên dương 0,5 đ Suy k , p 1,1 , 2,1 , 1, 0,5 đ - Nếu k , p 1,1 , mn 1 Do m, n 1,1 - Nếu k , p 2,1 , mn 3 Do m, n 3,1 1,3 - Nếu k , p 1, , mn 2 Do m, n 2,1 1, 0,5 đ Vậy m, n, p 1,1,1 , 3,1,1 , 1,3,1 , 2,1, , 1, 2, 0,5 đ Câu 2: (4 điểm) a) Từ giả thiết, suy a b c a b c , hay a b c 0,5 đ Bây giờ, khơng tính tổng qt, giả sử a b c Khi đó, a b c nên a Ta có ab bc ca a b c bc a a b c bc (vì b c a ) 0,5 đ a b a c 0 Suy ab bc ca .0,5 đ Nếu phương trình x a b c x ab bc ca 0 có nghiệm x1 x2 , x1 x2 a b c x1 x2 ab bc ca .0,5 đ Suy x1 x2 (đpcm) .0,5 đ b) Vì a b c ab bc ca nên bất đẳng thức cho tương đương với a3 b3 c3 a b c ab bc ca 15abc , (1) Đặt A a b3 c , B a b c , C ab bc ca , D abc , M a b c Ta biết a b3 c a b c a b c ab bc ca 3abc hay A B M C 3D - Chứng minh (1): Ta cần chứng minh A BC 15D (2) .0,5 đ Ta có: A BC 15D B M C 3D BC 15D (do (2)) BM BC 12 D BC 15D BM 10 BC 27 D B 5C M 27 D B 5C B 2C 27 D B 5C B 4C 27 D B 9C B 27 D B 18BC 27 D 8B 12 B 18 BC 27 D 0,5 đ B 12 a b c B 18B ab bc ca 27abc B 12aB 12bB 12cB 18abB 18bcB 18caB 27abc B B 6cB 6bB 9bc 3a B 6cB 6bB 9bc B 3a B 6cB 6bB 9bc B 3a B 3b B 3c 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c (hiển nhiên, giả thiết) 0,5 đ Câu 3: (4 điểm) Đẳng thức cho tương đương với x x x x P x x x x P x 1 , x (1) 0,5 đ - Với x : (1) P 1 0 - Với x 1 : (1) P 1 0 0,5 đ Vậy P x x 1 x 1 G x x G x 0,5 đ Thay vào (1), ta có x x x x x G x x x x x x.G x 1 , x x x x 1 G x x G x x x G x 1 , x G x Đặt H x x x 1 G x 1 x x 1 (2) 0,5 đ x 1 0,5 đ Ta có (2) H x H x 1 , x , x 1 .0,5 đ Vậy H x C ( C : số) 0,5 đ 2 Suy P x C x x x Thử lại, thấy đa thức thỏa mãn điều kiện toán 0,5 đ Câu 4: (4,5 điểm) a1) Chứng minh: sin A.sin B.sin C S 2R2 Ta có S abc R.sin A R.sin B R.sin C 2R sin A sin B sin C 4R 4R Suy điều phải chứng minh 0,5 đ a2) Chứng minh: cos A B C p cos cos 2 4R Theo Định lý hàm số sin, ta có 2R a b c a b c 0,5 đ sin A sin B sin C sin A sin B sin C 2p cos A B C cos cos 2 Giám khảo lưu ý: Thí sinh khơng cần chứng minh công thức sin A sin B sin C 4 cos A B C cos cos 2 Suy cos a3) Chứng minh: sin A B C p cos cos 0,5 đ 2 4R A B C r sin sin 2 4R Ta có A B C A B C sin A.sin B.sin C 8 sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 A B C p 8 sin sin sin 0,5 đ 2 4R Suy sin A B C R sin sin sin A.sin B.sin C 2 2p R S S 1 r r 0,5 đ p 2R p 4R 4R 4R b) Theo Định lý hàm số sin từ kết câu a), ta có b c a R.sin B R.sin C R.sin A sin B sin C sin A b c R.sin B R.sin C sin B sin C 2.sin B C B C A A cos 2.sin cos 2 2 B C B C 2.sin cos 2 2.cos cos A B C A A cos 2.sin cos 2 2 A B C 2.cos cos 2 B C A B C B C sin cos cos 2 2 B C B C cos cos 2 B C sin r 2 2.sin B sin C B C 2 R.sin A cos 2 2.sin Vậy bc a r A 1,0 đ bc R.sin Tương tự, ta suy r 1 b c a c a b a b c R sin A sin B sin C b c ca a b 2 0,5 đ Hơn sin A sin B sin C 3 sin A B C sin sin 2 3 3.2 6 1 8 Giám khảo lưu ý: Thí sinh khơng cần chứng minh cơng thức sin A B C sin sin 2 Vậy b c a c a b a b c r 3r 0,5 đ bc ca a b 2R R Câu 5: (4,5 điểm) S F I2 A E P I1 Q C M B a) - Giả sử MI1 cắt SB E, MI cắt SC F 0,5 đ Tứ giác SEMF nội tiếp SEF SMF 450 SFE SME 450 SEF SFE 450 ESF vuông cân .0,5 đ Theo tính chất đường phân giác, ta có I1 E SE I2F SF 0,5 đ I1M SM I M SM Mà SE SF , nên I1 E I F I1M I M Suy PQ // EF hay PSQ vuông cân 0,5 đ - Ta có PSI1 MSI1 (g-c-g) SP SM , QSI MSI (g-c-g) SQ SM 0,5 đ Suy SP SM SQ 0,5 đ b) Dựng AH mp BSC Ta có VSABC 1/ 3 S BSC AH S BSC .0,5 đ VSAPQ 1/ 3 S PSQ AH S PSQ 1/ SB.SC SB.SC 1/ SP.SQ SM SM SB.SC 0,5 đ SM SC SB SB.SC 2 0,5 đ SC SB SC SB Suy điều phải chứng minh HẾT CÁCH GIẢI KHÁC, NẾU ĐÚNG, VẪN ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA